直線的一般式方程 課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.2.3

直線的一般式方程形式條件方程點斜式過點(x0,y0),斜率為k斜截式在y軸上的截距為b,斜率為k兩點式過P1（x1,y1),P2（x2,y2)截距式在y軸上的截距為b,在x軸上的截距為a問：上述四種直線方程具有怎樣的共同特點？能否寫成統(tǒng)一的形式？上述四種直線方程，能否寫成如下統(tǒng)一形式？?x+?y+?=0上述四式都可以寫成二元一次方程的形式：Ax+By+C=0,A、B不同時為0.

因此，在平面直角坐標(biāo)系中,對于任何一條直線,都有一個表示這條直線的關(guān)于x、y的二元一次方程.

x=x1

y=kx+b在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角下面研究直線與二元一次方程的關(guān)系：即kx-y+b=0，與二元一次方程一般式：Ax+By+C=0比較，有A=k，B=－1，C=b.比較，有A=1，B=0，C=－x1.即x-x1=0

，反過來，任何關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0都能表示一條直線嗎？下面證明：在平面直角坐標(biāo)系中,任何關(guān)于x、y的二元一次方程A

x+B

y+C=0都表示一條直線.二元一次方程是A

x+B

y+C=0.①

（1）當(dāng)B≠0時，方程①可化為（2）當(dāng)B=0時，由于A、B不同時為0，必有A≠

0

方程①可化為證明：因此，在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x、y的二元一次方程A

x+B

y+C=0

都表示一條直線。（其中A、B不同時為0）探究：在方程Ax+By+C=0中，A，B，C為何值時，方程表示的直線（1）平行于X軸：（2）平行于Y軸：（3）與X軸重合：（4）與Y軸重合：分析:(1)直線平行于X軸時,直線的斜率是為零,在X軸上的截距不為0．即A=0,B0,C0.(2)B=0,A0,C0.(3)A=0,C=0,B0.(4)B=0,C=0,A0.

我們把關(guān)于x、y二元一次方程：Ax+By+C=0（其中A、B不同時為0即：）叫做直線方程的一般式.解：例2.

求下列直線的斜率和在y軸上的截距解：變式2.把直線方程化為斜截式______，化為截距式______．解：∴

斜截式為截距式為例3.

直線l過點(6，－4)，傾斜角的余弦是，求直線l

的一般式方程．解：∵傾斜角α的范圍是：由題意：∴故求直線l

的方程為即小結(jié)：點斜式斜率和一點坐標(biāo)斜截式斜率k和截距b兩點坐標(biāo)兩點式點斜式兩個截距截距式化成一般式Ax+By+C=0直線方程的五種形式的比較名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適應(yīng)范圍點斜式斜截式兩點式截距式一般式(x1,y1)是直線上一定點,k是斜率k是斜率,b是直線在y軸上的截距(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點a,b是直線在x,y軸上的非零截距A,B,C為系數(shù)任何位置的直線不垂直x軸和y軸,且不過原點