警惕三角形中的“陷阱”

精品文檔-下載后可編輯警惕三角形中的“陷阱”三角形是最簡單、最基本的幾何圖形,是研究其他圖形的基礎(chǔ),在現(xiàn)實(shí)生活中和科學(xué)研究中有著廣泛應(yīng)用.但很多同學(xué)在解答相關(guān)問題時(shí)容易被題設(shè)的陷阱所迷惑,本文特選取幾例分析如下,供同學(xué)們參考.

一、三角形三邊關(guān)系中的陷阱

例1長度為5cm、8cm、3cm的3條線段能否組成三角形?

錯(cuò)解:因?yàn)?+8>3,所以這3條線段能組成三角形.

錯(cuò)因分析:認(rèn)為只要滿足兩邊的和大于第三邊就可以了.而要構(gòu)成三角形,3條邊必須滿足任意兩邊之和大于第三邊,一定不要忽略“任意”二字.在具體應(yīng)用時(shí),可判斷兩條較短的線段之和是否大于第三條線段,當(dāng)兩條較短線段的和大于第三條(較長)線段時(shí),就可斷定任意兩條線段的和都大于第三條線段.

正解:因?yàn)?+3=8,所以5cm、8cm、3cm這3條線段不能組成三角形.

點(diǎn)撥:在運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系定理判斷3條邊能否組成三角形時(shí),通常取較小兩邊的和與最大邊比較.

例2如圖1,為估計(jì)池塘岸邊A、B的距離,小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O,測得OA=15米,OB=10米,A、B間的距離不可能是().

A.20米B.15米C.10米D.5米

錯(cuò)解:A.

錯(cuò)因分析:本題主要考查三角形的三邊關(guān)系,AB滿足下列關(guān)系式OA-OB

正解:D.

點(diǎn)撥:三角形的三邊關(guān)系是兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,解題時(shí)要注意正確應(yīng)用.

二、三角形外角推論中的陷阱

例3“三角形的外角大于三角形的內(nèi)角”這種說法對嗎?

錯(cuò)解:正確.

錯(cuò)因分析:沒有考慮外角與內(nèi)角的位置關(guān)系.三角形的外角總大于與它不相鄰的內(nèi)角,當(dāng)三角形是直角三角形或鈍角三角形時(shí),與直角或鈍角相鄰的外角就不大于該角.

正解:三角形的外角總大于與它不相鄰的內(nèi)角.

點(diǎn)撥:三角形的外角具有“大于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角”,“與其相鄰的內(nèi)角具有互補(bǔ)”的特點(diǎn).

例4如圖2,在ABC中,AB=AC,與∠BAC相鄰的外角為80,則∠B=_________.

圖2

錯(cuò)解:50.

錯(cuò)因分析:沒有認(rèn)真審題,誤認(rèn)為∠BAC為80.

正解:因?yàn)锳B=AC,與∠BAC相鄰的外角為80,根據(jù)三角形外角與其不相鄰兩內(nèi)角的關(guān)系可得,∠B=∠C=40.

點(diǎn)撥:在解題時(shí)要認(rèn)真讀題,明確三角形的外角與內(nèi)角之間的關(guān)系.

三、等腰三角形邊、角關(guān)系中的陷阱

例5已知一個(gè)等腰三角形的一邊長為6,另一邊長為7,則這個(gè)等腰三角形的周長為().

A.19B.20C.19或20D.13

錯(cuò)解:A.

錯(cuò)因分析:考慮問題不周全.由等腰三角形的性質(zhì)可知,腰長可以是6或7,根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系可知腰長是6或7都符合要求,當(dāng)腰長為6時(shí),等腰三角形的周長是19;當(dāng)腰長為7時(shí),等腰三角形的周長為20.所以此題的答案為19或20.

正解:C.

點(diǎn)撥:在遇到等腰三角形問題時(shí),要考慮到所有可能出現(xiàn)的情況,然后再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來確定出最終答案.

例6在等腰三角形中,有一個(gè)角為70,則另外兩個(gè)角的度數(shù)為().

A.55,55B.70,40

C.55,55或70,40D.55,70

錯(cuò)解:A.

錯(cuò)因分析:在沒有明確已知角是底角或頂角時(shí),要分兩種情況討論.當(dāng)已知角是頂角時(shí),根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等的性質(zhì)可知兩個(gè)底角是(180-70)÷2=55;當(dāng)已知角是底角時(shí),則另一個(gè)底角也是70,所以可知這個(gè)等腰三角形的頂角為(180-70×2)=180-140=40.通過以上分析可知,此題的答案為55,55或70,40.

正解:C.

點(diǎn)撥:在遇到求等腰三角形的角的問題時(shí),要分底角與頂角兩種情況來討論.

四、三角形全等判定中的陷阱

例7如圖3,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定ABC≌ADC的是().

A.CD=CBB.∠BAC=∠DAC

C.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90

錯(cuò)解:A.

錯(cuò)因分析:沒有仔細(xì)審題.由已知與圖形可知,在這兩個(gè)三角形中,已經(jīng)具備兩條邊分別相等的條件了,要添角必須為這兩邊的夾角,或者所添角為直角才可以,所以應(yīng)選C.

正解:C.

點(diǎn)撥:已知兩邊對應(yīng)相等,要添的條件可以是第三邊相等的兩個(gè)三角形全等,也可以是這兩邊的夾角相等.但在直角三角形中,只要知道任意兩邊對應(yīng)相等,就可以確定這兩個(gè)直角三角形全等.

例8用尺規(guī)作圖法作∠AOB的平分線的方法如圖4所示,以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D,再分別以點(diǎn)C、D為圓心,以大于CD長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線OP.由作法可得OCP≌ODP,根據(jù)是().

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

錯(cuò)解:A.

錯(cuò)因分析:誤認(rèn)為∠COP=∠DOP.由題意可知,P點(diǎn)是以點(diǎn)C、D為圓心,以大于CD長為半徑畫弧的交點(diǎn),所以有PC=PD,故選D.

正解:D.

點(diǎn)撥:在解題時(shí)不要憑直覺想象,應(yīng)做到每個(gè)結(jié)論的得出都有依據(jù).

五、三角形全等應(yīng)用中的陷阱

例9已知圖5、圖6是兩個(gè)全等的三角形,則∠α的度數(shù)是().

A.72B.60C.58D.50

錯(cuò)解:A.

錯(cuò)因分析:受思維定式的影響,誤認(rèn)為對應(yīng)的最右邊的角就是∠α.只要仔細(xì)觀察這兩個(gè)圖形不難發(fā)現(xiàn),a,c兩邊的夾角才與∠α對應(yīng)相等,故應(yīng)選D.

正解:D.

點(diǎn)撥:在判斷兩全等三角形的邊角關(guān)系時(shí),要注意一定是對應(yīng)的角或邊才相等.

例10如圖7所示,已知AE=CE,EH=EB,CBAE于B.求證:AF=CF.

錯(cuò)解:在AEH和CEB中,AE=CE,EH=EB,

AEH≌CEB(HL),∠A=∠C.

又AE=CE,EH=EB,

AE-BE=CE-EH,即AB=CH.

在ABF和CHF中,∠A=∠C,AB=CH,∠ABF=∠CHF,

ABF≌CHF,

AF=CF.

錯(cuò)因分析:本題出錯(cuò)的原因有兩方面,一是在不知AEH為直角三角形的情況下,誤用斜邊直角邊定理(HL)證明AEH≌CEB;二是僅憑直觀印象認(rèn)為∠CHF是直角,缺乏理論根據(jù).

正解:在AEH和CEB中,AE=CE,EH=EB,∠AEH=∠CEB,

AEH≌CEB,∠A=∠C.

又AE=CE,EH