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深大師院二附校唐麗微積分基本定理第1頁一、教材分析⒈地位、作用:歐洲數(shù)學(xué)家們沖出了古希臘人“嚴(yán)格證實(shí)”圣殿,以直觀推斷思維方式,創(chuàng)建了被恩格斯譽(yù)為“人類精神最高勝利”微積分學(xué),微積分基本定理正是它關(guān)鍵!第2頁2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析:重點(diǎn):經(jīng)過探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體速度與位移關(guān)系,發(fā)覺微積分基本定理雛形,進(jìn)而把結(jié)論普通化,是這節(jié)課重點(diǎn).
難點(diǎn):深入引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定積分基本思想來探究問題,同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)意義作為橋梁來轉(zhuǎn)化被積函數(shù)是這節(jié)課難點(diǎn)。第3頁⒊教學(xué)目標(biāo)分析:知識(shí)目標(biāo):使學(xué)生經(jīng)歷定理發(fā)覺過程,直觀了解微積分基本定理含義和幾何意義,并了解導(dǎo)數(shù)與定積分互逆關(guān)系;經(jīng)過計(jì)算兩個(gè)簡單定積分,使學(xué)生體會(huì)微積分基本定理優(yōu)越性,了解微積分在數(shù)學(xué)史上舉足輕重地位。第4頁能力目標(biāo):
讓學(xué)生能夠體會(huì)微積分運(yùn)動(dòng)改變地思維方式和初等數(shù)學(xué)中靜態(tài)思維方式區(qū)分,而且培養(yǎng)學(xué)生在探索過程中善于變通思想,勇于挑戰(zhàn)陳規(guī)精神!第5頁情感目標(biāo):A揭示尋求計(jì)算定積分新方法必要性,激發(fā)學(xué)生求知欲。B體會(huì)“以直代曲”——臨淵羨魚,不如退而結(jié)網(wǎng)思想。C感受用近似無限靠近準(zhǔn)確方法。第6頁⒋教學(xué)方法和伎倆:盡管已是高中學(xué)生,但抽象概念依然令學(xué)生望而生畏,所以著眼于個(gè)別實(shí)例研究,強(qiáng)調(diào)來龍去脈,淡化證實(shí)過程。學(xué)生既不用面對(duì)極限、無窮項(xiàng)求和、導(dǎo)數(shù)、積分綜合難題證實(shí),又不失為良好推導(dǎo)微積分基本定理過程。第7頁⒉因?yàn)閷W(xué)生剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù),知道導(dǎo)數(shù)幾何意義即為切線斜率,旅程對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)即為速度二、學(xué)情分析:⒈依據(jù)函數(shù)曲線圖學(xué)生不難看出位移差第8頁二、學(xué)情分析:⒊上一節(jié)中剛學(xué)習(xí)了“汽車行駛旅程”,學(xué)生明白旅程計(jì)算實(shí)際上是一個(gè)求定積分過程,即對(duì)定積分。⒋讓學(xué)生再一次感受小區(qū)間不停細(xì)分對(duì)近似程度影響,怎樣經(jīng)過逐步迫近而求出定積分。第9頁教學(xué)過程:⒈引題——追根溯源:公元3世紀(jì)誕生劉徽著名“割圓術(shù)”:
割之彌細(xì),所失越少.則與圓周合體而無所失矣.割之又割,以至于不可割,第10頁教學(xué)過程:⒉情景設(shè)置:①首先讓學(xué)生回顧計(jì)算過程:(分割、近似代替、求和、取極限)=第11頁教學(xué)過程:②接著動(dòng)手利用定義計(jì)算
=③重復(fù)以上步驟學(xué)生碰到了麻煩;引導(dǎo)學(xué)生分析原因:和式難求.
④當(dāng)被積函數(shù)是
怎樣求呢?第12頁=⒊探究——問題模型:尋求新方法
如圖,一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律是由導(dǎo)數(shù)概念可知,它在任意時(shí)刻t速度是。設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)位移為S,你能分別用,表示S嗎?
第13頁觀察圖象得到物體位移s,即
第14頁分析:
下面我們討論怎樣用速度函數(shù)v(t)來表示位移s,因?yàn)樵谏弦还?jié)“汽車行駛旅程”中,學(xué)生知道了位移就是對(duì)速度函數(shù)v(t)定積分,在此學(xué)生必定會(huì)聯(lián)想到只要知道了v(t),不就處理了嗎?不過題目已知只是旅程函數(shù)s(t),所以接下來關(guān)鍵在于建立v(t)與s(t)關(guān)系。下面分8個(gè)步驟來討論:
第15頁微積分基本定理就是勾股定理)以研究這小段山高為例:問題1能否把一小段山高近似地看作一個(gè)直角三角形呢?
問題2假設(shè)是直角三角形,那么斜邊怎樣結(jié)構(gòu)呢?問題3在這個(gè)直角三角形種哪些量是已知或可求?
經(jīng)過討論發(fā)覺山高那么把全部累加起來不恰好就是山高度嗎?
第16頁⒈分割:等分成n個(gè)小區(qū)間
第17頁=
可用線段AD來近似代替曲邊AB,得到直角三角形ACD,AD正是曲線在左端點(diǎn)A處切線,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知:AD斜率就是tan∠DAC,所以
另首先曲線S在左端點(diǎn)A處切線就是,引進(jìn)導(dǎo)數(shù).⒉近似代替:當(dāng)很小時(shí),我們能夠認(rèn)為
第18頁⒊求和:⒋取極限:物體總位移近似值
就越靠近準(zhǔn)確值S.即第19頁=讓學(xué)生觀察,這不正是速度函數(shù)定積分嗎?(引入定積分得到左邊雛形)
(建立導(dǎo)數(shù)與積分關(guān)系)
第20頁歸納小結(jié):③式表明,速度函數(shù)在區(qū)間[a,b]上定積分等于位移函數(shù)
在區(qū)間[a,b]右端點(diǎn)處函數(shù)值s(b)與左端點(diǎn)處函數(shù)值s
(a)之差.③式是否含有普通性呢?第21頁⒋水到渠成:給出微積分基本定理普通形式。
連續(xù)函數(shù)
f(x),若,則即牛頓——萊布尼茲公式(Newton—LeibnizFormula)。
第22頁(1646-1716)人類精神的卓越勝利(1642-1727)巨人的肩膀第23頁⒍活學(xué)活用:利用微積分基本定理處理前面問題
以學(xué)生練習(xí)、討論為主,讓學(xué)生與上一節(jié)例題比較,得出結(jié)論:結(jié)果相同,但比用定義計(jì)算定積分簡單,教師給出規(guī)范書寫格式。初步展示利用微積分基本定理求定積分優(yōu)越性。第24頁⒎知識(shí)延伸:經(jīng)過計(jì)算以下定積分得到定積分幾何意義
經(jīng)過計(jì)算結(jié)果能發(fā)覺什么結(jié)論?試?yán)们吿菪蚊娣e表示發(fā)覺結(jié)論.第25頁我們發(fā)覺:(1)定積分值可取正值也可取負(fù)值,還能夠是0;(2)當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時(shí),定積分值取正值;(3)當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方時(shí),定積分值取負(fù)值;(4)當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方面積等于位于x軸下方面積時(shí),定積分值為0.得到定積分幾何意義:曲邊梯形面積代數(shù)和。第26頁⒏生活鏈接:假設(shè)一物體從飛機(jī)上扔下,t秒物體下落速度近似為:(,)(1)寫出t秒后物體下落距離表示式;
(2)假如是從高出地面5000m高空處扔下,那么大約經(jīng)過多少秒后將觸到地面?第27頁四、教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì):
整個(gè)是由特殊到普通,直觀到抽象,這么一個(gè)合情推理過程。讓學(xué)生感知定積分基本思想,并不需要嚴(yán)格證實(shí)。正是表達(dá)了新課標(biāo)對(duì)學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)深刻認(rèn)識(shí),打破了傳統(tǒng)概念上由抽象到詳細(xì)、嚴(yán)格推理論證模式。這不能不說是數(shù)學(xué)中一個(gè)更人性化改革!回顧歷史生活事例探究問題第28頁第29頁石器時(shí)代2.5http://www.shiqi.so/lishi/石器時(shí)代2.5用違反物理規(guī)律方式躲開,來往返回了好屢次,其中一個(gè)黑衣人對(duì)準(zhǔn)了子溏膝蓋以下三寸地方刺了過去。按常理子溏應(yīng)該能躲開,不過子溏卻沒有及時(shí)躲開,硬是吃了一記,見紅了。其余兩個(gè)黑衣人見狀,馬上沖上去打算給子溏一刀爽快,不過卻被那個(gè)黑衣人阻止了,他們之間使了一個(gè)眼色之后便快速離開了,留下子溏一個(gè)人在枯木叢上。一切都?xì)w于平息,不過我還是非常怕死,要是黑衣人沒走遠(yuǎn)咋辦,子溏啊子溏,你還是靜靜躺一會(huì)兒吧,并不是我不想救你,而是我實(shí)在不敢踏出去啊,我要碰上那些擁有違反物理規(guī)律武功人,我是不用一秒就會(huì)死掉。過了許久,月色重新照亮河邊,深夜風(fēng)再次喧囂在叢林了,萬物重歸平靜,這時(shí)我才慢慢走了出來。走到子溏身邊,發(fā)覺他已經(jīng)昏過去許久了。2進(jìn)膳|從側(cè)廳再一次回到正廳,仔細(xì)端詳了一些各位貴婦人面孔,發(fā)覺各有特色,唯獨(dú)坐在丑婦人左側(cè)正數(shù)第三個(gè)位置那個(gè)女人有點(diǎn)不一樣。首先是樣子素顏卻不失端莊,穿著得體卻不顯富貴,舉手投足之間顯露出來氣質(zhì)顯著和別婦人不一樣,眼神一直很堅(jiān)定,即使望著丑婦人時(shí)沒有任何表情,不過如同女俠版冷靜而美;假如這是哪房少爺老婆,那這房少爺可是賺大了。還沒等我發(fā)呆完,三木便從大廳最角落側(cè)門偷偷得溜到了我身旁,道:“蓮,你還在這里干什么?”“林哥是你啊,我沒干什么啊,領(lǐng)導(dǎo)都沒給我安排詳細(xì)工作,所以我就這么閑站著”。說罷,預(yù)計(jì)三木是被我這話給震住了,還沒等他緩過神來,我便打趣得八卦起來?!傲指?,你說那位夫人是哪位少爺妻子?。俊蔽乙贿呎f一邊將手指指向了那個(gè)素顏少婦。三木看到我用手去指在正廳就坐夫人們,嚇得馬上用力將我手打下,然后慌慌張張把我從角落側(cè)門拖走了。這一下可把我手打疼了。其實(shí)三木日常做事也沒有這么慌張,這下倒是反常,為何他有這么激烈反應(yīng),想到這點(diǎn),我就感到十分好奇。還沒等我開口和他說話,三木就遞給我一塊濕抹布,把我領(lǐng)到了離正廳不遠(yuǎn)一個(gè)屋子內(nèi)。雖說是一個(gè)小屋子,不過里面裝飾還是那樣夸大,各種桌椅擺放整齊有序。三木開始在這里折騰起來,并叫我也開始用抹布擦拭這里桌椅,隨即
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