不定積分計(jì)算省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

一、“湊”微分法比如：形式上“湊”成能由不定積分公式求出積分!簡(jiǎn)單替換例1.第1頁(yè)“湊”微分法:設(shè)法湊成積分公式帶回

x實(shí)質(zhì)上是一個(gè)簡(jiǎn)單換元積分法.第2頁(yè)例2.例3.第3頁(yè)例4.例5.第4頁(yè)二、換元積分法例6.第5頁(yè)Theorem:則證實(shí)：第6頁(yè)例7.解：第7頁(yè)例8.解：第8頁(yè)例9.解：例10.解：第9頁(yè)注：“湊”微分法與換元積分法比較“湊”微分法——將函數(shù)替換為變量：第10頁(yè)換元積分法——將變量替換為函數(shù)：注：對(duì)一些函數(shù)不定積分，有時(shí)可用不一樣方法、不一樣函數(shù)作變量替換，因之所得結(jié)果在形式上可能不相同.

第11頁(yè)比如：注：積分方法以“化繁為簡(jiǎn)”為目標(biāo).第12頁(yè)三、分部積分法or作不定積分運(yùn)算,即得or稱之為分部積分公式.第13頁(yè)注1.

不能直接求改寫轉(zhuǎn)化第14頁(yè)解：例11.第15頁(yè)例12.解：例13.第16頁(yè)例14.求解：第17頁(yè)例15.解：聯(lián)立,解之得：第18頁(yè)注2.

類似,以下函數(shù)不定積分常可用分部積分法可得.注3.使用分部積分法，有時(shí)須連續(xù)使用若干次；有時(shí)使用若干次之后，常會(huì)重新出現(xiàn)原來(lái)所求那個(gè)積分，從而成為求積分方程式，解之可得所求積分；有時(shí)應(yīng)尤其注意以下情形：第19頁(yè)將不定積分視為一個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算是錯(cuò)誤,不定積分是原函數(shù)集合.此時(shí),使用分部積分公式還可得到一些有用遞推公式,比如：第20頁(yè)

初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù),但求不定積分卻不那么簡(jiǎn)單,有些不定積分不能用初等函數(shù)來(lái)表示,如是非初等函數(shù),即初等函數(shù)原函數(shù)不一定是初等函數(shù).第21頁(yè)（多項(xiàng)式）四、有理函數(shù)積分法1.代數(shù)預(yù)備知識(shí)

設(shè)P(x)與Q(x)都是多項(xiàng)式,則有理函數(shù)普通形式是比如：第22頁(yè)第23頁(yè)依據(jù)代數(shù)分項(xiàng)分式定理,有第24頁(yè)方法一：將(﹡)式右端通分，得方法二：使用“賦值法”簡(jiǎn)化對(duì)待定系數(shù)求解.第25頁(yè)例16.解：<方法一>比較兩端分子同次冪系數(shù),得第26頁(yè)例16.解：<方法二>第27頁(yè)2.有理函數(shù)不定積分第28頁(yè)Infact,第29頁(yè)第30頁(yè)（分部積分法）第31頁(yè)第32頁(yè)注2.

有理函數(shù)總存在初等函數(shù)原函數(shù).注1.

例16.解：第33頁(yè)例17.

求

解：第34頁(yè)例18.求

解：第35頁(yè)五、其它類型不定積分（一）簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)不定積分標(biāo)準(zhǔn)：簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)變量替換有理函數(shù)符號(hào)R(u,v)表示以u(píng)和v為變量有理函數(shù).第36頁(yè)積分有理化有理化求解.第37頁(yè)例1.解：第38頁(yè)例2.解：第39頁(yè)例3.解：第40頁(yè)例4.

解：第41頁(yè)分以下情況考慮：第42頁(yè)此積分形式同：或例5.解：第43頁(yè)第44頁(yè)此積分形式同：或第45頁(yè)例6.解：第46頁(yè)（二）三角函數(shù)不定積分第47頁(yè)就有

這么就把積分有理化了.從而三角函數(shù)R(sinx,cosx)存在初等函數(shù)原函數(shù).第48頁(yè)例7.解：第49頁(yè)例8.解：第50頁(yè)關(guān)于R(sinx,cosx)含有某種性質(zhì)時(shí)一些特殊變量替換：例9.解：第51頁(yè)第52頁(yè)例10.解：第53頁(yè)例11.解：第54頁(yè)第55頁(yè)第56頁(yè)例12.解：第57頁(yè)a)含有sin2x或cos2x奇次冪，此時(shí)可由(1)求之；將被積函數(shù)化簡(jiǎn),其結(jié)果：b)含有sin2x或cos2x偶次冪，用上述三角公式化簡(jiǎn),化成含sin4x與cos4x函數(shù)，依次類推.第58頁(yè)例13.解：第59頁(yè)解：利用三角函數(shù)積化和差公式可解.第60頁(yè)例14.解：第61頁(yè)三角有理式定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算組成函數(shù)稱之．普通記為1、三角函數(shù)有理式積分五、其它形式不定積分第62頁(yè)令（萬(wàn)能置換公式）第63頁(yè)例7求積分解由萬(wàn)能置換公式第64頁(yè)第65頁(yè)例8求積分解（一）第66頁(yè)解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令第67頁(yè)解（三）能夠不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最正確方法,故三角有理式計(jì)算中先考慮其它伎倆,不得已才用萬(wàn)能置換.第68頁(yè)例9求積分解第69頁(yè)第70頁(yè)討論類型處理方法作代換去掉根號(hào).例10求積分解令2.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分第71頁(yè)第72頁(yè)例11求積分解令說明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)最小公倍數(shù).第7