線性方程組(ch2.5)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

§2.5線性方程組解結(jié)構(gòu)一、引例這里r(A|β)=r(A)<n,所以有沒有窮多個(gè)解.自由未知量個(gè)數(shù)n-r(A)=1.第1頁(yè)9/16/20231集美大學(xué)理學(xué)院所以方程組(1)與下面方程組同解令x3=c,則原方程組解為為何它能夠代表方程組(1)全部解呢?這就是方程組解結(jié)構(gòu)問題!!第2頁(yè)9/16/20232集美大學(xué)理學(xué)院二、齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)齊次線性方程組記為齊次線性方程組解幾個(gè)基本性質(zhì):齊次線性方程組解線性組合也是齊次線性方程組解第3頁(yè)9/16/20233集美大學(xué)理學(xué)院由性質(zhì)知,當(dāng)AX=0有非零解時(shí),則它必有沒有窮多個(gè)解,這無窮多個(gè)解組成一個(gè)n維向量組,只要找到該向量組一個(gè)極大無關(guān)組,就可用它線性組合來表示齊次線性方程組全部解.定義2.15若是齊次線性方程組AX=0解向量組一個(gè)極大無關(guān)組,則稱是齊次線性方程組AX=0一個(gè)基礎(chǔ)解系.第4頁(yè)9/16/20234集美大學(xué)理學(xué)院定理2.13若齊次線性方程組AX=0系數(shù)矩陣A秩r(A)=r<n則方程組基礎(chǔ)解系存在,且每個(gè)基礎(chǔ)解系中恰有n-r個(gè)向量.證:

第5頁(yè)9/16/20235集美大學(xué)理學(xué)院即上面增廣矩陣所代表線性方程組為:其中為自由未知量.它與原方程組AX=0同解因?yàn)樽杂晌粗靠扇∪我庵?令分別取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),則得方程組AX=0n-r個(gè)解:第6頁(yè)9/16/20236集美大學(xué)理學(xué)院下證是AX=0一個(gè)基礎(chǔ)解系.顯然是AX=0n-r個(gè)解,下面只要證它是AX=0全部解所組成向量組一個(gè)極大無關(guān)組即可.分兩步:(i)證實(shí)是線性無關(guān)(ii)證實(shí)AX=0任意一個(gè)解可表為線性組合.(定義2.11)第7頁(yè)9/16/20237集美大學(xué)理學(xué)院(i)所以線性無關(guān).(ii)設(shè)為AX=0任一個(gè)解,則有所以第8頁(yè)9/16/20238集美大學(xué)理學(xué)院第9頁(yè)9/16/20239集美大學(xué)理學(xué)院第10頁(yè)9/16/202310集美大學(xué)理學(xué)院第11頁(yè)9/16/202311集美大學(xué)理學(xué)院所以是AX=0一個(gè)基礎(chǔ)解系.從而方程組AX=0全部解為求解基礎(chǔ)解系方法:①對(duì)增廣矩陣(系數(shù)矩陣)施以行初等變換化成以下形式②確定n-r個(gè)自由未知量齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)第12頁(yè)9/16/202312集美大學(xué)理學(xué)院令分別取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),則得方程組AX=0n-r個(gè)解即為基礎(chǔ)解系.例1求以下齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系,并用此基礎(chǔ)解系表示方程組全部解(通解)解方程組系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換,得第13頁(yè)9/16/202313集美大學(xué)理學(xué)院令自由未知量從而得到方程組兩個(gè)非零解:第14頁(yè)9/16/202314集美大學(xué)理學(xué)院在求解過程中,也可對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換,得到同解方程組,進(jìn)而得到全部解.第15頁(yè)9/16/202315集美大學(xué)理學(xué)院例2求以下齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系,并用此基礎(chǔ)解系表示方程組全部解(通解)解第16頁(yè)9/16/202316集美大學(xué)理學(xué)院r(A)=2<n=4,方程組有沒有窮多解，基礎(chǔ)解系含2個(gè)向量，得同解方程組令自由未知量,得基礎(chǔ)解系全部解為第17頁(yè)9/16/202317集美大學(xué)理學(xué)院例3求以下齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系:解第18頁(yè)9/16/202318集美大學(xué)理學(xué)院r(A)=2,方程組基礎(chǔ)解系含有3個(gè)向量.得原方程組同解方程組取自由未知量為第19頁(yè)9/16/202319集美大學(xué)理學(xué)院讓自由未知量分別取得到方程組解為即為所給方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系。第20頁(yè)9/16/202320集美大學(xué)理學(xué)院練習(xí)：答案：第21頁(yè)9/16/202321集美大學(xué)理學(xué)院證實(shí)：將按列分塊為例設(shè)分別是和矩陣,且證實(shí)：即由得即是齊次線性方程解，從而可由基礎(chǔ)解系線性表示，故第22頁(yè)9/16/202322集美大學(xué)理學(xué)院非齊次線性方程組記為其導(dǎo)出組（對(duì)應(yīng)齊次線性方程組）記為三.非齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)第23頁(yè)9/16/202323集美大學(xué)理學(xué)院非齊次線性方程組解幾個(gè)基本性質(zhì).性質(zhì)1

若是解，則是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組（稱為導(dǎo)出組）解。，所以證實(shí)：由是解，所以，即是解。第24頁(yè)9/16/202324集美大學(xué)理學(xué)院第25頁(yè)9/16/202325集美大學(xué)理學(xué)院

由此定理得:非齊次線性方程組解是由本身一個(gè)(特)解與其導(dǎo)出組通解疊加而成.當(dāng)非齊次線性方程組有解時(shí),它有唯一解充分必要條件是它導(dǎo)出組只有零解;它有沒有窮多解充分必要條件是它導(dǎo)出組也有沒有窮多解.第26頁(yè)9/16/202326集美大學(xué)理學(xué)院例判斷以下線性方程組是否有解?若方程組有解,在有沒有窮多解時(shí),試求其導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系,并用基礎(chǔ)解系表示其全部解:解第27頁(yè)9/16/202327集美大學(xué)理學(xué)院令自由未知量可得原方程組一個(gè)特解：所以方程組有解，并有沒有窮多解,其同解方程組為第28頁(yè)9/16/202328集美大學(xué)理學(xué)院原方程組導(dǎo)出組同解方程組為令自由未知量取為得導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系第29頁(yè)9/16/202329集美大學(xué)理學(xué)院所以原方程組全部解為第30頁(yè)9/16/202330集美大學(xué)理學(xué)院求該方程組通解.于是導(dǎo)出組任何一個(gè)非零解都可作為其基礎(chǔ)解系.第31頁(yè)9/16/202331集美大學(xué)理學(xué)院顯然,是導(dǎo)出組非零解,可作為其基礎(chǔ)解系.故方程組通解為第32頁(yè)9/16/202332集美大學(xué)理學(xué)院

例求出一個(gè)齊次線性方程組,使它基礎(chǔ)解系由以下向量組成:即第33頁(yè)9/16/202333集美大學(xué)理學(xué)院這個(gè)方程組同解方程組為第34頁(yè)9/16/202334集美大