線性方程組(ch2.5)省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

§2.5線性方程組解結構一、引例這里r(A|β)=r(A)<n,所以有沒有窮多個解.自由未知量個數n-r(A)=1.第1頁9/16/20231集美大學理學院所以方程組(1)與下面方程組同解令x3=c,則原方程組解為為何它能夠代表方程組(1)全部解呢?這就是方程組解結構問題!!第2頁9/16/20232集美大學理學院二、齊次線性方程組解結構齊次線性方程組記為齊次線性方程組解幾個基本性質:齊次線性方程組解線性組合也是齊次線性方程組解第3頁9/16/20233集美大學理學院由性質知,當AX=0有非零解時,則它必有沒有窮多個解,這無窮多個解組成一個n維向量組,只要找到該向量組一個極大無關組,就可用它線性組合來表示齊次線性方程組全部解.定義2.15若是齊次線性方程組AX=0解向量組一個極大無關組,則稱是齊次線性方程組AX=0一個基礎解系.第4頁9/16/20234集美大學理學院定理2.13若齊次線性方程組AX=0系數矩陣A秩r(A)=r<n則方程組基礎解系存在,且每個基礎解系中恰有n-r個向量.證:

第5頁9/16/20235集美大學理學院即上面增廣矩陣所代表線性方程組為:其中為自由未知量.它與原方程組AX=0同解因為自由未知量可取任意值,令分別取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),則得方程組AX=0n-r個解:第6頁9/16/20236集美大學理學院下證是AX=0一個基礎解系.顯然是AX=0n-r個解,下面只要證它是AX=0全部解所組成向量組一個極大無關組即可.分兩步:(i)證實是線性無關(ii)證實AX=0任意一個解可表為線性組合.(定義2.11)第7頁9/16/20237集美大學理學院(i)所以線性無關.(ii)設為AX=0任一個解,則有所以第8頁9/16/20238集美大學理學院第9頁9/16/20239集美大學理學院第10頁9/16/202310集美大學理學院第11頁9/16/202311集美大學理學院所以是AX=0一個基礎解系.從而方程組AX=0全部解為求解基礎解系方法:①對增廣矩陣(系數矩陣)施以行初等變換化成以下形式②確定n-r個自由未知量齊次線性方程組解結構第12頁9/16/202312集美大學理學院令分別取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),則得方程組AX=0n-r個解即為基礎解系.例1求以下齊次線性方程組一個基礎解系,并用此基礎解系表示方程組全部解(通解)解方程組系數矩陣對系數矩陣進行行初等變換,得第13頁9/16/202313集美大學理學院令自由未知量從而得到方程組兩個非零解:第14頁9/16/202314集美大學理學院在求解過程中,也可對增廣矩陣進行行初等變換,得到同解方程組,進而得到全部解.第15頁9/16/202315集美大學理學院例2求以下齊次線性方程組一個基礎解系,并用此基礎解系表示方程組全部解(通解)解第16頁9/16/202316集美大學理學院r(A)=2<n=4,方程組有沒有窮多解，基礎解系含2個向量，得同解方程組令自由未知量,得基礎解系全部解為第17頁9/16/202317集美大學理學院例3求以下齊次線性方程組一個基礎解系:解第18頁9/16/202318集美大學理學院r(A)=2,方程組基礎解系含有3個向量.得原方程組同解方程組取自由未知量為第19頁9/16/202319集美大學理學院讓自由未知量分別取得到方程組解為即為所給方程組一個基礎解系。第20頁9/16/202320集美大學理學院練習：答案：第21頁9/16/202321集美大學理學院證實：將按列分塊為例設分別是和矩陣,且證實：即由得即是齊次線性方程解，從而可由基礎解系線性表示，故第22頁9/16/202322集美大學理學院非齊次線性方程組記為其導出組（對應齊次線性方程組）記為三.非齊次線性方程組解結構第23頁9/16/202323集美大學理學院非齊次線性方程組解幾個基本性質.性質1

若是解，則是對應齊次線性方程組（稱為導出組）解。，所以證實：由是解，所以，即是解。第24頁9/16/202324集美大學理學院第25頁9/16/202325集美大學理學院

由此定理得:非齊次線性方程組解是由本身一個(特)解與其導出組通解疊加而成.當非齊次線性方程組有解時,它有唯一解充分必要條件是它導出組只有零解;它有沒有窮多解充分必要條件是它導出組也有沒有窮多解.第26頁9/16/202326集美大學理學院例判斷以下線性方程組是否有解?若方程組有解,在有沒有窮多解時,試求其導出組基礎解系,并用基礎解系表示其全部解:解第27頁9/16/202327集美大學理學院令自由未知量可得原方程組一個特解：所以方程組有解，并有沒有窮多解,其同解方程組為第28頁9/16/202328集美大學理學院原方程組導出組同解方程組為令自由未知量取為得導出組基礎解系第29頁9/16/202329集美大學理學院所以原方程組全部解為第30頁9/16/202330集美大學理學院求該方程組通解.于是導出組任何一個非零解都可作為其基礎解系.第31頁9/16/202331集美大學理學院顯然,是導出組非零解,可作為其基礎解系.故方程組通解為第32頁9/16/202332集美大學理學院

例求出一個齊次線性方程組,使它基礎解系由以下向量組成:即第33頁9/16/202333集美大學理學院這個方程組同解方程組為第34頁9/16/202334集美大