蒙特卡羅方法在積分計算中的應用省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

第七章蒙特卡羅方法在積分計算中應用蒙特卡羅方法求積分主要抽樣俄國輪盤賭和分裂半解析方法系統(tǒng)抽樣分層抽樣1/19第七章蒙特卡羅方法在積分計算中應用 計算多重積分是蒙特卡羅方法主要應用領域之一。本章著重介紹計算定積分蒙特卡羅方法各種基本技巧，而這些技巧在粒子輸運問題中也是適用。2/19蒙特卡羅方法求積分

蒙特卡羅方法求積分普通規(guī)則以下：任何一個積分，都可看作某個隨機變量期望值，所以，能夠用這個隨機變量平均值來近似它。3/19

設欲求積分 其中，P＝P(x1，x2，…，xs)表示s維空間點，Vs表示積分區(qū)域。取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f(P)，令 則 即θ是隨機變量g(P)數(shù)學期望，P分布密度函數(shù)為f(P)。 現(xiàn)從f(P)中抽取隨機向量P

N個樣本：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ近似預計。4/19主要抽樣偏倚抽樣和權重因子

取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f1(P)，令 則有 現(xiàn)從f1(P)中抽樣N個點：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ又一個無偏預計。5/19主要抽樣和零方差技巧

要使最小，就是使泛函I[f1]極小。 利用變分原理，能夠得到最優(yōu)f1(P)為

6/19 尤其地，當g(P)≥0時，有 這時 即g1方差為零。實際上，這時有 不論那種情況，我們稱從最優(yōu)分布fl(P)抽樣為主要抽樣，稱函數(shù)|g(P)|為主要函數(shù)。 7/19俄國輪盤賭和分裂分裂 設整數(shù)n≥1，令 則 于是計算θ問題，可化為計算n個θi和來得到，而每個gi(P)為原來θ預計g(P)1/n，這就是分裂技巧。8/19俄國輪盤賭 令0＜q＜1， 則 于是θ變?yōu)橐粋€兩點分布隨機變量ζ期望值， ζ特征為： 這么就能夠經(jīng)過模擬這個概率模型來得到θ，這就是俄國輪盤賭。9/19主要區(qū)域和不主要區(qū)域 我們往往稱對積分θ貢獻大積分區(qū)域為主要區(qū)域，或感興趣區(qū)域；稱對積分θ貢獻小區(qū)域為不主要區(qū)域，或不感興趣區(qū)域。 考慮二重積分 令R是V2上x積分區(qū)域，表為R＝R1+R2，其中R1是主要區(qū)域，R2是不主要區(qū)域，二者互不相交。又命Q為V2上對應于y積分區(qū)域。則10/19 通常蒙特卡羅方法，由f(x,y)抽樣(x,y)步驟是：從fl(x)中抽取xi，再由f2(y|xi)中抽樣確定yi，然后用 作為θ一個無偏預計。 現(xiàn)在，改變抽樣方案以下：當x∈R1時，定義一個整數(shù)n(xi)≥1，對一個xi，抽取 n(xi)個yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值 代替上述θ預計式中g(yi,xi)。11/19當x∈R2時，定義一個函數(shù)q(xi)，0＜q(xi)＜1， 以抽樣值 代替上述θ預計式中g(yi,xi)。這里ξ是隨機數(shù)。 顯然，這種抽樣預計技巧，就是對x∈R1時，利用分裂技巧，而對x∈R2時，利用俄國輪盤賭，而使預計期望值不變。因為對主要區(qū)域多抽樣，對不主要區(qū)域少觀察，所以能使預計有效性增高。12/19半解析（數(shù)值）方法 考慮二重積分 令 則θx為θ無偏預計。13/19

θx方差為

而由f(x,y)抽樣(x,y)，用g(x,y)作為θ預計，其方差為14/19系統(tǒng)抽樣 我們知道，由f(x,y)抽樣(x,y)步驟是： 從fl(x)中抽取xi， 再由f2(y|xi)中抽樣確定yi， 現(xiàn)在改變xi抽樣方法以下：15/19

yi抽樣方法不變。 其方差為 與通常蒙特卡羅方法相比，方差降低了約16/19分層抽樣 考慮積分 在（0，1）間插入J－1個點 0＝α0＜α1＜…＜α