重積分的運用舉例-2省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

重積分利用舉例第1頁一.體積求體積時應(yīng)注意：1.立體由哪些曲面圍成；2.體積必須是正值，如圖形含有對稱性，可利用對稱性簡化。第2頁R化為球系下方程r=2Rcos

..

Mrz

0xy

=例1.求半徑為R球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成立體體積第3頁ozxy例2.第4頁az=0ozxy.例2.第5頁az=0故立體關(guān)于x軸對稱......ozxyD0y

x.例2.a第6頁2a2a0xz

ya.L聯(lián)立柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？例3.第7頁例3.2a0xz

ya.L聯(lián)立D...柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？.第8頁0xz

yab例4.第9頁b0xz

ya

問題：2用哪種坐標(biāo)系？1是不是曲頂柱體？3交線L方程？交線L...柱系..例4.V=上頂：下底：4

Dxy

?Dxy

...(球系？需分塊兒!)第10頁二.曲面面積如圖，第11頁曲面S面積元素曲面面積公式為：第12頁引理

A

.普通情況，將A分割成若干個上述類型小矩形，對每一個用引理，然后迭加再取極限即可。當(dāng)A是矩形,l證：且一邊與l平行則

也是矩形,且b引理成立..a

注：這里

即兩平面法矢量夾角.

證畢二.曲面面積第13頁xz

y0z=f(x,y)D(xi

,yi)Pi.二.曲面面積第14頁xz

y0z=f(x,y)D.(xi

,yi)

i

Ai（由引理）Pi...二.曲面面積第15頁設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：同理可得第16頁若光滑曲面方程為隱式則第17頁1.xyzo1第18頁1xyzo1.1.第19頁xyzo11DS.......1.第20頁2.ayxzo第21頁2.xyzoDS=共同D:...第22頁第23頁2xzy3.o第24頁3.xzy2問題：曲面向哪個坐標(biāo)面投影？.o只能向xoz平面投影第25頁xzy2得z=2.Dxz..3.o其中，第26頁xzy2Dxz....得z=2.3.o.其中，第27頁例4.

計算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在

xoy

面上投影為則出面積A.第28頁例5.求球面面積公式；解：依據(jù)對稱性，考慮半球面積。第29頁第30頁解：第31頁第32頁解：取坐標(biāo)系如圖及柱面方程第33頁第34頁解：解方程組得兩曲面交線為圓周在平面上投影域為第35頁Hwp1991(3,5,7）.第36頁三.物體質(zhì)量第37頁解：先求該物體體密度由題意且第38頁Hwp1992,3(2).第39頁Apr.23Mon.Review重積分應(yīng)用1.幾何應(yīng)用：第40頁2.物理應(yīng)用：第41頁2.物理應(yīng)用：第42頁四.物體質(zhì)心，質(zhì)量元素為第43頁第44頁當(dāng)薄片是均勻，質(zhì)心稱為形心.第45頁解：第46頁第47頁解：以球心為原點，以物體對稱軸為z軸，建立坐標(biāo)系，形狀對稱，故質(zhì)心在z軸上，即第48頁第49頁

.xoy12例.求位于圓r=2sin

和圓r=4sin

之間均勻薄片重心

Hwp1994(2),7(2),8(2).第50頁五.

物體轉(zhuǎn)動慣量第51頁第52頁對原點轉(zhuǎn)動慣量為：第53頁第54頁對坐標(biāo)面距離平方第55頁解：第56頁解：第57頁解：設(shè)體密度為

=k，則第58頁解：第59頁第60頁第61頁