復(fù)變函數(shù)第一章復(fù)數(shù)的乘冪與方根省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

1.2復(fù)數(shù)乘冪與方根注:1.2.1復(fù)數(shù)乘冪1/32解:解:2/321.2.3復(fù)數(shù)方根(乘冪逆運(yùn)算)3/324/32注:解:因?yàn)樗?/32即四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn),半徑為21/8圓正方形四個(gè)頂點(diǎn).6/321.3平面點(diǎn)集平面上以z0為中心,d(任意正數(shù))為半徑圓:|z-z0|<d內(nèi)部點(diǎn)集合稱為z0鄰域,而稱由不等式0<|z-z0|<d所確定點(diǎn)集為z0去心鄰域.1.3.1區(qū)域設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn).假如存在z0一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)全部點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G內(nèi)點(diǎn).

假如G內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都是它內(nèi)點(diǎn),則稱G為開集平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域,假如它滿足以下兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開集;

2)D是連通。就是說D中任何兩點(diǎn)都能夠用完全屬于D

一條折線連接起來.7/32例4:區(qū)域不是區(qū)域(不是開集)不是區(qū)域(不連通)8/32假如一個(gè)區(qū)域能夠被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界,不然稱為無界.0M|z|>M9/321.3.2曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)慣用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.假如x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)實(shí)變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.假如令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個(gè)方程

z=z(t) (a

t

b)

來代表.這就是平面曲線復(fù)數(shù)表示式.1.簡單曲線,簡單閉曲線10/32設(shè)C:z=z(t)(a

t

b)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C起點(diǎn)與終點(diǎn).對(duì)于滿足a<t1<b,a

t2

b

t1與t2,當(dāng)t1

t2而有z(t1)=z(t2)時(shí),點(diǎn)z(t1)稱為曲線C重點(diǎn).沒有重點(diǎn)連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線.假如簡單曲線C起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線.簡單,閉簡單,不閉非簡單,不閉非簡單,閉11/322.光滑曲線,逐段光滑曲線

由幾段光滑曲線銜接而成曲線稱為分段光滑曲線.12/321.3.3單連通區(qū)域,多連通區(qū)域單連通域多連通域(一個(gè)整體)(帶有裂痕,漏洞)13/321.4復(fù)變函數(shù)1.4.1復(fù)變函數(shù)概念(實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)推廣)單值函數(shù),多值函數(shù)定義在整個(gè)復(fù)平面上多值函數(shù)定義在除原點(diǎn)外整個(gè)復(fù)平面上單值函數(shù)14/32則兩類常見復(fù)變函數(shù)15/321.4.2復(fù)變函數(shù)幾何解釋—映照幾何意義:DG16/32設(shè)函數(shù)w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w117/321.5初等函數(shù)介紹幾個(gè)常見復(fù)變函數(shù)—指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)1.5.1指數(shù)函數(shù)18/32則19/32求得(歐拉公式)復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì):20/3221/32電源22/32此電路系統(tǒng)滿足疊加標(biāo)準(zhǔn).電源電流當(dāng)電路系統(tǒng)穩(wěn)定后,電路中電壓,電流改變頻率最終與電源頻率相一致.23/32電容:對(duì)應(yīng)等效電阻為電感:對(duì)應(yīng)等效電阻為整個(gè)電路總電阻為:24/321.5.2對(duì)數(shù)函數(shù)定義：記：

多值性-------主值比如：25/32性質(zhì):證實(shí):26/321.5.3冪函數(shù)定義:為z冪函數(shù).…單值函數(shù)….n值函數(shù)….n值函數(shù)….無窮值函數(shù)27/