第8節(jié) 直線與圓錐曲線

第八章平面解析幾何第8節(jié)直線與圓錐曲線1.理解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.掌握直線與圓錐曲線相交的綜合問題.考試要求知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有______、______、______；相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離無交點(diǎn).(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當(dāng)a≠0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C______；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C______；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C______.②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的________平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的________平行或重合.相交相切相離相交相切相離漸近線對稱軸2.圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝

＝

或|AB|＝

＝

，k為直線斜率且k≠0.[常用結(jié)論]1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)√診斷自測√××解析(3)當(dāng)“直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)”成立時(shí)，則與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)或者直線l與雙曲線相切有一個(gè)交點(diǎn).(4)直線與拋物線的對稱軸平行時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn).D解析結(jié)合圖形(圖略)分析可知，滿足題意的直線共有4條，過點(diǎn)(0，1)且平行于漸近線的兩條直線以及過點(diǎn)(0，1)且與雙曲線相切的兩條直線.解析由題意得a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知直線l的方程為y＝－x＋1，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn).在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.感悟提升D解析法一由于直線y＝kx＋1恒過點(diǎn)(0，1)，所以點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，

消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，∴m≥1且m≠5.

(2)若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是__________________.設(shè)直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，考點(diǎn)二弦的有關(guān)問題角度1焦點(diǎn)弦例2

(2023·武漢質(zhì)檢)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與

C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為____________.連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).

如圖，不妨設(shè)A(0，－b)，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，角度2中點(diǎn)弦x＋2y－3＝0解析法一易知此弦所在直線的斜率存在，∴設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，即x＋2y－3＝0.

法二易知此弦所在直線的斜率存在，∴設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2).角度3一般弦(1)求橢圓的方程；

解①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件.②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.1.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.2.弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.感悟提升C

解析根據(jù)雙曲線的定義，有|AF2|－|AF1|＝2a，①|(zhì)BF1|－|BF2|＝2a，②由于△ABF2為等邊三角形，因此|AF2|＝|AB|＝|BF2|，①＋②，得|BF1|－|AF1|＝4a，則|AB|＝|AF2|＝|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，又∠F1BF2＝60°，即7a2＝c2＝7，解得a2＝1，則b2＝c2－a2＝6，

(2)以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為________________.解析設(shè)A(2，1)是弦P1P2的中點(diǎn)，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，4x－y－7＝0∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，

∴以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為4x－y－7＝0.考點(diǎn)三圓錐曲線的切線問題解設(shè)與直線l：4x－5y＋40＝0平行的直線l′：4x－5y＋m＝0，當(dāng)直線l′與橢圓相切于A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)A到l距離最??；當(dāng)直線l′與橢圓相切于B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)B到l的距離最大.消去y得25x2＋8mx＋m2－225＝0，

Δ＝64m2－100(m2－225)＝0，∴m＝±25.感悟提升B即x－y－4＝0，切線l的斜率為1，與直線l垂直的直線的斜率為－1，過A點(diǎn)且與直線l垂直的直線方程為y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.

(2)過點(diǎn)P(2，2)作拋物線y2＝2x的切線l，切線l在y軸上的截距為________.解析可知拋物線的切線l為2y＝x＋2，1所以切線l在y軸上截距為1.考點(diǎn)四直線與圓錐曲線的綜合

解由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48＞0，

(1)解答直線與橢圓相交的題目時(shí)，常用到“設(shè)而不求”的方法，即聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件，建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解.(2)涉及直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.感悟提升a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝5，b2＝4，

(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若|AP|＝|AQ|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解由題意知直線l不過點(diǎn)A.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)為D(x0，y0)，連接AD(圖略).整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，化簡得10k2＝8－9m，⑤FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3A【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固】解析直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(diǎn)(1，1)，又點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.B由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.D又c＝3，a2＝b2＋c2，聯(lián)立解得a2＝18，b2＝9.BD

ABD所以直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，C錯(cuò)誤；BD對于B，根據(jù)kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正確；解析由題意得b＝1，c＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋1，Δ＝8(k2＋1)>0恒成立.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，又c2＝a2＋b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.解設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，解由(1)知，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，由題意得直線AB的方程為y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.C【B級(jí)

能力提升】解析由已知可得a＝8，b＝4，當(dāng)弦與x軸重合時(shí)，弦長最長為2a＝16，則弦長的取值范圍為[4，16]，故弦長為整數(shù)的弦有4到16的所有整數(shù)，則“好弦