【優(yōu)化探究】高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題演練 幾何證明選講

PAGEPAGE9幾何證明選講(習(xí)題課)一、填空題(本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求)1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，假設(shè)BC＝3，DE＝2，DF＝1，那么AB的長為________．解析：由eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，eq\f(DF,AD)＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(1,3)，又∵BC＝3，DE＝2，DF＝1，解得AB＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)2．(高考廣東卷)如下圖，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，∠PBA＝∠DBA.假設(shè)AD＝m，AC＝n，那么AB＝________．解析：利用弦切角定理及相似三角形求解．∵PB切⊙O于點B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AB)，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝eq\r(mn).答案：eq\r(mn)3．(北京西城模擬)如圖，PA是圓O的切線，A為切點，PBC是圓O的割線．假設(shè)eq\f(PA,BC)＝eq\f(\r(3),2)，那么eq\f(PB,BC)＝________．解析：由切割線定理有：PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)，又eq\f(PA,BC)＝eq\f(\r(3),2)，即PA＝eq\f(\r(3),2)BC，將其代入上式得：PB2＋PB·BC－eq\f(3,4)BC2＝0.即(2PB＋3BC)(2PB－BC)＝0∴eq\f(PB,BC)＝－eq\f(3,2)(舍去)或eq\f(PB,BC)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．(高考陜西卷)如下圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，假設(shè)AB＝6，AE＝1，那么DF·DB＝________．解析：利用相交弦定理及射影定理求解．由題意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.答案：55．如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD＝2eq\r(3)，AB＝BC＝4，那么AC的長為________．解析：由切割線定理可得CD2＝DB×DA.即可得12＝DB×(DB＋4)，解得DB＝2，又由BC＝4，可得BC2＝16＝BD2＋DC2，∴∠CDB＝90°，那么AC2＝AD2＋DC2＝62＋(2eq\r(3))2＝48，∴AC＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)6．(高考湖南卷)如下圖，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．假設(shè)PA＝1，AB＝2，PO＝3，那么⊙O的半徑等于________．解析：利用割線定理求解．設(shè)⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.如圖，延長PO交⊙O于點C，那么PC＝PO＋r＝3＋r.設(shè)PO交⊙O于點D，那么PD＝3－r.由圓的割線定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).答案：eq\r(6)7．(衡陽模擬)如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD＝2eq\r(7)，AB＝BC＝3，那么AC的長為________．解析：由切割線定理知CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，即(2eq\r(7))2＝BD2＋3BD，解得BD＝4或BD＝－7(舍去)．因為∠BDC＝∠ADC，∠DCB＝∠CAD，所以△CAD∽△BCD，所以有eq\f(CD,BD)＝eq\f(AC,BC)，即eq\f(2\r(7),4)＝eq\f(AC,3)，解得AC＝eq\f(3\r(7),2).答案：eq\f(3\r(7),2)8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，MN與⊙O相切，切點為A，∠MAB＝35°，那么∠D＝________．解析：如圖，連接AC，因為BC為直徑，所以∠BAC＝90°，再由弦切角性質(zhì)定理，得∠MAB＝∠ACB＝35°，所以∠B＝55°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，得∠D＝125°.答案：125°9．(高考天津卷)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，那么線段CD的長為________．解析：先根據(jù)相交弦定理求出CF，再求出BD，最后求出CD.因為AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).設(shè)CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)10．如圖，AC⊥AB，BE⊥AB，AB＝10，AC＝2，用一塊三角尺進(jìn)展如下操作：將直角頂點P在線段AB上滑動，一直角邊始終經(jīng)過點C，另一直角邊與BE相交于點D，假設(shè)BD＝8，那么AP的長為________．解析：由題意，知△APC∽△BDP，∴eq\f(AP,BD)＝eq\f(AC,BP)，即eq\f(AP,8)＝eq\f(2,10－AP).∴AP＝2或8.答案：2或8二、解答題(本大題共6小題，共50分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)11．(8分)(唐山模擬)如圖，E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點，F(xiàn)是AD延長線上一點，F(xiàn)G與圓O相切于點G，且EF＝FG.求證：(1)△EFD∽△AFE；(2)EF∥BC.證明：(1)∵FG與圓O相切于點G，∴FG2＝FD·FA，∵EF＝FG，∴EF2＝FD·FA，∴eq\f(EF,FD)＝eq\f(FA,EF)，∵∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE.(2)由(1)知∠FED＝∠FAE，又∵∠FAE＝∠BCD，∴∠FED＝∠BCD，∴EF∥BC.12．(8分)(高考江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE.求證：∠E＝∠C.證明：連接OD，因為BD＝DC，O為AB的中點，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C.因為OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因為點A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.13．(8分)(長沙模擬)如圖，⊙O內(nèi)切△ABC的邊于D、E、F，AB＝AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G.(1)求證：圓心O在直線AD上；(2)求證：點C是線段GD的中點．證明：(1)由題意知AF＝AE，又∵AB＝AC，∴CF＝BE.又∵CF＝CD，BD＝BE，∴CD＝BD.又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的平分線．∴△ABC的內(nèi)切圓的圓心O在直線AD上．(2)連接DF，由(1)知，DH是⊙O的直徑，∴∠DFH＝90°，∴∠FDH＋∠FHD＝90°.又∵∠G＋∠FHD＝90°，∴∠FDH＝∠G.∵⊙O與AC相切于點F，∴∠AFH＝∠GFC＝∠FDH，∴∠GFC＝∠G.∴CG＝CF＝CD，∴點C是線段GD的中點．14．(8分)(高考遼寧卷)如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E.求證：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.證明：(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.從而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD與⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.從而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.結(jié)合(1)的結(jié)論知，AC＝AE.15．(9分)(鄭州模擬)如圖，銳角三角形ABC的內(nèi)心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點．(1)求證：四點A，I，H，E共圓；(2)假設(shè)∠C＝50°，求∠IEH的度數(shù)．解析：(1)證明：由圓I與邊AC相切于點E，得IE⊥AE，結(jié)合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°.所以，四點A，I，H，E共圓．(2)由(1)知四點A，I，H，E共圓，那么∠IEH＝∠HAI.在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝eq\f(1,2)∠ABC＋eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠BAC)＝eq\f(1,2)(180°－∠C)＝90°－eq\f(1,2)∠C.結(jié)合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝eq\f(1,2)∠C，所以∠IEH＝eq\f(1,2)∠C.由∠C＝50°得∠IEH＝25°.16．(9分)(洛陽模擬)如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB為直徑的圓，DC的延長線與AB的延長線交于點E.(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)假設(shè)EB＝6，EC＝6eq\r(2)，求BC的長．解析：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴點C在⊙O上．連接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥D