人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （線段的垂直平分線的性質(zhì)）軸對(duì)稱教學(xué)課件

線段的垂直平分線的性質(zhì)第十三章軸對(duì)稱

講授新課線段垂直平分線的性質(zhì)一如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A

與點(diǎn)B

的距離之間的數(shù)量關(guān)系．ABlP1P2P3探究發(fā)現(xiàn)P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝猜想：點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分別相等．命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.由此你能得到什么結(jié)論？你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P

在l上．求證：PA=PB．PABlC驗(yàn)證結(jié)論練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為（）A.6B.5C.4D.32.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.B10cmPABCD圖①ABCDE圖②例3

已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上解析：證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等嗎？例4

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.線段垂直平分線的判定二想一想：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PAB合作探究已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．證明：過點(diǎn)P

作AB

的垂線PC，垂足為點(diǎn)C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．PABC知識(shí)要點(diǎn)線段垂直平分線的判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．應(yīng)用格式：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.

這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB

兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

與A，B

的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點(diǎn)

的距離相等的所有點(diǎn)的集合.PABCl應(yīng)用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.例5已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴

OE是CD的垂直平分線.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.例2

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.ABCDEK已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C

.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C

.作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（2）以點(diǎn)C

為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.F（1）為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？（2）為什么要以大于的長為半徑作弧？（3）為什么直線CF就是所求作的垂線？想一想：當(dāng)堂練習(xí)1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA2.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC

()A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D4.下列說法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號(hào)）.①②③3.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有

種.無數(shù)5.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

cm.ABCDE166.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說明AD與EF的關(guān)系．解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.ABCDEF7.如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.拓展提升：解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，

∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，

∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.課堂小結(jié)線段的垂直平分的性質(zhì)和判定性質(zhì)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上內(nèi)容判定內(nèi)容作用線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上13.1軸對(duì)稱線段的垂直平分線的性質(zhì)

1．理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定．2．能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題．

學(xué)習(xí)目標(biāo)線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)測量點(diǎn)P1，P2，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，猜想它們之間的數(shù)量關(guān)系．

ABlP1P2P3探索并證明量一量猜想證明：

ABPCl已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離相等∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=900．又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴

PA=PB．題設(shè)結(jié)論性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離相等∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．幾何語言表述ABPCl1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為（）A.6B.5C.4D.3圖①ABPCDB線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用2、已知:如圖所示，△ABC中,AC的垂直平分線MN交BC于M，垂足為N，若BC=12厘米，則AM+BM的長度為

厘米。ANMCB12轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用

如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于______．ABCDE8變式訓(xùn)練線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用解：∵AD⊥BC，BD=DC∴AD是BC的垂直平分線∴AB=AC∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上∴AC=CE．∴AB=AC=CE3、如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上線段垂直平分線的判定探索并證明角平線的性質(zhì)角平線的判定題設(shè)結(jié)論題設(shè)結(jié)論類比數(shù)學(xué)思想線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離相等垂直平分線的性質(zhì)題設(shè)結(jié)論與線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上垂直平分線的判定題設(shè)結(jié)論C已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．證明：如圖，作PC⊥AB則∠PCA=∠