2020-2021學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章《三角形的證明》競賽題（解析版）

2020-2021學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章《三角形的證明》競賽題

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單項選擇題（本大題共8小題）

1.如圖，CABC中，NACB=90°,NC43=60°,動點P在斜邊AB所在的直線

m上運動，連結(jié)PC,那點P在直線m上運動時，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點P的

位置有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

【答案】C

【分析】

根據(jù)等腰三角形的判定和含30。的直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點P4,P2；以A為圓心，AC長為半徑畫

弧，交直線m于點Pi,P.?；邊AC和BC的垂直平分線都交于點P3位置.

因此出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有4個.

故選：C.

【點睛】

此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是利用含30。的直角三角形的性質(zhì)找到邊與邊得關(guān)系.

2.△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、

PF分另I」交AB、AC于點E、F,給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②4EPF是等腰三

角形；③EF=AP；④S四邊彩,\EPF=gsAABC；當(dāng)NEPF在AABC內(nèi)繞P旋轉(zhuǎn)時（點E不

與A、B重合），則上述結(jié)論始終正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【分析】

由等腰直角三角形的性質(zhì)及/EPF=90。，可證明△APE絲由全等三角形的性質(zhì)

可得①②④正確；若EF=AP,則可得EF為△ABC的中位線，這是不一定的，故③錯

誤.

【詳解】

,/NAPE、ZCPF都是NAPF的余角

NAPE=NCPF

"：AB^AC,N8AC=90。，點P是8c中點

：.AP^CP

：.ZPAF=ZFCP

又由題意知NE4P=/抬尸

：.ZEAP=ZFCP

在小APECP尸中

ZEPA=NFPC

<NEAP=Z.FCP

AP=CP

：.△”￡：絲△CPF(ASA)

.'.AE=CF,PE=PF,S&AEP=ShCFP

由PE=PF,則AEPF是等腰直角三角形

由SAAEP=SACFP,則5叫邊彩AEPF=SzlAEP+SAAPF=SACFP+SAAR產(chǎn)ShAPC——SAABC

故①②④正確

'：AP=—BC

2

若EF=AP=LBC,則EF是△ABC的中位線，這不能保證結(jié)論始終正確

2

故③錯誤

故選C

【點睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定、性質(zhì)的綜合運用，關(guān)鍵是

證明三角形全等，即證AAPE也

3.如圖，在第1個口其出。中，ZB=20°,A1=CB；在邊A］上任取一點。，延

長CAt到,使4，得到第2個口44。；在邊42。上任取一點E,延長AA

試卷第2頁，總33頁

到4,使A2A=4后，得到第3個△44E,…，按此做法繼續(xù)下去，則第八個三

角形中以A,為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)逐個計算，找到規(guī)律即可.

【詳解】

解：???N5=20。，A8=CB,

ZBAiC=80°,

44=4。，

ZA|DA=ZA1AD=—X8O°=4O°,

222

同理，NEA3A2=LX80°=20°,

第n個三角形中以A“為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（一）"Tx800

故選：B.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，逐個求角，按照計算過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在DABC中，AC=BC,NAC8=90°,AE平分的C交于E,

8D_LAE于。，DWLAC交AC的延長線于M，連接CD,給出四個結(jié)論：①

ZADC=45°；②③AC+BE=AB；@AB-BC=2MC；其中正確

2

的結(jié)論有（）

M

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

過E作EQJ_AB于。，作NACN=NBCD,交AO于N,過。作于“，根據(jù)

角平分線性質(zhì)求出CE=EQ,DM=DH,根據(jù)勾股定理求出AC=AQ,AM=AH,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BQ=QE,進(jìn)而可判斷③；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出

NCND=45。,證4推出CD=CN,進(jìn)而可判斷①②;證4DCMdDBH,

得到進(jìn)一步變形即可判斷④，于是可得答案.

【詳解】

解：如圖，過E作EQLA8于。，

VZACB=90°,AE平分NCA8,

:.CE=EQ,

VZACB=90°,AC=8C,

：.ZCBA=ZCAB=45°,

'：EQLAB,

.?.NEQ4=NEQ8=90。，

由勾股定理得：AC=AQ,

：.ZQEB=45°=ZCBA,

：.EQ=BQ,

：.AB=AQ+BQ^AC+CE,

VBE>EQ=CE,

③錯誤；

作NACN=NBC￡>,交A。于M

試卷第4頁，總33頁

'：ZCAD=-ZCAB=22.5°=ZBAD

29

/.NABD=900-22.5°=67.5°,

JND3c=67.5。-45°=22.5°=ZCAD,

：.ZDBC=ZCADf

VAC=BC,/ACN=/BCD,

:?△kCN9l\BCD(ASA),

：.CN=CD,AN=BD,

NACN+NNC￡=90。，

???/NC8+N8c0=90。，

JZCND=ZOM=45。，

JZAC/V=45°-22.5°=22.5°=ZCAM

:.AN=CN,

：.NNCE=NAEC=67.5。，

:?CN=NE,ZDCB=90°-67.5°=22.5°,

:?BD=AN=EN=LAE,ZADC=180°-ZDAC-ZACD=180°-22.5°-112.5°=45°,

2

???①正確，②正確；

過。作DH±AB于H,

AQHB

VNMCD=NCW+NCD4=67.5。，ZDBA=67.5°,

.\ZMCD=ZDBAf

?.,AE平分NCA8,DM1.AC,DH±ABf

:?DM=DH,

在△。。例和408H中

/M=NDHB=9U

<NMCD=/DBA,

DM=DH

AADCM^ADBH,

:.BH=CM,

由勾股定理得：AM=AH,

._A_C___+_A__B_—__A_C__+__A__H__+__B_H__—_A__C__+__A__M__+__C__M_'―?2AM‘2

AMAM-AMAM-’

：.AC+AB^2AM,

即AC+AB=2AC+2CM,：.AB-AC=2CM,

'：AC=CB,

：.AB-CB^2CM,.?.④正確.

綜上，正確的有3個.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定

理、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理等知識，正確添

加輔助線、能綜合運用所學(xué)知識進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

5.如圖，在DABC中，30平分NABC,ZA-2ZADB,AB=6,CD=7,貝］8C

的長為（）

B

A.3B.13C.12D.14

【答案】B

【分析】

在BC上截取BE=BA,可證△ABD^AEBD,再證△CDE是等腰三角形即可求出BC.

【詳解】

解：在BC上截取BE=BA=6,

*/B。平分NABC，

.\ZABD=ZEBD,

在AABD^11AEBD中，

BA=BE

<NABD=ZEBD,

BD=BD

.".△ABD^AEBD,

試卷第6頁，總33頁

；.NA=/BED,ZADB=ZBDE,

ZADE=2ZADB,

ZA=2ZADB

；.NADE=/A=NBED,

.\ZCDE=ZCED,

，CE=CD=7,

BC=BE+CE=13,

故選：B.

【點睛】

本題考查了全等二:角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)角平

分線作出輔助線，利用全等和等腰三角形的性質(zhì)把線段BC的長轉(zhuǎn)化為兩條線段的和.

6.如圖，點A在)，軸上，G、B兩點在x軸上，且G(-3,0),B(-2,0),HC與

GB關(guān)于y軸對稱，NGAH=60。，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP+PQ+CQ

的最小值是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】

分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點8'、C,連接BP、CQ、B，C、C'Q,PQ,得

H1,BP+PQ+CQ的最小值為*C'，再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對稱的性質(zhì)分

別求得B'P+PN和C'Q+QN即可求得.

【詳解】

解：分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點8，、C'1連接BP、CQ、B'C、C'Q,PQ

：HC與GB關(guān)于y軸對稱，

.\GO=HO,BO=CO,

Vx軸JLy軸，

；.AG=AH,B'、C'關(guān)于y軸對稱，

當(dāng)8'、C,P、Q在同條直線上時，BP+PQ+CQ=B'P+PQ+CQ=B'C最

小，此時B'C'//x軸，

VZGAH=60°,

??.△AGH為等邊三角形，

/AGO=60。，

VB'C//X軸,B、B'關(guān)于AG對稱,

???ZBPG=ZB'PG=ZPGB=60°.B'P=BP，

.?.△BPG為等邊三角形，

過作PM_LGO交x軸與M,

VG(-3,0),B(-2,0),

，BG=1,BO=2,

/.PB'=PB=BG=\,BM=-BG=~,

22

17

B'P+PN=BP+MB+BO=\+-+2=-,

22

7

同理可得C'Q+QN=/.

即B'C=1.

故選：B.

試卷第8頁，總33頁

本題考查軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判斷，坐標(biāo)與圖形變化.能借助軸對稱的

性質(zhì)正確變形將折線的長化成一條線段的長是解題關(guān)鍵.

7.如圖，點C是線段AE上一動點（不與A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形

ABC和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于

點Q,連接PQ,有以下5個結(jié)論：①AD=BE；②PQ〃AE；③AP=DQ；④DE=DP；

⑤NAOB=60。.其中一定成立的結(jié)論有（）個

【答案】D

【分析】

①由于4ABC和ACDE是等邊三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

從而證出^ACD^ABCE,可推知AD=BE；

③由△ACD也ZiBCE得/CBE=NDAC,力口之NACB=NDCE=60。，AC=BC,得到

△ACP^ABCQ（ASA）,所以AP=BQ；故③正確：

（2）W@ACQB^ACPA（ASA）,再根據(jù)NPCQ=60。推出△PCQ為等邊三角形，又由

NPQC=NDCE,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；

④根據(jù)NDQE=NECQ+/CEQ=60o+NCEQ,NCDE=60。，可知NDQE，/CDE,可知

④錯誤；

⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC〃DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZCBE=/DEO,于是

NAOB=ZDAC+NBEC=NBEC+NDEO=NDEC=60°,可知⑤正確.

【詳解】

①；等邊△ABC和等邊△DCE,

；.BC=AC,DE=DC=CE,NDEC=/BCA=/DCE=60。，

ZACD=ZBCE,

在^ACD和^BCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

△ACD絲ABCE(SAS),

.\AD=BE；

故①正確；

③,.?△ACD//XBCElti證)，

/.ZCAD=ZCBE,

,/NACB=NECD=60。(已證)，

AZBCQ=180o-60°x2=60°,

.\ZACB=ZBCQ=60°,

在4ACPJgABCQ中，

NCAD=/CBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,

.".△ACP^ABCQ(ASA),

；.AP=BQ；

故③正確；

②;△ACP絲ZXBCQ,

PC=QC,

AAPCQ是等邊三角形，

NCPQ=60。，

試卷第10頁，總33頁

；.NACB=NCPQ,

.,.PQ//AE；

故②正確；

④：AD=BE,AP=BQ,

；.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+/CEQ,ZCDE=60°,

AZDQE/ZCDE,

ADE^QE,

則DPrDE,故④錯誤；

@VZACB=ZDCE=60°,

/.ZBCD=60o,

?等邊△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

BC/7DE,

.\ZCBE=ZDEO,

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，錯誤的結(jié)論只有④，

故選D.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，此圖形是典型的“手

拉手”模型，熟練掌握此模型的特點是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B分別在y軸和X軸上，NA3O=60°,在坐

標(biāo)軸上找一點P,使得AE4B是等腰三角形，則符合條件的P點的個數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】

分類討論：作AB的垂直平分線和坐標(biāo)軸的交點，以A為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸

的交點，以B為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三

角形，可得答案.

【詳解】

作AB的垂直平分線和坐標(biāo)軸的交點，得到P5,此時AP=BP；

以A為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點，得到P2和P6,此時AB=AP；

以B為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點，得到Pl、P3和P4,此時BP=BA；

綜上所述：符合條件的點P共有6個.

故選B.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來，不遺漏掉任何一種

情況是本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題）

9.已知等邊AABC的邊長為3,點E在直線AB上，點D在直線CB上，且ED=EC,

若AE=6,則CO的長為.

【答案】3或9.

試卷第12頁，總33頁

【分析】

分E在線段AB的延長線上和線段BA的延長線兩種情況，過E點作EF±CD于F,根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BE長和NA8C=60。，求出BF、CF,即可求出答案.

【詳解】

解：點E在直線A8上，AE=6,點E位置有兩種情況：

①E在線段A8的延長線上時，過E點作EF_LC。于凡

「△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長為3,AE=6,

，BE=6-3=3,ZABC=60°,

:.NEBF=60。,

...NBEF=30°,

.13

:.BF=—BE=—，

22

.39

??CF——卜3=一,

22

，：ED=EC,

：.CF=DF,

9

，CO=-x2=9；

2

②如圖2,當(dāng)上在線段A3的延長線時，過E點作于R

BD

圖2

?..△4BC是等邊三角形，AABC的邊長為3,4E=6,

，BE=6+3=9,NA8C=60°,

.".ZEBF=60°,

：.ZBEF=30°,

19

：.BF=—AE=~,

22

,:ED=EC,

：.CF=DF,

3

，CO=-x2=3；

2

即C￡>=9或3,

故答案為：3或9.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識

點，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵.

10.如圖，在MABC中，CA^CB,M是AB的中點，點D在BM上,

CD,BF八CD,垂足分別為E,F,連接EM.則下列結(jié)論中：①BF=CE；

②ZAEM=ZDEM；③AE—CE=6ME;?DE2+DF2=2DM2t⑤若AE平

分■NBAC,則EF：BF=0:1;正確的有.（只填序號）

【答案】①②③④⑤

【分析】

證明ABCFWAC4E,得到3b=CE,可判斷①；再證明ABFNnACEM,從而判斷

為等腰直角三角形，得到=可判斷③，同時得到

ZMEF=ZMFE=45°,可判斷②；再證明△DKWM&VEM,得到ADMN為等腰直

試卷第14頁，總33頁

角三角形，得到￡>N=&，DM，可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步推斷出

DE=EM,再證明AAQEMMCE,得到Z)E=CE,則有

里=里=里=6EM=壺從而判斷⑤.

BFCEDEDE

【詳解】

解：vZACB=90°,

:.ZBCF+ZACE=9G°，

ZBCF+ZCBF=90°,

:.ZACE=ZCBF,

又?；NBFD=900=ZAEC,AC=BC,

:.\BCF=\CAE{AAS),

BF=CE,故①正確；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

:.AE-CE=CF-CE=EF,

連接FM，CM,

???點M是AB中點，

:.CM=-AB=BM=AM,CMLAB,

2

在ABDF和ACDM中，NBFD=NCMD,ZBDF=NCDM,

;.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM，BF=CE,

ABFM=ACEM(SAS),

:,FM=EM,ZBMF=NCME,

-,-ZBMC=90°,

,-.Z￡MF=90°,即AEME為等腰直角三角形，

:.EF=y/^EM=AE-CE，故③正確，ZMEF=ZMFE=45°.

?/ZA￡C=90°，

:.ZMEF=：ZAEM=45°,故②正確，

設(shè)AE與CM交于點N,連接ON，

4DMF=ZNME,FM=EM，ZDFM=ZDEM=ZA￡M=45°,

ADFM=ANEM(ASA),

:.DF=EN,DM=MN，

:.ADMN為等腰直角三角形，

DN=也DM，而Z.DEA=90°，

DE2+DF1=DN2=2OM2,故④正確：

?.?4C=BC，ZACB=90°，

:.ZCAB=45°,

平分N&4C，

:.ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=61.5°,

?.?ZDEM=45°,

ZEMD=67.5°,HPDE=EM.

■：AE=AE,ZAED=ZAEC,/DAE=/CAE,

:.MDE=MCE(ASA),

DE—CE,

■.■AMEF為等腰直角三角形，

EF=應(yīng)EM，

.EFEFEF丘EMr-京合丁號

:------=——=——=---------=V2，故⑤正確;

BFCEDEDE

故答案為：①②③④⑤.

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，難度

較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

11.如圖，已知，BE、CE分別平分NABC和NACD且/3EC=30度，則/E4C=

_____度.

試卷第16頁，總33頁

A

【答案】60

【分析】

根據(jù)三角形的一個外角等于?與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得NACD=NBAC+NABC,

ZECD=ZBEC+ZEBC,根據(jù)角平分線的定義可得/EBC=工/ABC,ZECD=-

22

ZACD,然后整理得到NBEC=，ZBAC,過點E作EFLBD于F,作EG1AC于G,

2

作EHIBA交BA的延長線于H,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得

EF=EG=EH,再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出AE平分NCAH,

然后列式計算即可得解.

【詳解】

解：由三角形的外角性質(zhì)得，ZACD=ZBAC+ZABC,ZECD=ZBEC+ZEBC,

VBE,CE分別平分NABC和NACD,

AZEBC=—ZABC,ZECD=—ZACD,

22

AZBEC+ZEBC=-(ZBAC+ZABC),

2

AZBEC=—ZBAC,

2

?.?/BEC=30。，

ZBAC=60°,

過點E作EF_LBD于F,作EGJ_AC于G,作EH_LBA交BA的延長線于H,

VBE,CE分別平分/ABC和NACD,

；.EF=EH,EF=EG,

/.EF=EG=EH,

???AE平分NCAH,

.\ZEAC=—(180°-ZBAC)=—(180°-60°)=60°.

22

故答案為：60°.

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的

性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平

分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在AABC中，D是AC邊上的中點，連接BD,把ABDC沿BD翻折，得

到ABDU,DC與AB交于點A，，連接AC,若AD=AC，=4,BD=6,貝lj點D到BC

的距離為.

【答案】還I

【分析】

連接CC,交BD于點M,過點D作DHLBC于點H,由翻折知，△BDC絲△BDC,

BD垂直平分CCUFAADC,為等邊三角形，利用含30。直角三角形的性質(zhì)求出DM=2,

CM=囪DM=2百，BM=4,在RsBMC中，利用勾股定理求出BC的長，在4BDC

中利用面積法求出DH的長，則可得出答案.

【詳解】

解：如圖，連接CC',交BD于點M,過點D作DHJ_BC吁點H,

aDC

VAD=AC,=4,D是AC邊上的中點，

：.DC=AD=4,

由翻折知，ABDC絲△BDC,BD垂直平分CC,

試卷第18頁，總33頁

ADC=DC=4,BC=BC,CM=C'M,

???AD=AC=DC'=4,

???△ADC為等邊三角形，

???ZADC'=NACD=ZC'AC=60°,

VDC=DC,

,NDCC'=NDC'C=—x60°=30°,

2

在RsCDM中，NDC'C=30。,DC'=4,

；.DM=2,

由勾股定理可得C'M=&DM=2百，

；.BM=BD-DM=6-2=4,

在RtABMC'中，

BC=^BM2+C'M2=^42+（273）2=2幣，

SBDC=gBC?DH=gBD?C'M,

；.2V7xDH=6x2百，

7

,/ZDCB=ZDBC,

.?.點D到BC的距離為電史.

7

故答案為：還I.

7

【點睛】

本題主要考查折疊的性質(zhì)、等邊三角形的和判定性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)、勾

股定理及二次根式的運算，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，已知等腰AA5C中，A5=AC=5,BC=?,E是5c上的一個動點，將△A5E

沿著AE折疊到△AOE處，再將邊AC折疊到與AO重合，折痕為4/，當(dāng)AOE尸是

等腰三角形時，5E的長是.

A

BE

D

5257

【答案】二或一或一.

284

【分析】

分三種情況討論：DE=DF,DE=EF,EF=DF.利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形解

題.

【詳解】

解：由折疊可知，BE=DE,DF=CF,AD=AB=AC=5,

當(dāng)DE=DF時，如圖I,

圖1

此時DE=DF=BE=CF,

VAB=AC,

.*.ZB=ZC,

在4ABE^IAACF中，

AB=AC

<ZB=ZC

BE=CF

.,.△ABE四△ACF,

，AE=AF,

.??AD垂直平分EF,

.,.EH=FH,BH=CH=-BC=4,

2

AH=y/AB2-BH2=\/52-42=3,

/.”75=5—3=2,

試卷第20頁，總33頁

設(shè)BE=DE=x,則￡W=4—x,

則在直角ADHE中，

(4-%)2+22=X2,

解得X=不，

2

當(dāng)DE=EF時，如圖2,作AH_LBC于H,連接BD,延長AE交BD于N,

圖2

可知BE=DE=EF,

VAH±BC,AB=AC,BC=8

ABH=CH=4,

:?AH=dAB?_BH2=6_42=3,

設(shè)EH=m,則8E=EE=4—機(jī)，

ACF=8-2（4-m）=2m,即=2加

：AB=AD,/BAN=NDAN,

，AN_LBD,BN=DN,

EN=-DF=m,

2

EN=EH

在4AHEfilABNE中，

ZAHE=/BNE=90°

<EH=EN

NAEH=NBEN

AAAHE^ABNE,

，AE=BE,

設(shè)5E=AE=x,則￡H=4—x,

在宜角△AEH中，

（4—+32=x2?

解得X=上

8

當(dāng)DF=EF時，如圖3,過A作AH_LBC于H,延長AF交DC于M,

圖3

同理族=。/=」25

8

5257

故答案為：一或—或一.

284

【點睛】

本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論是

解題的關(guān)鍵.

14.如圖，點A(-2,0),直線I：y=3%+迫與x軸交于點B,以AB為邊作等

33

邊AABAi,過點Al作A1B]〃X軸，交直線I于點B1,以A1B|為邊作等邊△A1B1A2,

過點A2作A2B2〃X軸，交直線1于點B2,以A2B2為邊作等邊△A2B2A3,則點A3的坐

標(biāo)是.

【答案】(|,苧)

【分析】

先根據(jù)解析式求得B的坐標(biāo)，即可求得AB=1,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30。角的

直角三角形的性質(zhì)，依次即可求得Ai、Ai、A3的坐標(biāo).

試卷第22頁，總33頁

【詳解】

解：?.?直線1：y=K3x+且與x軸交于點B,

33

???B(-1,0),

.\OB=1,

VA(-2,0),

OA=2,

:.AB=1,

「△ABAI是等邊三角形,

把y=1,代入y=3x+3,求得X=L,

2332

AiBi=2,

???4(-；岑+爭2)，即4(—g,孚,

加3c仆xA/3V3+陽_7

JLy=------代入y=-----x4------>求f、rx=不

-2,332

773.

T)’

【點睛】

本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及等邊三角形的性質(zhì)的運用，解決問題

的關(guān)鍵是正確運用等邊三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上的點坐標(biāo)的特征表示點的坐標(biāo).

三、解答題（本大題共4小題）

15.如圖，已知RSABC中，NACB=90。，CZ）_LA8于點O,NB4C的平分線分別

交.BC,CD于點E、F.

(1)試說明ACE尸是等腰三角形；

(2)若點E恰好在線段48的垂直平分線上，猜想：線段AC與線段A8的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若AC=2.5,求A48E的面積.

【答案】(1)見解析；(2)A8=2AC,理由見解析；(3)史1

12

【分析】

(1)求出NB=NACQ,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出/CFE=NCEF,根據(jù)等腰三角形

的判定得出即可；

(2)求出N8=NCAE=N8AE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N8=30。，再求出答案即

可；

(3)求出高EM的長，求出A8的長，再根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

【詳解】

解：⑴'：CD±AB,

NCOS=90。，

.?.N8+NBCO=90°,

,/ZACB=90°,

：.ZACD+ZBCD=90°,

：.ZACD=ZB,

平分/BAC,

：.ZCAE=^BAE,

：./4C￡)+/C4E=ZB+ZBAE,

即NCFE=ZCEF,

:.CF=CE,

即^CEF是等腰三角形；

(2)AB=2AC,

理由是：在線段AB的垂直平分線上，

:.AE=BE,

試卷第24頁，總33頁

:,NB=NBAE,

ZCAE=ZBAEfZACB=90°f

???3N3=90。，

.\ZB=30°,

：.AB=2AC；

(3)VAC=2.5,

.\AB=2AC=59

由(2)得，ZCAB=60°,

TAE平分NCA8,

AZCEA=30°,設(shè)CE為x,貝ijAE為2x,

AC=7A￡2-CE2=V3X-

5也

f

6

5R

:.EM=CE=^LL,

6

.?.△48石的面積5=，496加=-x5x^!l=^!i.

22612

【點睛】

本題考查勾股定理、等腰三角形的判定、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟

練運用所學(xué)知識，整合已知條件，解決綜合問題.

16.在等邊△ABC中，點P為△ABC所在平面內(nèi)一點.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點P在AABC內(nèi)，以CP為邊作等邊△CPD,連AP,BD,延長AP交

BD的延長線于點Q,求NAQB的度數(shù)；

(2)如圖2,點P在AABC內(nèi)，且NAPC=120。，M為AC的中點，連PM,PB,求

證：PB=2PMS

(3)如圖3,在(1)的條件下，將等邊△CPD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至B,C,P三點共

線，連AP,BD交于點E,連接EC,設(shè)AE=a,DE=b,CE=c,若BC=3CP,直

接寫出竺弛的值.

C

3b

【答案】(1)ZAQB=60°；(2)見解析；(3)9==2.

C

【分析】

(1)如圖1中，設(shè)AQ交BC于J.證明△ACP四△BCD(SAS),推出/CAP=NCBD,

可得結(jié)論.

(2)如圖2中，延長PM到T,使得MT=PM,連接CT,延長AP到K,使得PK=PC,

連接BK,CK.證明△AMP絲△CMT(SAS),推出PA=CT,AP=CT,ZPAM=ZMCT,

再證明APKB-/XPCT(SAS),推出PB=PT,可得結(jié)論.

(3)過點C作CW_LPA于W,CR1BDTR,在EB上取一點L,使得EL=EA,連接

AL,設(shè)BD交AC于O.首先證明BE=AE+EC,EP=EC+DE,再證明BE=3PE,由此構(gòu)

建關(guān)系式，即可解決問題.

【詳解】

解：(1)如圖1中，設(shè)AQ交BC于J.

圖1

VAABC,ACPD都是等邊三角形，

；.CA=CB,CP=CD,ZACB=ZPCD=60°,

，NACP=/BCD,

在小ACPffABCD中，

試卷第26頁，總33頁

CA=CB

<NACP=ZBCD,

CP=CD

AAACP^ABCD(SAS),

，NCAP=NCBD,

VZAJC=ZBJQ,

.,.ZBQJ=ZACJ=60°,

.,.ZAQB=60°.

(2)如圖2中，延長PM到T,使得MT=PM,連接CT,延長AP到K,使得PK=

PC,連接BK,CK.

在^AMP^IlACMT中，

'MA=MC

<NAMP=ZCMT,

MP=WTT

.,.△AMP^ACMT(SAS),

；.PA=CT,AP=CT,NPAM=/MCT,

，PA〃CT,

VZAPC=120°,

/.ZCPK=ZPCT=60°,

：PK=PC,

...△PCK是等邊三角形，

由(1)可知，4ACP絲Z\BCK(SAS),

；.AP=BK,ZAPC=ZCKB=120°,

VZCKP=60°,

，NPKB=NPCT=60°,BK=CT,

在^PKB和小PCT中,

KP=CP

<ZPKB=ZPCT,

KB=CT

.,.△PKB^APCT(SAS),

.,.PB=PT,

；PT=2PM,

/.PB=2PM.

(3)過點C作CW_LPA于W,CR_LBD于R,在EB上取一點L,使得EL=EA,連

接AL,設(shè)BD交AC于O.

圖3

VAABC,ADCP都是等邊三角形，

/.CA=CB,CD=CP,ZBCA=ZDCP=60°,

/.ZACP=ZBCD,

在4ACP^lABCD中，

CA=CB

<ZACP=NBCD,

CP=CD

.".△ACP^ABCD(SAS),

.\ZCAP=ZCBD,

,/ZAOE=ZBOC,

，NAEO=NBCO=60。，

AZBEP=120°,

；CW_LAP,CR±BD,

.\CW=CR(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等)，

，CE平分NBEP,

，NCEB=NCEP=/PED=60°,

VAE=EL,

...△AEL是等邊三角形，

試卷第28頁，總33頁

同理(1)可證，ZiBAL空Z\CAE,

AEC=BL,

?'BE=EL+BL=AE+EC=a+c,

同法可證EP=b+c,

CP

S"CPL.pp.cw

2

；.BE=3PE,

，a+c=3(b+c),

**.a-3b=2c,

.a-3b

=2.

c

【點睛】

本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

17.如圖，在口鉆。中，AB=2及,Z5=45°,ZC=60°.

(1)求8c邊上的高線長；

(2)點E為線段48的中點，點尸在邊AC上，連結(jié)ER沿E尸將口人￡尸折疊得到口尸，

連接24、PE、PF.

①如圖2,當(dāng)PFLAC時，求AP的長；

②如圖3,當(dāng)點尸落在8c上時，求證：PF=FC.

【答案】(1)2；(2)①太；②見詳解

【分析】

(1)過點A作ADLBC于D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，即可求解；

(2)①設(shè)AP與EF交于點O,根據(jù)折疊的性質(zhì)，得/AFE=45。，EF垂直平分A