高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)人教A版基礎(chǔ)知識梳理

高中數(shù)學(xué)（人教A版）必修一知識點總結(jié)第一章集合與簡單邏輯用語集合知識回顧1、元素與集合（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式知識回顧1、不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.自然語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號語言2、實數(shù)大小的比較1、作差法比大?。孩?；②；③2、作商法比大小（適用于兩個正數(shù)的大小比較）3、不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價于）傳遞性（推出）可加性（等價于可乘性注意c的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向正值可乘性正值可乘方性a，b同為正數(shù)正值可開方性知識回顧1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．5、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值；2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識回顧1、二次函數(shù)（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).（2）特點：函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)方程的實根；的零點；2、一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實數(shù)根，()有兩相等實數(shù)根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)知識回顧1、函數(shù)的概念設(shè)、是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作，.其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、同一（相等）函數(shù)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．同一（相等）函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．3、函數(shù)的表示函數(shù)的三種表示法解析法（最常用）圖象法（解題助手）列表法就是把變量，之間的關(guān)系用一個關(guān)系式來表示，通過關(guān)系式可以由的值求出的值.就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量，的值.就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.知識回顧1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)性的定義（從數(shù)的角度）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，；當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)②當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。（2）單調(diào)性簡圖：（從形的角度：從左向右看）（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（☆單調(diào)區(qū)間要寫滿）.2、函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①對于任意的，都有(或者)；存在，使得則稱為函數(shù)最大值（最值是區(qū)域上的整體性質(zhì)。）3、函數(shù)的奇偶性請分別畫出函數(shù)的函數(shù)圖像奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱4、函數(shù)對稱性常用結(jié)論（一、軸對稱）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則；②；③（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則①②③（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則①②③知識回顧1、冪函數(shù)定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．2、五種常見冪函數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）知識回顧常見幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(，為常數(shù)，)二次函數(shù)模型(，，為常數(shù)，)分段函數(shù)模型冪函數(shù)模型(，，為常數(shù)，)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識回顧1、根式的概念及性質(zhì)（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．（2）性質(zhì)：①(且)；②當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，2、分數(shù)指數(shù)冪①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．3、指數(shù)冪的運算性質(zhì)①；②；③.4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)底數(shù)圖象性質(zhì)定義域為，值域為圖象過定點當(dāng)時，恒有；當(dāng)時，恒有當(dāng)時，恒有；當(dāng)時，恒有在定義域上為增函數(shù)在定義域上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質(zhì)與的取值有關(guān)，應(yīng)分與來研究知識回顧1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).（2）牢記兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù).（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2、對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式（1）對數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)具有以下性質(zhì)：①負數(shù)和零沒有對數(shù)，即；②1的對數(shù)等于0，即；③底數(shù)的對數(shù)等于1，即；④對數(shù)恒等式.（2）對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么：①；②；③.（3）對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：.換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應(yīng)用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以為底的自然對數(shù).換底公式的變形及推廣：①；②；3、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）對數(shù)函數(shù)的定義形如(，且)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過點，即當(dāng)時，在上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)4.3函數(shù)的應(yīng)用（二）知識回顧1、函數(shù)的零點對于一般函數(shù)，我們把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．注意函數(shù)的零點不是點，是一個數(shù).2、函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)即方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．3、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數(shù).4、常見函數(shù)模型（1）指數(shù)函數(shù)模型（且，）（2）對數(shù)函數(shù)模型（且，）5、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長平緩介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個，當(dāng)時，有第五章三角函數(shù)知識回顧1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2、角的分類①正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.②負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.3、象限角（1）定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認為這個角不屬于任何一個象限.（2）象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或4、終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為5、弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).6、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，7、常用的角度與弧度對應(yīng)表角度制弧制度8、扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.知識回顧1、任意角的三角函數(shù)定義（1）單位圓定義法：如圖,設(shè)是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點①正弦函數(shù)：把點的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù),記作,即②余弦函數(shù)：把點的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù),記作,即

③正切函數(shù)：把點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)（2）終邊上任意一點定義法：在角終邊上任取一點，設(shè)原點到點的距離為①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)：

③正切函數(shù)：()

2、三角函數(shù)值在各象限的符號,,在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系:（，）知識回顧誘導(dǎo)公式一①②③其中.

公式二公式三公式四第一組：公式一、二、三、四，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)；公式五公式六第二組：公式五、六，實現(xiàn)正弦、余弦之間的轉(zhuǎn)化；圖象與性質(zhì)知識回顧正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心對稱軸方程無遞增區(qū)間遞減區(qū)間無三角恒等變換知識回顧1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降冪公式4、輔助角公式：(其中)；知識回顧1、五點法作圖必備方法：五點法步驟③①②對于復(fù)合函數(shù)，第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序