廣東省江門市開平第五中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

廣東省江門市開平第五中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則A.

B.

C.

D.參考答案：B，，所以,選B.2.“”是“”的（A）充分而不必要條件

（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】充分條件與必要條件【試題解析】因為由解得：x>0或x<0.所以“x>0或x<0”是“”的必要而不充分條件。3.設(shè)a=log36，b=log510，c=log714，則(

)A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c參考答案：D【考點】對數(shù)值大小的比較；不等關(guān)系與不等式．【專題】計算題．【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），化簡a，b，c然后比較log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因為a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因為y=log2x是增函數(shù)，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故選D．【點評】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C略5.雙曲線的左、右焦點分別為，。若雙曲線上存在點使，則該雙曲線的離心率的取值范圍為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.

參考答案：A7.已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·＝(

).

A.－12

B.

－2

C.

0

D.4參考答案：C8.已知實數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)=（）A．2

B．5

C．6

D．7參考答案：B9.設(shè)函數(shù)f（x）＝（sinx－cosx）（0≤x≤2011π），則函數(shù)f（x）的各極大值之和為（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：D略10.設(shè)直線y=t與曲線C：y=x（x﹣3）2的三個交點分別為A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．現(xiàn)給出如下結(jié)論：①abc的取值范圍是（0，4）；②a2+b2+c2為定值；③c﹣a有最小值無最大值．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函數(shù)圖象，判斷t的范圍，根據(jù)f（x）的變化率判斷c﹣a的變化情況，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值進行判斷．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．當(dāng)x＜1或x＞3時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函數(shù)，在（1，3）上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時，f（x）取得極大值f（1）=4，當(dāng)x=3時，f（x）取得極小值f（3）=0．作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：∵直線y=t與曲線C：y=x（x﹣3）2有三個交點，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，則a，b，c是g（x）的三個實根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函數(shù)圖象可知f（x）在（0，1）上的變化率逐漸減小，在（3，4）上的變化率逐漸增大，∴c﹣a的值先增大后減小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正確，故選：C．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象，三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個數(shù)，如．則

．參考答案：3812.一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為20的樣本。已知B層中每個個體被抽到的概率都是，則總體中的個體數(shù)為

。參考答案：240略13.若至少存在一個x＞0，使得關(guān)于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：（）考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．專題：數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．分析：原不等式為：2﹣x2＞|x﹣a|，在同一坐標(biāo)系畫出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和y=|x|兩個圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，易得實數(shù)a的取值范圍．解答： 解：不等式等價為：2﹣x2＞|x﹣a|，且2﹣x2＞0，在同一坐標(biāo)系畫出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和y=|x|兩個函數(shù)圖象，將絕對值函數(shù)y=|x|向左移動，當(dāng)右支經(jīng)過（0，2）點，a=﹣2；將絕對值函數(shù)y=|x|向右移動讓左支與拋物線y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切時，由，即x2﹣x+a﹣2=0，由△=0解得a=．由數(shù)形結(jié)合可得，實數(shù)a的取值范圍是（﹣2，）．故答案為：（﹣2，）．點評：本題考查的知識點是一元二次函數(shù)的圖象，及絕對值函數(shù)圖象，其中在同一坐標(biāo)中，畫出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和y=|x|兩個圖象，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想得到答案，是解答本題的關(guān)鍵．14.已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B兩點，則直線AB的方程為

．參考答案：x﹣y﹣1=0考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定；相交弦所在直線的方程．專題：直線與圓．分析：將兩個方程相減，即可得到公共弦AB的方程，然后根據(jù)半弦長與弦心距及圓半徑，構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，易求出公共弦AB的長．解答： 解：圓C1：x2+y2=1與圓C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B兩點，則直線AB的方程為：x2+y2﹣1﹣[（x﹣1）2+（y+1）2﹣1]=0即x﹣y﹣1=0故答案為：x﹣y﹣1=0．點評：本題考查的知識點是圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弦長的求法，其中將兩個圓方程相減，直接得到公共弦AB的方程可以簡化解題過程．15.若是平面內(nèi)夾角為的兩個單位向量，則向量的夾角為

．參考答案：16.函數(shù)f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函數(shù)是．參考答案：【考點】反函數(shù)．【分析】直接利用反函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2，（x＜﹣2），則y＞4．可得x=，所以函數(shù)的反函數(shù)為：．故答案為：．【點評】本題考查反函數(shù)的定義的應(yīng)用，考查計算能力．17.已知數(shù)列{an}滿足：對任意的n∈N*均有an+1=kan+2k﹣2，其中k為不等于0與1的常數(shù)，若ai∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，則滿足條件的a1所有可能值的和為．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【分析】依題意，可得an+1+2=k（an+2），再對a1=﹣2與a1≠﹣2討論，特別是a1≠﹣2時對公比k分|k|＞1與|k|＜1，即可求得a1所有可能值，從而可得答案．【解答】解：∵an+1=kan+2k﹣2，∴an+1+2=k（an+2），∴①若a1=﹣2，則a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2復(fù)合題意；②若a1≠﹣2，k為不等于0與1的常數(shù)，則數(shù)列{an+2}是以k為公比的等比數(shù)列，∵ai∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5，an+2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，則k=﹣3，由a2+2=10=﹣3（a1+2）得：a1=﹣；若公比|k|＜1，則k=﹣，由a2+2=﹣270=﹣（a1+2）得：a1=808．綜上所述，滿足條件的a1所有可能值為﹣2，﹣，808．∴a1所有可能值的和為：﹣2=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)某公司生產(chǎn)產(chǎn)品A，產(chǎn)品質(zhì)量按測試指標(biāo)分為：指標(biāo)大于或等于90為一等品，大于或等于80小于90為二等品，小于80為三等品，生產(chǎn)一件一等品可盈利50元，生產(chǎn)一件二等品可盈利30元，生產(chǎn)一件三等品虧損10元?，F(xiàn)隨機抽查熟練工人甲和新工人乙生產(chǎn)的這種產(chǎn)品各100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：現(xiàn)將根據(jù)上表統(tǒng)計得到甲、乙兩人生產(chǎn)產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的頻率分別估計為他們生產(chǎn)產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率。(1)計算新工人乙生產(chǎn)三件產(chǎn)品A，給工廠帶盈利大于或等于100元的概率；(2)記甲乙分別生產(chǎn)一件產(chǎn)品A給工廠帶的盈利和記為X，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望。參考答案：甲生產(chǎn)一件產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率分別為，3分乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率分別為，

6分（1）新工人乙生產(chǎn)三件產(chǎn)品A，給工廠帶盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率為：

8分（2）隨機變量X的所有可能取值為100,80,60,40,20,-20。所以，隨機變量X的概率分布為：10分隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（元）12分19.若的圖象關(guān)于直線對稱，其中（I）求的解析式；（II）將的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，（縱坐標(biāo)不變）后得到的的圖象；若函數(shù)的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，求a的值.參考答案：略20.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量=（a，c），=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），∥（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大內(nèi)角，求角A的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】正弦定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用平面向量平行的性質(zhì)，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，聯(lián)立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，結(jié)合A是最大角，即可得解A的值．【解答】（本大題滿分12分）解：（Ⅰ）因為：，所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10．….6分（Ⅱ），又因為sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），則，2sinA+cosA=2，又sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于A是最大角，所以，．….12分【點評】本題主要考查了平面向量平行的性質(zhì)，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C1與C2交于A，B兩點，AB的中點為M，點，求的值.參考答案：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）3.【分析】（1）直接消去參數(shù)可得C1的普通方程；結(jié)合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ得C2的直角坐標(biāo)方程；（2）將兩圓的方程作差可得直線AB的方程，寫出AB的參數(shù)方程，與圓C2聯(lián)立，化為關(guān)于t的一元二次方程，由參數(shù)t的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系求解．【詳解】（1）曲線的普通方程為.由，，得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）將兩圓的方程與作差得直線的方程為.點在直線上，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡得，所以，.因為點對應(yīng)的參數(shù)為，所以.【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，著重考查直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，是中檔題．22.定義：設(shè)f（x）為（a，b）上的可導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）為增函數(shù)，則稱f（x）為（a，b）上的凸函數(shù)．（1）判斷函數(shù)y=x3與y=lg是否為凸函數(shù)；（2）設(shè)f（x）為（a，b）上的凸函數(shù)，求證：若λ1+λ2+…+λn=1，λi＞0（i=1，2，…，n），則?xi∈（a，b）（i=1，2，…，n）恒有λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）=f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）成立；（3）設(shè)a，b，c＞0，n∈N*，n≥b，求證：an+bn+cn≥an﹣5b3c2+bn﹣5c3a2+cn﹣5a3b2．參考答案：【考點】R6：不等式的證明；3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】（1）利用定義，判斷函數(shù)y=x3與y=lg是否為凸函數(shù)；（2）n=2時，即證：λ1λ2＞0且λ1+λ2=1時，λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2），再用