專題二如何整體把握高中數(shù)學(xué)課程

PagePage1PagePage1專題二如何整體把握高中數(shù)學(xué)課程——高中數(shù)學(xué)課程主線分析第二講（張思明北大附中數(shù)學(xué)特級(jí)教師）:各位老師大家好,歡迎各位老師繼續(xù)參加高中數(shù)學(xué)新課程國(guó)家級(jí)遠(yuǎn)程培訓(xùn),在上節(jié)課里，我們對(duì)高中數(shù)學(xué)課程的主線之一——函數(shù)進(jìn)行了一個(gè)比較細(xì)致的分析，在這講里，我們將繼續(xù)對(duì)其他的幾條主線進(jìn)行分析，那好我們首先先請(qǐng)王老師,對(duì)于運(yùn)算這條主線進(jìn)行一下分析。王老師（王尚志首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師、教授）：上一講張老師對(duì)于函數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的位置進(jìn)行了分析，那么我先對(duì)于運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)課程中的位置做一個(gè)簡(jiǎn)單的分析，提供給各位老師做一個(gè)參考。

大家知道運(yùn)算始終是數(shù)學(xué)課程最基本的內(nèi)容,也是最基本的能力，我們?cè)谛W(xué)階段學(xué)習(xí)了數(shù)的運(yùn)算,初中階段,我們完整的理解了有理數(shù)的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，或者初步的理解了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，我們又引入了代數(shù)式的運(yùn)算,并且利用這種運(yùn)算去研究方程、函數(shù)、不等式等等，那么我們可以看出運(yùn)算的作用，我想在小學(xué)初中運(yùn)算的這些作用,沒(méi)有結(jié)束，在高中課程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，仍然在發(fā)揮作用，因此我想提醒老師注意的第一個(gè)問(wèn)題是,無(wú)論學(xué)生在初中和小學(xué)階段運(yùn)算學(xué)到什么程度,我們高中的老師都有責(zé)任幫助他們繼續(xù)提升和培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力,因此在高中階段我們應(yīng)該有意識(shí)的幫助學(xué)生培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力,提升他們的運(yùn)算能力。下面我來(lái)分析一下高中運(yùn)算的主要內(nèi)容，在高中階段,除了會(huì)不斷的使用多項(xiàng)式運(yùn)算和數(shù)的運(yùn)算之外,我們又引入了一些新的運(yùn)算對(duì)象，其中特別突出的就是指數(shù)運(yùn)算,就是,還有相應(yīng)的一些指數(shù)運(yùn)算的法則，比如說(shuō)，等等.老師都應(yīng)該知道，我說(shuō)的第一個(gè)性質(zhì)，是指數(shù)運(yùn)算最根本的性質(zhì)，當(dāng)然我們不要去推導(dǎo)，后面是怎么從前面推導(dǎo)出來(lái)的，我想這是一個(gè)重要的運(yùn)算的載體，這個(gè)運(yùn)算的載體會(huì)滲透在我們對(duì)于很多問(wèn)題的思考過(guò)程中.同時(shí)我們還會(huì)利用這種運(yùn)算,去研究指數(shù)函數(shù),另外一個(gè)運(yùn)算的載體就是對(duì)數(shù)函數(shù),它和指數(shù)函數(shù)是相對(duì)應(yīng)的，我就不重復(fù)了。指數(shù)函數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算，在我們高中的學(xué)習(xí)中碰到的新的運(yùn)算載體，那么到了必修4的課程里面,我們還會(huì)學(xué)習(xí)另外一些運(yùn)算規(guī)則，就是我們傳統(tǒng)說(shuō)的三角函數(shù)的很多背景，實(shí)際上我們也何以把它看作一種運(yùn)算，比如說(shuō)明等等，我們既可以把它看作公式，也是一種運(yùn)算的法則,在三角函數(shù)研究過(guò)程中，這種法則常常會(huì)起作用，當(dāng)然我們可以告訴老師在高中階段,三角函數(shù)運(yùn)算法則的作用，發(fā)揮的不是特別的重要，到了大學(xué)的學(xué)習(xí)，特別研究三角級(jí)數(shù)的時(shí)候，這些運(yùn)算法則才會(huì)真正的發(fā)揮作用，我想我們學(xué)到的指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算和三角運(yùn)算，如果從運(yùn)算的角度來(lái)說(shuō)，我希望我們的老師應(yīng)該清楚,這些運(yùn)算和我們所學(xué)過(guò)數(shù)的運(yùn)算和多項(xiàng)式的運(yùn)算有一些不同，通常我們?cè)跀?shù)學(xué)里叫它做非線性運(yùn)算，這些運(yùn)算的掌握是提升我們學(xué)生運(yùn)算能力的重要載體。除了這個(gè)載體，在高中階段還有一個(gè)非常非常重要的運(yùn)算載體，就是向量，二維向量和三維向量,它提供了我們非常豐富的運(yùn)算的內(nèi)涵，它不僅有向量的加法,向量的數(shù)乘，還有向量的點(diǎn)乘，將來(lái)還會(huì)學(xué)習(xí)向量的其他運(yùn)算形式。所以向量的運(yùn)算給我們整個(gè)的對(duì)運(yùn)算的理解帶來(lái)了一個(gè)新的面孔，這一點(diǎn)在大學(xué)一年級(jí)的課程中，給予足夠的呼應(yīng)，也就是說(shuō)我們?cè)诖髮W(xué)一年級(jí)所學(xué)的線性代數(shù)中所要學(xué)到的線性空間的概念，實(shí)際上就是向量運(yùn)算概念的一個(gè)直接的拓展，我們不僅要重視向量的運(yùn)算,還要重視向量運(yùn)算的意義，特別是它的幾何意義和它的物理背景，向量每一個(gè)運(yùn)算,都有著它明確的幾何意義。比如說(shuō)我們?cè)趲缀沃幸芯康闹饕獑?wèn)題是直線型的平行與垂直，判定垂直的主要應(yīng)用了向量的點(diǎn)乘是不是等于零,判斷平行的主要使用共線問(wèn)題。所以我想向量作為一種新的運(yùn)算載體，對(duì)我們整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用是非常重要的.這是我們所說(shuō)的運(yùn)算的載體.張老師（張飴慈首都師范大學(xué)教授）：我想對(duì)我們中學(xué)來(lái)說(shuō)向量是非常重要的，它的運(yùn)算是用幾何的平行四邊形來(lái)做，但是它運(yùn)算的規(guī)律卻同我們過(guò)去的很相像,這個(gè)非常困難.除了這個(gè)以外，在我們中學(xué)里面還有幾個(gè)重要的運(yùn)算,一個(gè)就是復(fù)數(shù)的運(yùn)算,還有就是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，兩個(gè)相乘的導(dǎo)數(shù)、兩個(gè)相除的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。所以，運(yùn)算始終是我們高中的一個(gè)主線,一個(gè)人的運(yùn)算能力反映了他思維清楚不清楚,我們常說(shuō)培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯思維能力,實(shí)際上這個(gè)運(yùn)算的本身也很反映這個(gè)問(wèn)題,所以運(yùn)算的能力的培養(yǎng)始終是我們關(guān)注的問(wèn)題，數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力，所謂簡(jiǎn)化的思維對(duì)他的做問(wèn)題的正確能夠有意義,另外要關(guān)注運(yùn)算的背景,向量的幾何背景，向量的物理背景，兩個(gè)向量的和-—力，向量的內(nèi)積就是做功等。只有關(guān)注運(yùn)算的背景,才能知道這個(gè)運(yùn)算法則為什么會(huì)這樣。王老師：從運(yùn)算的角度里我們要去理解數(shù)形結(jié)合,將來(lái)我們?cè)購(gòu)膱D形的角度，又要從另外一個(gè)角度來(lái)理解數(shù)形結(jié)合，這是運(yùn)算的載體，另外我們必須認(rèn)識(shí)，運(yùn)算的作用不僅僅限于這些載體,更重要的是運(yùn)用我們所學(xué)過(guò)的運(yùn)算，綜合的使用去解決某些問(wèn)題。比如說(shuō)研究函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性,研究線性規(guī)劃問(wèn)題，研究很多的問(wèn)題，計(jì)數(shù)問(wèn)題，二項(xiàng)式定理，可能都需要用。所有這些都是運(yùn)算的一個(gè)直接應(yīng)用。所以,我想學(xué)生運(yùn)算能力的提升，我們應(yīng)該采取一種整體的管理，這是我們高中三年的基本任務(wù)，不是一次課、兩次課能解決的問(wèn)題，而是持續(xù)下來(lái)的問(wèn)題,很多技能都是通過(guò)對(duì)某種運(yùn)算總結(jié)，比如說(shuō)配方法、消元法，都是特定的一系列運(yùn)算步驟形成的一種固定的方法.張老師：算法里的二分法求方程的解。王老師:所以對(duì)于運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，我覺(jué)得可能是最重要的。我個(gè)人的觀點(diǎn)，覺(jué)得在高中所有的這些能力中,我們第一位要重視的是計(jì)算能力，當(dāng)然我不是說(shuō)忽視其他的能力。我們要幫助學(xué)生，要會(huì)算，要算的比較正確，要算的正確，這種能力的培養(yǎng)，我們老師要把它始終作為教學(xué)的一個(gè)基點(diǎn)。所以，我這兒提出一個(gè)問(wèn)題供老師參考,你的學(xué)生在計(jì)算上還有哪些問(wèn)題，反映在哪些地方，你有什么好的經(jīng)驗(yàn)去克服這些問(wèn)題？我想這個(gè)是我們這次研修活動(dòng)希望和老師一起研究的一個(gè)問(wèn)題。下面是北京市海淀區(qū)十九中的老師帶來(lái)的案例:張：各位老師大家好，這里我先向大家介紹兩位一線的老師，我身邊這位,是北京市海淀區(qū)第十九中譚晉軒老師，（檀晉軒：北京十九中高級(jí)教師）這邊是同一學(xué)校的王肖華老師（王肖華：北京十九中區(qū)骨干教師）。兩位老師都是海淀區(qū)優(yōu)秀的青年骨干教師，這次請(qǐng)他們來(lái)，想就整體把握高中數(shù)學(xué)課程的一個(gè)很有必要討論的問(wèn)題—--就是怎么樣從整體上看待學(xué)生能力的發(fā)展,我們想就這個(gè)問(wèn)題聽(tīng)聽(tīng)來(lái)自一線老師給我們提供的一些案例。檀老師：從高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中來(lái)看，應(yīng)該說(shuō)運(yùn)算是一個(gè)很重要的很核心的一個(gè)能力問(wèn)題。在這一點(diǎn)上，我們?cè)诩w備課過(guò)程中，做過(guò)從五個(gè)模塊的整體的梳理，下面請(qǐng)王肖華老師給我們簡(jiǎn)單介紹一下我們梳理的結(jié)果。王:剛才譚老師已經(jīng)介紹了,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，計(jì)算能力是學(xué)生必須具備的一個(gè)非常重要的能力之一。針對(duì)前一學(xué)段,我們?cè)诒匦弈K學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算能力方面，存在很多問(wèn)題，具體在以下幾大方面,首先是函數(shù)部分，第二是數(shù)列部分，第三是不等式,還有向量，立體幾何和解析幾何部分，下面針對(duì)在必修模塊當(dāng)中，每一部分學(xué)生在計(jì)算能力方面存在一些問(wèn)題，具體簡(jiǎn)單做一下說(shuō)明。首先在必修一模塊當(dāng)中，函數(shù)部分，討論函數(shù)的單調(diào)性.利用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性,在等價(jià)變形過(guò)程當(dāng)中學(xué)生存在不知道如何去等價(jià)變形，去因式分解，再就是待定系數(shù)法求一元二次函數(shù)的解析式,怎么利用初中所學(xué)到消元的思想，把三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解,這個(gè)消元的思想，以及解方程的能力，有的同學(xué)參差不齊。第三點(diǎn)是關(guān)于求指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域,及相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。學(xué)生在給定相關(guān)的一元二次方程，如何來(lái)利用配方來(lái)求最值，如何利用整體代換的思想來(lái)求方程,以及如何針對(duì)方程當(dāng)中所隱含的，根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義隱藏的條件如何必修二模塊當(dāng)中,利用空間幾何部分,空間幾何部分主要涉及到計(jì)算空間幾何體的面積和體積的問(wèn)題,這部分主要培養(yǎng)學(xué)生也是訓(xùn)練計(jì)算能力，在這里涉及到柱、錐、臺(tái)、球它的面積和體積問(wèn)題，在這里如何來(lái)借助一些特殊的截面把立體幾何圖形轉(zhuǎn)化成平面幾何圖形，盡而借助于直角三角形的勾股定理來(lái)構(gòu)造方程，進(jìn)而來(lái)求解，這個(gè)過(guò)程很多同學(xué)存在一些問(wèn)題，以及如何利用公式中的變量，把變量看作一些未知數(shù)，這是一個(gè)等式來(lái)列方程，然后求解,學(xué)生存在不同的問(wèn)題。在必修四模塊當(dāng)中,基本初等函數(shù)三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題當(dāng)中同角三角函數(shù)兩個(gè)基本關(guān)系式,，這兩個(gè)關(guān)系式的應(yīng)用問(wèn)題存在很多問(wèn)題.因?yàn)檫@兩個(gè)最基本的關(guān)系式組合在一起，會(huì)形成一個(gè)把作為一個(gè)整體，整體代換的思想在這個(gè)前提條件下，會(huì)形成二元二次方程組,這一塊如何在利用消元的思想,把二元二次方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程求解的問(wèn)題，化簡(jiǎn)這一塊就存在很多問(wèn)題。第二點(diǎn)，是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及它圖象的性質(zhì)，靈活應(yīng)用這一塊其實(shí)存在很多問(wèn)題，比如,給定一個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的一個(gè)函數(shù)，,求這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值，以及在取得最值的時(shí)候自變量x值的集合，首先是整體代換的思想,把sinx作為一個(gè)整體未知數(shù)，在如何來(lái)進(jìn)行配方這一塊學(xué)生存在一定的問(wèn)題，以及配方完了以后，根據(jù)正弦函數(shù)本身的特性—-周期性,如何來(lái)求自變量X的集合，這一塊也存在一系列的問(wèn)題。第三個(gè)問(wèn)題是三角函數(shù)當(dāng)中，不等式求解的廣泛應(yīng)用,比如求函數(shù)的定域,值域，單調(diào)區(qū)間，比較大小，以及與三角函數(shù)有關(guān)的不等式的求解等等很多方面。比如求函數(shù)的定義域問(wèn)題，還有求函數(shù)的最值，以及對(duì)應(yīng)的自變量x的集合，還有求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間等等一系列問(wèn)題都需要學(xué)生都具備不等式求解的能力,以及如何來(lái)利用三角函數(shù)的性質(zhì)——周期性，來(lái)進(jìn)行相關(guān)的求解問(wèn)題。在必修五模塊當(dāng)中，解三角形涉及到正余弦定理，這兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用及鄉(xiāng)相互轉(zhuǎn)化邊角之間的相互轉(zhuǎn)換，以及它的實(shí)際應(yīng)用.這里主要是方程，如何把公式當(dāng)中的變量已知其中幾個(gè)，未知幾個(gè)，是一個(gè)方程的問(wèn)題。張:知三求二,就是哪些能解,哪些不能解，這里包括很多過(guò)去的知識(shí)，有一些過(guò)去沒(méi)有接觸過(guò)。王：比如已知兩邊,及其一邊所對(duì)的角，利用余弦定理也可以求相應(yīng)的問(wèn)題，這個(gè)最終都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的求解問(wèn)題,這是在初中的時(shí)候?qū)W生必須要具備的.在必修五模塊當(dāng)中第二部分—--數(shù)列部分。在這部分中方程的思想貫穿著整個(gè)數(shù)列這一章.因?yàn)閿?shù)列這一部分的公式特別多，公式這里有一個(gè)變量，這個(gè)變量也是一個(gè)方程。比如在等差數(shù)列求和當(dāng)中,知道了首項(xiàng),知道了公差,知道了和，求項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題，就會(huì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于n的一元二次方程求解的問(wèn)題。第二方面就是平方差與立方差公式在等比數(shù)列當(dāng)中的廣泛應(yīng)用。在等比數(shù)列當(dāng)中，很多涉及到高次方程。在高次方程中如何把高次的利用整體的思想轉(zhuǎn)化成低次的,這里很多需要利用平方差公式和立方差公式進(jìn)行分解，最后直接或者間接轉(zhuǎn)化成一元一次方程，或者一元二次方程來(lái)求解，因式分解這一塊學(xué)生存在很多的問(wèn)題。再就是等差數(shù)列中求最值,依然用到了配方法，也可以利用不等式求最值。在不等式部分，作差比較,在等價(jià)變形的過(guò)程中涉及到因式分解，還有配方來(lái)確定符號(hào),因式分解和配方這部分學(xué)生也存在一些問(wèn)題。在遇見(jiàn)二次不等式的求解，尤其是含參數(shù)的求定義域等等，那么對(duì)于給定的一個(gè)關(guān)于x的方程，比如說(shuō)mx2-（1-m）x+m=0，涉及到二次項(xiàng)的系數(shù)為一個(gè)參數(shù)的時(shí)候，首先要對(duì)這個(gè)參數(shù)要進(jìn)行討論，即分類討論的思想,但是他說(shuō)這個(gè)方程有兩個(gè)正實(shí)根，有的學(xué)生對(duì)于判別式與兩個(gè)正實(shí)根之間的關(guān)系不太清楚，還有針對(duì)根系關(guān)系也不清楚，這個(gè)也是初中教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，教師比較淡化的一點(diǎn)，有的學(xué)生不太清楚，所以存在一些問(wèn)題。綜合上面的必修一到必修五我們前一學(xué)段所學(xué)的知識(shí)，有聯(lián)系的一些主要問(wèn)題有以下三個(gè)方面。首先是配方法,在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中的地位和作用。第二點(diǎn)是學(xué)生具備方程的思想和解方程的能力在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的重要性。第三點(diǎn)是不等式在高中數(shù)學(xué)各個(gè)模塊當(dāng)中的地位和作用。針對(duì)這三點(diǎn)，我們著重來(lái)談一下我們學(xué)校在處理學(xué)生具備方程的思想和解方程能力這一部分，在不同的模塊當(dāng)中所處理的一些具體的情況以及我們的定位。首先,必修一模塊當(dāng)中，待定系數(shù)法求一元二次函數(shù)解析式，列方程、解方程組。這個(gè)因?yàn)樵诔踔袑W(xué)生具備了消元的思想，但是他們只具備一元二次方程，或者是二元一次方程組的求解，在解二元一次方程組的時(shí)候，學(xué)生只知道一個(gè)消元的思想.在這個(gè)基礎(chǔ)上，在給定求一元二次函數(shù)解析式是一個(gè)列完方程組以后是一個(gè)三元一次方程組，我們?cè)趯W(xué)生知道消元思想這個(gè)基礎(chǔ)上,如果把三元轉(zhuǎn)化成二元，再進(jìn)行消元思想把二成轉(zhuǎn)化成一元,這一塊繼續(xù)強(qiáng)化和加深學(xué)生對(duì)消元思想的理解。在必修四當(dāng)中,我們剛才說(shuō)了同角三角函數(shù)兩個(gè)基本關(guān)系式，在與這兩個(gè)基本關(guān)系式相關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)消元思想繼續(xù)強(qiáng)化消元思想，在消元過(guò)程當(dāng)中,我們還給學(xué)生繼續(xù)強(qiáng)化了整體代換的思想，同時(shí)在幫助學(xué)生處理化簡(jiǎn)變成一元二次方程這個(gè)過(guò)程給學(xué)生強(qiáng)調(diào)了很多,因?yàn)橛械膶W(xué)生知道去消元，但是他不知道怎么具體地去消元最后轉(zhuǎn)化成一個(gè)與或者有關(guān)的一元二次方程.在這個(gè)基礎(chǔ)上,有的同學(xué)在求解這一部分還比較欠缺，在初中有的學(xué)生，如果知道有公式法求解，他會(huì)很自然用最基本的方法求解出來(lái)，但是學(xué)生在因式分解這一塊欠缺，我們?cè)谶@個(gè)基礎(chǔ)上,同時(shí)給學(xué)生強(qiáng)化了用因式分解來(lái)求解一元二次方程過(guò)程中的解決問(wèn)題的能力和方法.在數(shù)列部分也是具體針對(duì)等比數(shù)列,還有等差數(shù)列求和的問(wèn)題，以及求某些項(xiàng)的問(wèn)題,繼續(xù)為學(xué)生強(qiáng)調(diào)整體代換的思想，如涉及到一些高次的也可以把高次的之間存在關(guān)系的比如與之間存在平方關(guān)系，利用整體的思想，可以借助平方差公式來(lái)因式分解，或者針對(duì)與之間存在立方差關(guān)系和立方和關(guān)系,進(jìn)而來(lái)因式分解,把因式分解這部分給學(xué)生強(qiáng)化了，因?yàn)閷W(xué)生在在因式分解這一塊存在很多問(wèn)題，最終的問(wèn)題又轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的求解問(wèn)題，繼續(xù)給學(xué)生加深和熟練學(xué)生的一元二次方程求解的程度。在空間幾何部分的柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積公式。問(wèn)題依然是在前面已有的基礎(chǔ)上，繼續(xù)讓學(xué)生感覺(jué)到方程、方程的思想和解方程的能力在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中是占有非常重要的地位的，而且必須要具備這種計(jì)算能力,讓學(xué)生有一個(gè)更深刻的理解.檀：大家都知道，我們今年所接到是第一批正式使用教材課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)生，在義務(wù)教育的課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)于以往的大綱體系下的一些運(yùn)算方面，做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。比方立方和、差公式，再比如說(shuō)因式分解中十字相乘法等等,在義務(wù)教育標(biāo)準(zhǔn)中已經(jīng)淡化了它的處理.但是我們經(jīng)過(guò)前期的梳理之后,發(fā)現(xiàn)有一些地方還需要用到它。從另一個(gè)角度來(lái)講，我們也可以換一個(gè)角度,去用其他的思想,比方去強(qiáng)化學(xué)生“元”的意識(shí)。就是方程中誰(shuí)作為元，這種代換,換元的思想如果從逐步強(qiáng)化的話，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生還是能夠經(jīng)過(guò)幾個(gè)模塊下來(lái)之后,對(duì)這部分內(nèi)容有所重新認(rèn)識(shí),而且加深他們對(duì)于初中方程的一些理解，把他們初中所學(xué)習(xí)過(guò)的一些方程的解題方法和一些思想進(jìn)一步提高和深化。從我們整個(gè)五個(gè)模塊教學(xué)下來(lái)，感覺(jué)到還是不用特別著急，雖然初中在這部分有一定的淡化，但是高中所用到的東西,學(xué)生還具備了一定的能力，只需要我們?cè)陔S之相應(yīng)的章節(jié)，有意識(shí)地突出和強(qiáng)化,使學(xué)生不斷地加深對(duì)這部分問(wèn)題的理解，還是能夠達(dá)到對(duì)學(xué)生計(jì)算能力有一定的提高?！局鞒秩恕课覀兲貏e感謝北京海淀十九中的王老師、譚老師給我們帶來(lái)他們通過(guò)我們的必修模塊,對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)生的分析和思考，謝謝兩位老師。謝謝。主持人:我也覺(jué)得兩位老師提的特別好，我們?cè)诨鶎永锩嬉哺杏X(jué)到，說(shuō)句實(shí)話，老師對(duì)運(yùn)算是高度的重視，但是有的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生這樣一種認(rèn)識(shí)認(rèn)為提高計(jì)算能力是要靠大量的練習(xí)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，我個(gè)人感覺(jué)到這里面是不是都對(duì),就是什么強(qiáng)度的練習(xí)能夠提高，或者是僅僅憑加大強(qiáng)度不停的進(jìn)行這種運(yùn)算是不是能夠達(dá)到提高運(yùn)算能力的目的，我也覺(jué)得兩位老師提一些您的看法。張老師：我覺(jué)得對(duì)于運(yùn)算，只靠大量的強(qiáng)度來(lái)作題是不夠的,也就是說(shuō)他要有思維,他不能做了一遍又錯(cuò)，做了一遍又錯(cuò)，甚至養(yǎng)成了一些很不好的習(xí)慣，就是要有一個(gè)比較好的一個(gè)習(xí)慣.比如說(shuō)Sinx乘3，3一定放在Sinx的前面，你放在后面，結(jié)果就不對(duì)了.就是這樣一些不好的情況會(huì)造成,另外就要培養(yǎng)學(xué)生自信的能力,就是說(shuō)每一步我要做的踏實(shí)，哪怕開(kāi)始慢一點(diǎn)，但是我要自信我能作對(duì)。那么經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的積累，有自信就能做得到。否則的話，養(yǎng)成一個(gè)不好的習(xí)慣，光靠大量的作題使勁的作題是不行的，當(dāng)然也要做一些題，特別對(duì)一些基本運(yùn)算的難點(diǎn)要把握,比如說(shuō)指數(shù)運(yùn)算，它把乘法變成了加法，這是非常容易混淆的,所以這一點(diǎn)要特別的關(guān)注。有的東西，比如說(shuō)這個(gè)乘，就比較好做,也不太容易做錯(cuò),但是加跟乘的運(yùn)算就不太好掌握了.就是說(shuō)抓一些比較容易出錯(cuò)的地方，有針對(duì)性的訓(xùn)練,我個(gè)人感覺(jué)比較好。王老師：我同意張老師的分析，第一件事，就是需要做一定量的練習(xí)這是毫不含糊，也需要做我們?cè)谥袑W(xué)階段通常所說(shuō)的變式訓(xùn)練，但在變式訓(xùn)練中，一定要抓住最根本的東西,就是那些不變的東西，不能就變成一種技巧性的展示，實(shí)際上我們?nèi)魏我粋€(gè)變式，都有那些不變的東西，我覺(jué)得這是本質(zhì)的東西，這是需要關(guān)注的第一件事。第二件事，在做運(yùn)算的同時(shí)，一定要把算理的想清楚，逐漸讓這種算理變成一種下意識(shí)的思維,這種符合規(guī)律的思維，但是如果沒(méi)有一定的思考，尤其是在掌握一個(gè)新的運(yùn)算法則的時(shí)候,沒(méi)有這樣的思考,很可能就會(huì)出大問(wèn)題。張老師：就是開(kāi)始階段的問(wèn)題.王老師：開(kāi)始階段的錯(cuò)誤會(huì)造成后面很大的擺動(dòng)。第三個(gè)問(wèn)題，我覺(jué)得這是我們一起需要來(lái)考慮的問(wèn)題，就是學(xué)生在哪些地方運(yùn)算容易出問(wèn)題，為什么出這些問(wèn)題，我舉一個(gè)例子，比如說(shuō)符號(hào)常常容易出問(wèn)題，我和很多老師討論過(guò)這個(gè)問(wèn)題,到底為什么會(huì)出這個(gè)問(wèn)題，那么發(fā)現(xiàn)了一個(gè)依據(jù)，我不知道老師是不是同意，就是在數(shù)學(xué)里面，一個(gè)符號(hào)常常只有一種含義，但是減號(hào)它有兩種不同的含義，反映在乘法，反映在減法，反映在代數(shù)和運(yùn)算中，我們都需要轉(zhuǎn)化它的含義,這一點(diǎn)是很容易出錯(cuò)誤的,另外我們通常所說(shuō)的移項(xiàng)也容易出錯(cuò)，我覺(jué)得這就是在開(kāi)始移項(xiàng)階段對(duì)它的算理缺乏一個(gè)正確的引導(dǎo)，它算理是什么呢?就是說(shuō)在等式的兩邊，同加同減一個(gè)數(shù),等號(hào)不變,你才能把等式右邊的一項(xiàng)轉(zhuǎn)到左邊,實(shí)際上你是通過(guò)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)這件事情.所以我覺(jué)得這種習(xí)慣的形成不是說(shuō)異號(hào)只是一個(gè)口訣，尤其是在我們學(xué)生在這佛教出問(wèn)題的時(shí)候，老師應(yīng)該在算理上給以指導(dǎo).所以我個(gè)人覺(jué)得,這三件事，我們都要關(guān)注。而第三件事，我特別希望我們一起來(lái)思考，這樣來(lái)提高我們整個(gè)中國(guó)的計(jì)算水平，我覺(jué)得這是我們數(shù)學(xué)教育工作者的一個(gè)基本的任務(wù).主持人：對(duì)于運(yùn)算我們分析完了,跟運(yùn)算特別接近的上一講也提到了就是算法，也是與運(yùn)算很接近的一件事情，請(qǐng)張老師幫我們分析一下算法在整個(gè)高中課程中的地位和作用。張老師：算法從這次新課標(biāo)、從名詞來(lái)看好像是新增加的,實(shí)際上不是，它始終在我們數(shù)學(xué)領(lǐng)域一直存在的，從我們?cè)谛W(xué)就學(xué)過(guò)，比如最大公約數(shù),還有初中學(xué)的像消元法，這些都是算法，算法實(shí)際上是為完成一件事情有限步的一個(gè)通性通法，它要求你、告訴你第一步怎么做，第二步怎么做，第三步怎么做,什么時(shí)候結(jié)束這個(gè)事做完了，就是這樣一個(gè)通性通法，所以就算法本身來(lái)說(shuō)，它始終是整個(gè)數(shù)學(xué)的一個(gè)核心,始終貫穿在其中。從我們中國(guó)古代開(kāi)始，中國(guó)的古代沒(méi)有邏輯論證推理，但是它始終有一種算法這樣一種構(gòu)造行為的數(shù)學(xué)。所以對(duì)我們數(shù)學(xué)老師，不應(yīng)該害怕，實(shí)際上我們只是把它提出一個(gè)名詞來(lái)，把我們過(guò)去的引申來(lái)做的，而且我們這樣整個(gè)高中的大量的問(wèn)題都是有算法的。所以我們?cè)谶@次高中課程里，我們絕不是在必修里面，那12個(gè)學(xué)時(shí)講算法，我們希望把這樣的一個(gè)算法思想在整個(gè)高中課程里總結(jié)出來(lái)。比如說(shuō)我們講完了一元二次方程式，就希望把一元二次不等式的算法給總結(jié)出來(lái)，講完線性規(guī)劃，把線性規(guī)劃的算法提出來(lái)。講一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面的距離的步驟、算法，要讓學(xué)生能夠在這些表面看起來(lái)一個(gè)一個(gè)個(gè)別的問(wèn)題，總結(jié)出通性通法，這是一個(gè)指導(dǎo)思想。所以我們要認(rèn)識(shí)到這樣一個(gè)構(gòu)造性的東西，不但是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使它越來(lái)越凸顯出來(lái)，而且在數(shù)學(xué)里面，始終是一個(gè)非常重要的。王老師：就張老師這個(gè)分析，我非常的同意。上一節(jié)課，我們?cè)?jīng)提到，在數(shù)學(xué)為什么要講算法，它的重點(diǎn)是什么，這一點(diǎn)我們上節(jié)課已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了。算法實(shí)際上有兩個(gè)組成部分，一個(gè)是它本身所需要的理解的一些基本知識(shí)，比如算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)、基本語(yǔ)句，而在這三個(gè)基本里面，最關(guān)鍵的是結(jié)構(gòu)，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)就把我們整個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程講的非常的清晰、準(zhǔn)確、直觀,我覺(jué)得這三個(gè)詞非常的重要，清晰、準(zhǔn)確、直觀,因?yàn)橐粋€(gè)框圖，我們看一遍就知道它是解決什么問(wèn)題的,所以我覺(jué)得這是算法的知識(shí)層面.另外，剛才張老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的,算法滲透在對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，剛才張老師舉了很多的例子，我再說(shuō)的稍微細(xì)一點(diǎn)，比如說(shuō)線性規(guī)劃的問(wèn)題,一旦判定一個(gè)問(wèn)題是線性規(guī)劃的問(wèn)題，第一步,確定目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)一般都是Z=AX+BY+C這種形式，即用線性的形式表達(dá)出來(lái)，其中有兩個(gè)未知數(shù)，然后我們要問(wèn),這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的定義域是什么，用線性規(guī)劃的語(yǔ)言就是它的約束的條件是什么，盡而我們需要把這個(gè)體現(xiàn)規(guī)劃問(wèn)題的約束條件找清楚，第三步要把這些約束條件用二元一次不等式表示出來(lái)，構(gòu)成一個(gè)二元一次不等式組，下面一個(gè)步驟我覺(jué)得是老師不應(yīng)該忽視的，要把這個(gè)二元一次不等式組的圖、區(qū)域定性的勾畫出來(lái)。這個(gè)時(shí)候我們就知道，定義在這樣一個(gè)圖形上的目標(biāo)函數(shù)的極值是取在哪呢?不僅是在邊界上，而且是在邊界的頂點(diǎn)上，因此第五步，就是要把所有頂點(diǎn)求來(lái)，進(jìn)而求出這些頂點(diǎn)關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值,根據(jù)題目的要求,第六步得到我們所要求的最大值最小值，這樣幾個(gè)步驟非常的清晰、準(zhǔn)確，我們用框圖一旦表示出來(lái)，直觀.我想不僅僅是線性規(guī)劃的問(wèn)題，任何一個(gè)問(wèn)題我們都應(yīng)該有這樣一個(gè)清晰的一種描述,就把我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中強(qiáng)調(diào)的所謂算理，表達(dá)的我覺(jué)得是淋漓盡致，所以我想這個(gè)算法本身,除了它本身的知識(shí)重要之外,那么指導(dǎo)思想也很重要。張老師：算法思想是非常培養(yǎng)人的邏輯思維，把一件事情把一件做法這個(gè)程序說(shuō)清楚，第一步、第二步、第三步，不丟不落，這是非常好的一個(gè)載體.主持人：是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)一個(gè)非常好的載體，也是培養(yǎng)邏輯思維、甚至是包括學(xué)生養(yǎng)成梳理知識(shí)的習(xí)慣，梳理的合情合理、清楚,都是用算法，可以變成滲透我們整個(gè)高中學(xué)習(xí)過(guò)程，或者教學(xué)過(guò)程一個(gè)指導(dǎo)的方向。張老師:對(duì)，這方面清晰。王老師：清晰、準(zhǔn)確、直觀。我補(bǔ)充兩個(gè)，在我們實(shí)驗(yàn)過(guò)程中碰到的問(wèn)題,我想第一個(gè)問(wèn)題，就是老師的畏懼情緒。很多都選擇這個(gè)順序：14532，14523,都把算法放最后.其實(shí)帶來(lái)的難處并不是學(xué)生,而是老師，也不是統(tǒng)計(jì)概率，而是算法.我覺(jué)得大可不必，因?yàn)槲以诙鄠€(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)開(kāi)座談會(huì)的時(shí)候,幾乎老師都給我一個(gè)一致的信息，第一遍有點(diǎn)怵，到了第二遍就覺(jué)得沒(méi)什么問(wèn)題，他們告訴我的第二個(gè)重要信息，學(xué)生沒(méi)問(wèn)題，問(wèn)題在老師自己，我覺(jué)得這是在教學(xué)中希望給老師參考的一個(gè)方面.第二個(gè)方面，切忌切忌不要把算法講成計(jì)數(shù)，講成語(yǔ)言,我們的重中之重是框圖、是邏輯、是算理,這樣對(duì)我們只有好處沒(méi)有壞處,如果老師擔(dān)心，我可以肯定的說(shuō)，考試是無(wú)法考語(yǔ)言的,因?yàn)槲覀兇蠹覍W(xué)了各種各樣的語(yǔ)言，考試到底用什么？也沒(méi)有統(tǒng)一的要求，除非專門考計(jì)算機(jī)，有固定的要求。所以老師千萬(wàn)不要把重點(diǎn)放在語(yǔ)言上面。張老師：另外也不要在多一步少一步這個(gè)細(xì)節(jié)上去下功夫.王老師：非常贊成，我要說(shuō)的第三條，希望我們老師建立一個(gè)數(shù)量級(jí)的概念，這個(gè)在分析的教學(xué)中大家都清楚,我們知道N是無(wú)窮大,2N也是無(wú)窮大,我們常常說(shuō)他們是同級(jí)無(wú)窮大，對(duì)于算法來(lái)說(shuō)，N+1、N+5和N算法的復(fù)雜程度是一樣的，N和2N的算法復(fù)雜程度是一樣的，所以老師千萬(wàn)不要把教學(xué)的主要精力放在減少一步怎么優(yōu)化一步，沒(méi)有意義，因?yàn)閷?duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)這不算什么事。張老師：咱們的重點(diǎn)應(yīng)該是把自然語(yǔ)言描述算法,會(huì)用框圖語(yǔ)言表示，另外,給一個(gè)框圖語(yǔ)言，我們能夠讀懂它是一個(gè)什么樣的算法,解決什么問(wèn)題，這是我們重點(diǎn)。王老師：當(dāng)然算法的教學(xué)的細(xì)節(jié)上，我們將來(lái)還會(huì)介紹一些辦法,其實(shí)并不是很困難的事情,所以我希望我們的老師能夠樹(shù)立起教好算法的信心，將來(lái)我們?cè)陧樞蛏线€要再講，不同順序我們應(yīng)該關(guān)注哪些問(wèn)題.主持人：那么算法的主線我們也分析了，下面我們?cè)僬?qǐng)王老師分析一下幾何這條主線，大家也都非常關(guān)注幾何，好像老師們也覺(jué)得新課程中的幾何，特別是立體幾何跟以前的要求有一些不同,我們請(qǐng)王老師把這個(gè)做一下分析。王老師:我們?cè)谏弦还?jié)談變化的時(shí)候，曾經(jīng)談到了這個(gè)問(wèn)題，我現(xiàn)在再重述一遍,幾何課程的設(shè)計(jì)由兩部分組成，第一部分是知識(shí)部分，第二部分是能力部分，或者我們叫做觀念部分，這個(gè)能力體現(xiàn)在空間的想象力，或者叫幾何直觀能力，或者叫數(shù)形結(jié)合能力，我想我們不去細(xì)分他們的差異，那么這兩部分都是貫穿在我們整個(gè)高中課程中的基本的東西,下面我先說(shuō)知識(shí)部分。知識(shí)部分，我覺(jué)得老師一定要清楚，我們知識(shí)部分分了這樣三大塊,一塊是立體幾何，一塊是解析幾何，一塊是向量，這是支撐幾何課程的三個(gè)基點(diǎn)，那么老師又問(wèn)了，在講運(yùn)算的時(shí)候講到向量，你在講幾何的時(shí)候又講向量，我希望我們的老師對(duì)向量有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，向量有兩個(gè)稱號(hào),一個(gè)叫向量代數(shù)，就是我們?cè)诖鷶?shù)里講的；一個(gè)叫向量幾何，就是我們下面要講的,所以向量是一個(gè)獨(dú)特的數(shù)學(xué)研究對(duì)象。首先,立體幾何部分，我們把整個(gè)課程分成兩塊，一塊叫立體幾何初步，一塊叫空間向量與立體幾何，支撐空間向量與立體幾何的除了立體幾何初步之外，還有平面向量，我想這個(gè)結(jié)構(gòu)我們應(yīng)該清楚。下面我們就說(shuō)立體幾何初步的定位是什么？--—它是要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力為主的一個(gè)課程載體.我想這個(gè)主要定位老師千萬(wàn)不要發(fā)生動(dòng)搖，我們通過(guò)這樣一些內(nèi)容，來(lái)支撐這樣的一個(gè)載體,第一部分就是我們要對(duì)空間圖形有一個(gè)了解，盡而我們要會(huì)畫空間圖形的直觀圖，在此基礎(chǔ)上我們要建立三視圖的概念，這個(gè)是在義務(wù)教育基礎(chǔ)上的一個(gè)深化，在三視圖中我們要關(guān)注什么問(wèn)題，我想將來(lái)我們?cè)偌?xì)化,那么緊接著，我們需要幫助學(xué)習(xí)建立的是點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，這是必修課程的基本的東西,當(dāng)然還有一些,體積面積的計(jì)算，這個(gè)我想不是重點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，在立體幾何初步中,我們希望幫助學(xué)生形成兩個(gè)角度，一個(gè)是從局部到整體，一個(gè)是從整體到局部，我們希望長(zhǎng)方體這個(gè)模型，成為貫穿對(duì)于點(diǎn)、線、面位置關(guān)系認(rèn)識(shí)的一個(gè)基本圖形，這一點(diǎn)是非常重要的，這個(gè)圖形不僅在高中階段是基本圖形,在大學(xué)學(xué)習(xí)其他的幾何的時(shí)候,它仍然是很重要的，仍然是最基本的，特別是正交系這都是非?；镜膱D形。有時(shí)候我們一說(shuō)到這些基本的圖形,老師就覺(jué)得好像是不是把我們的抽象看低了，絕對(duì)不是這個(gè)樣子，這是我們的知識(shí)載體,那么我們要處理好的一個(gè)問(wèn)題是什么呢？就是我們?cè)诹Ⅲw幾何初步對(duì)于邏輯推理的要求，做了一定的控制，我們大概有4個(gè)判定定理和4個(gè)性質(zhì)定理，我們只要求證明性質(zhì)定理,不要求證明判定定理，我們還希望在性質(zhì)定理的證明中,增加更多的空間、圖形來(lái)支撐它.張老師：是這樣的，我們要知道培養(yǎng)邏輯思維能力，不是幾何學(xué)單獨(dú)來(lái)培養(yǎng)的，它是所有的數(shù)學(xué)課程共同培養(yǎng)的，對(duì)幾何課來(lái)說(shuō),它的定位就是掌握空間想象能力，或者把握?qǐng)D形的能力，這是它的本職工作和核心工作，當(dāng)然它也和其他的數(shù)學(xué)一樣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，現(xiàn)在我們有時(shí)候本末倒置了，好像幾何就培養(yǎng)人的思維能力,所以我們一定要把這個(gè)定位認(rèn)識(shí)清楚，所以在這里面,一些證明，比如說(shuō)判定定理證明,我們?cè)诤竺婵臻g向量、立體幾何還可以處理，在這里面我們更要把握?qǐng)D形，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，這是一個(gè)最核心的問(wèn)題.主持人：下面我們?cè)賮?lái)解釋空間向量與立體幾何。首先,我們要清楚在立體幾何初步里主要是位置關(guān)系，定性的認(rèn)識(shí)位置關(guān)系,那么實(shí)際上在高中階段，我們要幫助學(xué)生研究的主要對(duì)象有兩個(gè),一個(gè)是位置關(guān)系，一個(gè)是度量關(guān)系,在這個(gè)前提下，我們才談得上為什么要用向量討論這件事情，下面就解釋。最主要的位置關(guān)系是兩個(gè)，一個(gè)是平行，一個(gè)是垂直，我們很容易就想象得到,利用向量會(huì)給我們帶來(lái)什么好處,判定垂直就是看這兩個(gè)平面（要平面就說(shuō)法向量，要直線就說(shuō)方向向量），他們的點(diǎn)乘是不是等于零，另外一個(gè)是平行問(wèn)題，平行問(wèn)題是共線問(wèn)題，所以我們用向量來(lái)處理這些問(wèn)題的給我們帶來(lái)很大的方便，下面我們?cè)僬f(shuō)度量問(wèn)題。度量問(wèn)題一個(gè)是我們說(shuō)的是長(zhǎng)度,一個(gè)是角度，距離是屬于長(zhǎng)度的范疇,對(duì)于面積和體積不是中學(xué)的重點(diǎn)，到大學(xué)我們會(huì)專門去講，如何利用空間向量來(lái)求面積、來(lái)確定體積,也就是差乘和混合積的問(wèn)題,在這兒我們不做重點(diǎn),那么用什么樣的向量語(yǔ)言來(lái)刻畫長(zhǎng)度呢？一個(gè)是向量自己和自己的點(diǎn)乘,是自己這個(gè)向量長(zhǎng)度的平方，另一個(gè)就是投影，大家特別注意投影是個(gè)數(shù)，距離是個(gè)正數(shù)，因此我們?cè)谇笸队巴炅艘院笠〗^對(duì)值，所以在的投影，是指是與的單位向量的點(diǎn)乘，然后取絕對(duì)值，這一點(diǎn)就給了我們求長(zhǎng)度的中心的部分。我舉一個(gè)例子，點(diǎn)到平面的距離，首先我們要確定什么是一個(gè)平面，一點(diǎn)、一個(gè)方向，或者一點(diǎn)一個(gè)法向量唯一的決定過(guò)這一點(diǎn)與這個(gè)法向量垂直的平面，因此要確定一個(gè)平面,就意味這你要找到這個(gè)平面上的一個(gè)點(diǎn),和一個(gè)法向量，那么這樣平面外一點(diǎn)，和平面內(nèi)一點(diǎn)，就使我們得到了一個(gè)新的向量,這是第二件事情，第三件事情，我們要求的距離，恰恰是這個(gè)新的向量在法向量的投影，再取絕對(duì)值，四步很清楚，我們把算法就用上了，所以我們應(yīng)該清楚，在高中階段立體幾何要研究什么對(duì)象,我們?cè)趺礃友芯克容^好，所以這一點(diǎn)不但是我們要強(qiáng)調(diào)的，而且我們可以負(fù)責(zé)任的告訴老師，這樣的一種研究立體幾何的方法,在大學(xué)的學(xué)習(xí)中被持續(xù)，仍然是最基本和最重要的方法，這一點(diǎn)是我們?yōu)槭裁匆诟咧杏孟蛄刻幚砹Ⅲw幾何問(wèn)題的基點(diǎn)，所以我想對(duì)于這些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，老師都應(yīng)該有一個(gè)準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在關(guān)于這部分教學(xué)存在的主要問(wèn)題是什么呢？就是在學(xué)立體幾何初步的時(shí)候，老師加入了大量證明的問(wèn)題，給學(xué)生造成了很大的困難，我想從合理性來(lái)說(shuō)，對(duì)于文科的學(xué)生是不好的，對(duì)理科的學(xué)生也是不合適的，所以我們希望老師認(rèn)真的思考這個(gè)問(wèn)題，這是我們通常所說(shuō)的立體幾何的內(nèi)容，下面再說(shuō)向量的內(nèi)容。我們希望老師對(duì)向量有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí),向量是個(gè)代數(shù)的東西，所以叫向量代數(shù)，可以算.向量是幾何的東西可以幫助我們刻畫點(diǎn)、直線和平面,它可以幫助我們?nèi)ヌ幚韼缀螁?wèn)題，特別是位置關(guān)系的問(wèn)題和度量關(guān)系的問(wèn)題,第三,我們還需要認(rèn)識(shí)到,向量有豐富的物理背景，一旦我們要考慮到向量的應(yīng)用的時(shí)候,我們一定要考慮到在具體的物理情景中,是一要素的矢量、兩要素的矢量、還是三要素的矢量，千萬(wàn)不要搞錯(cuò)，我們千萬(wàn)不能出這樣的笑話，用南京的風(fēng)速和北京的風(fēng)速做平行四邊形法則這就大錯(cuò)特錯(cuò)了，這是不能合成的，就是說(shuō)我們?cè)诳紤]一個(gè)地區(qū)的風(fēng)速的時(shí)候，是三要素。所以這些問(wèn)題都是我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該特別注意的。下面我要強(qiáng)調(diào)的是既然向量代數(shù)的內(nèi)容，又是幾何的內(nèi)容，那么向量就是連接代數(shù)和幾何的一座天然的橋梁，我們通常都說(shuō)數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合要有載體,我覺(jué)得向量是最重要的載體，解析幾何也是載體，函數(shù)也是載體,因此對(duì)于向量這樣的認(rèn)識(shí)，對(duì)于我們是重要的。最后一點(diǎn)，希望我們的老師清楚的一件事情是向量為我們構(gòu)建了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，就是線性空間和線性賦范空間的初步.這在我們將來(lái)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中,泛函分析的學(xué)習(xí)中,都是非常基礎(chǔ)的東西，所以我希望我們的老師，對(duì)于向量和向量的應(yīng)用有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)，比如說(shuō)在平面問(wèn)題里，向量可以幫助我們解直角三角形，推出余弦定理、正弦定理等等，我想這些都是我們?cè)诮虒W(xué)中需要整體認(rèn)識(shí)的一個(gè)內(nèi)容.那么第三個(gè)方面就是解析幾何.張老師：關(guān)于向量我還想補(bǔ)充一點(diǎn),向量作為幾何的一個(gè)載體，它的三個(gè)不共面的向量構(gòu)成了基本的框架，特別是正交的框架，這些我覺(jué)得非常有助于我們對(duì)幾何空間圖形的把握。雖然它是代數(shù)的運(yùn)算，但是絕不是說(shuō)那些綜合幾何才能培養(yǎng)這樣那樣的能力,相反代數(shù)這樣一個(gè)框架，這樣一個(gè)結(jié)構(gòu)，在一個(gè)復(fù)雜圖形里面，一旦把這個(gè)結(jié)構(gòu)放進(jìn)去以后，立刻就能很好的對(duì)這個(gè)圖形的認(rèn)識(shí).所以好像有人說(shuō)只有綜合的幾何才能培養(yǎng)空間想象能力，好像向量一變成代數(shù)了就不是這樣了.實(shí)際上我覺(jué)得向量對(duì)我們培養(yǎng)空間想象能力是非常重要的。王老師：關(guān)于解析幾何與傳統(tǒng)的內(nèi)容相差不大，只是我們把它分成兩個(gè)階段，一個(gè)是解析幾何初步，解析幾何初步是以圓和直線作為載體來(lái)建立解析幾何初步思想。那么到了選修1和選修2，我們是以圓錐曲線作為載體,來(lái)進(jìn)一步深化我們解析幾何的思想。我想這一點(diǎn)因?yàn)闀r(shí)間的關(guān)系，我們就暫且不談。張老師：我還是想說(shuō)一下，我們還是要突出它的幾何的這個(gè)地位，我們用代數(shù)來(lái)解幾何問(wèn)題,所以這個(gè)容易劃出，不能就把它變成一個(gè)代數(shù)的運(yùn)算,變成解方程組了,一定要重視圖形的作用。幾何圖形，除了我們幾何有這個(gè)作用，在函數(shù)圖象里面,在各個(gè)方面,我們要貫徹使用，在解析幾何就更要體現(xiàn).王老師:再說(shuō)另外一個(gè)內(nèi)容，幾何直觀的培養(yǎng)，就是空間想象力的培養(yǎng)，就是剛才張老師所強(qiáng)調(diào)的。空間想象力和幾何直觀的培養(yǎng)絕不僅僅是幾何的任務(wù)，是我們數(shù)學(xué)的任務(wù),因此用圖形說(shuō)話,幫助學(xué)生更好的使用圖形語(yǔ)言是我們數(shù)學(xué)老師的一項(xiàng)根本任務(wù),就像我們重視符號(hào)語(yǔ)言一樣，我們必須重視這件事情，把它貫穿在整個(gè)學(xué)習(xí)的自始至終，我想這一點(diǎn)，用通俗的話來(lái)表述，就是能畫圖的就畫圖，我想引用希爾伯特對(duì)于幾何直觀的一個(gè)論述，當(dāng)然我是把它通俗化了,就是我們要幫助我們的學(xué)生，學(xué)會(huì)用圖形來(lái)描述問(wèn)題，這是第一。第二，我們要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程。第三,我們要幫助我們的學(xué)生，用圖形來(lái)幫助學(xué)生記憶和理解我們所得到的結(jié)果。我覺(jué)得這些都是靠圖形來(lái)幫助我們揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我覺(jué)得這一點(diǎn)是我們應(yīng)該特別注意的.張老師:典型的就是一元二次方程式，6個(gè)圖非常直觀.王老師：對(duì)。張老師:利用圖形這個(gè)解就的非常清楚。主持人：那么還剩下兩條主線，先請(qǐng)張老師比較簡(jiǎn)單的描述一下概率統(tǒng)計(jì)這條主線，統(tǒng)計(jì)概率，我們更強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì).

張老師：我想關(guān)于統(tǒng)計(jì)，就是我們要把握統(tǒng)計(jì)是做什么的，統(tǒng)計(jì)就是要從數(shù)據(jù)里面提取信息。所以統(tǒng)計(jì)整個(gè)過(guò)程就是針對(duì)某個(gè)問(wèn)題，如何去搜集數(shù)據(jù)，如何整理數(shù)據(jù)，如何從數(shù)據(jù)里面提取它的特征和信息。這是我們應(yīng)該重點(diǎn)把握的，我們特別強(qiáng)調(diào)要控制,一定不能把統(tǒng)計(jì)講成具體圖的畫法，數(shù)據(jù)的加減乘除,四則運(yùn)算，就是這樣一個(gè)統(tǒng)計(jì)提取信息,這是最關(guān)鍵的一個(gè)問(wèn)題，我們通過(guò)一些案例來(lái)講這個(gè)問(wèn)題，另外要知道數(shù)據(jù)的樣本是隨機(jī)的，隨時(shí)有犯錯(cuò)誤的可能，如何來(lái)正確認(rèn)識(shí)的問(wèn)題，這些都是我們關(guān)注的?，F(xiàn)在統(tǒng)計(jì)講的很沒(méi)有意思，好像高考也不怎么考，最近當(dāng)然有考最小二乘法、回歸的。這樣套公式的考法就把統(tǒng)計(jì)的意義弄掉了。主持人：凸顯對(duì)于提煉數(shù)據(jù)的信息的作用。張老師：對(duì)。王老師：我想統(tǒng)計(jì)還有一件事情,就是統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程，這個(gè)是統(tǒng)計(jì)很重要的,我們從什么是統(tǒng)計(jì)問(wèn)題開(kāi)始，什么樣的問(wèn)題是統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，需要通過(guò)搜集數(shù)據(jù)來(lái)解決的問(wèn)題，我們要有一個(gè)認(rèn)識(shí),接著如何得到我們所需要的數(shù)據(jù)，如何整理和處理我們所得到的數(shù)據(jù)，然后如何從我們的數(shù)據(jù)中,提取我們所需要的信息,就是通常我們所說(shuō)的特征數(shù)，特征值，方差，數(shù)學(xué)期望等，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上，如何用所得到的信息說(shuō)明問(wèn)題，我覺(jué)得這是很重要的，那么接著剛才張老師說(shuō)的,在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，需要強(qiáng)調(diào)案例教學(xué)，不能從抽象的定義出發(fā)，至于考試我想跟老師說(shuō)一下我個(gè)人的想法，我相信將來(lái)的考試中，統(tǒng)計(jì)題目是會(huì)增加的,它不會(huì)讓你算什么,而是會(huì)讓你判斷什么，它會(huì)看你對(duì)于這種判斷能力是否到位。張老師:或者對(duì)不同的方法產(chǎn)生的優(yōu)劣、適用范圍。關(guān)于概率，我想對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象可能要把握住一個(gè)認(rèn)識(shí)，就是什么是隨機(jī)現(xiàn)象，不是任何不確定的現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)前提是一定可以做重復(fù)試驗(yàn)的，而且條件相同下這個(gè)結(jié)果也是不確定的。但是每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的頻率又是穩(wěn)定的，要把這樣的東西界定清楚，然后，在我們這里面,我特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的作用，什么叫把握數(shù)學(xué)的規(guī)律，特別在我們現(xiàn)在中學(xué)里面,除了古典概率、幾何概型外,還講了二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型，就是說(shuō)我們對(duì)模型的強(qiáng)調(diào)，對(duì)它刻畫隨機(jī)規(guī)律的強(qiáng)調(diào)，現(xiàn)在我覺(jué)得，我們有一些題目生編硬造的味道，本身都不是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象。另外，現(xiàn)在有一個(gè)不好的現(xiàn)象就好象應(yīng)用題就是概率題,這個(gè)東西都是不是特別正確的，就是說(shuō)我們要關(guān)注對(duì)實(shí)際問(wèn)題，一個(gè)問(wèn)題可以用不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，每個(gè)模型的優(yōu)劣，這樣的問(wèn)題才是我們關(guān)注的問(wèn)題。比如說(shuō)擲一個(gè)色子求出現(xiàn)偶數(shù)的概率。你可以認(rèn)為是一個(gè)試驗(yàn)有六個(gè)結(jié)果,它是六分之三，也可以認(rèn)為試驗(yàn)有兩個(gè)結(jié)