人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （勾股定理）教育教學(xué)課件(第2課時(shí))

勾股定理第2課時(shí)八年級(jí)下冊(cè)

會(huì)運(yùn)用勾股定理確定數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)及解決網(wǎng)格問(wèn)題010203靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算會(huì)運(yùn)用勾股定理解決相應(yīng)的折疊問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用勾股定理確定數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)及解決網(wǎng)格問(wèn)題難點(diǎn)：靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，并會(huì)運(yùn)用勾股定理解決相應(yīng)的折疊問(wèn)題.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)1.已知直角三角形ABC的三邊為a、b、c

，∠C＝90°，則a、b、c

三者之間的關(guān)系是

；2.若一個(gè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)是3和2，那么第三條邊長(zhǎng)是

；3.

叫做無(wú)理數(shù).a2+b2=c2無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

知識(shí)回顧在八年級(jí)上冊(cè)中，我們?cè)?jīng)通過(guò)畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C

′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求證：△ABC≌△A′B′C′．ABCABC′

′′思考證明:∵△ABC和

△A′B′C′是直角三角形,∴AC2=AB2-BC2,∴A′C′2=A′B′2-B′C′2.∵AB=A′B′,

BC=B′C′,∴AC2=A′C′2,∴AC=A′C′.在△ABC和△

A′B′C′中,∵∠C=∠C′,

AC=A′C′,

BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′.

ABCABC′

′′證明

探究ACBl

注意

變式利用勾股定理表示無(wú)理數(shù)的方法:（1）利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點(diǎn)為圓心，以無(wú)理數(shù)斜邊長(zhǎng)為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點(diǎn)，在原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示是負(fù)無(wú)理數(shù)，在原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示是正無(wú)理數(shù).歸納

例1如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，求a的值.

例題BC

lC舉一反三

例2在如圖所示的6×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，寫出格點(diǎn)△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此三角形的周長(zhǎng)．

例題如圖，在2×2的方格中，小正方形的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，求AB邊上的高.解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.D舉一反三1.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B都是格點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為（）A.5B.6C.7D.25A

2.小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上作一個(gè)無(wú)理數(shù)后，于是在數(shù)軸上的2個(gè)單位長(zhǎng)度的位置找一個(gè)點(diǎn)D，然后點(diǎn)D做一條垂直于數(shù)軸的線段CD，CD為3個(gè)單位長(zhǎng)度，以原點(diǎn)為圓心，以到點(diǎn)C的距離為半徑作弧，交數(shù)軸于一點(diǎn)，則該點(diǎn)位置大致在數(shù)軸上（）A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間B課堂練習(xí)

15課堂練習(xí)

5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32cm，求△BCD的面積．課堂練習(xí)問(wèn)題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為,求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）求△ABC的面積；拓展應(yīng)用（2）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為(a＞0)，請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．解：如圖,∴△ABC即為所求，ABC拓展應(yīng)用利用勾股定理作圖或計(jì)算在數(shù)軸上表示出無(wú)理數(shù)的點(diǎn)利用勾股定理解決網(wǎng)格中的問(wèn)題利用勾股定理解決折疊問(wèn)題及其他圖形的計(jì)算通常與網(wǎng)格求線段長(zhǎng)或面積結(jié)合起來(lái)通常用到方程思想總結(jié)再見第十七章

勾股定理17.1勾股定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來(lái)證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。（重點(diǎn)也是難點(diǎn)）

2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。（重點(diǎn)）即四個(gè)詞：了解、認(rèn)識(shí)、證明和計(jì)算。勾股定理的歷史勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國(guó)人看出了這個(gè)關(guān)系（即直角三角形三邊關(guān)系），古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個(gè)關(guān)系。勾股定理也有很多別稱，也叫畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驢橋定理和埃及三角形等。

勾股定理被譽(yù)為“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。在我們今后的幾何計(jì)算題和推理題中都有著廣泛的應(yīng)用。迄今為止，勾股定理大約有500多種證明方法，是證明方法最多的定理之一。探究新知勾股定理的認(rèn)識(shí)及驗(yàn)證

相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，看到朋友家用磚鋪成的地面圖案，發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的某種關(guān)系（如圖）：ABC問(wèn)題1

試問(wèn)正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？

問(wèn)題2

圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？ABC一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2等腰直角三角形三邊的關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。問(wèn)題3

網(wǎng)格中為一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？探究新知方法1：補(bǔ)形法(把正方形C補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖491316925也就是說(shuō)，由這三個(gè)正方形圍成的直角三角形的三邊也滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這種關(guān)系。一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2由上面的幾個(gè)例子，我們不難得到這樣的猜想：命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.）abc下面動(dòng)圖形象的說(shuō)明命題1的正確性我們的猜想該如何證明呢？abbcabca證法1讓我們跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.=abc∵S大正方形＝c2，又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.妙解歸納：兩種方法計(jì)算一個(gè)圖形的面積，得到一個(gè)等量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，證法2

畢達(dá)哥拉斯證法如圖，圖中的四個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.公式變形：abc歸納總結(jié)勾股定理:如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）.ABC

現(xiàn)在，我們已經(jīng)證明了命題1的正確性，在數(shù)學(xué)上，經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理，所以我們剛剛猜想的命題1在我國(guó)叫做勾股定理.在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.由于命題1反映的正好是直角三角形三邊的關(guān)系，所以叫做勾股定理.勾股勾2+股2=弦2小貼士

為什么叫勾股定理這個(gè)名稱呢？

國(guó)外又叫畢達(dá)哥拉斯定理

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°(2)在Rt△ABC中，∠C=90°CAB新知應(yīng)用abc注意：1.看好哪個(gè)角是直角,選擇正確的公式來(lái)求邊長(zhǎng)2.規(guī)范書寫格式（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【變式1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長(zhǎng)求未知兩邊時(shí)，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.歸納新知應(yīng)用CABabc【變式2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖，43ACB43CAB圖圖

當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.歸納1.下列說(shuō)法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm2當(dāng)堂練習(xí)3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.4.若直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)是5和7，則第三邊長(zhǎng)的平方為_________.17574或24當(dāng)堂練習(xí)5.圖中已知數(shù)據(jù)表示面積，求表示邊的未知數(shù)x、y的值.解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x