3.3 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布概率論基礎(chǔ)

3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)g(x)是一元博雷爾函數(shù)，若ξ是概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量，則η=g(ξ)是概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量。同樣地，設(shè)g(x1,x2,…,xn)是n元博雷爾函數(shù)，若是概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)向量，則η=

g(ξ1,

ξ2,…,ξn)是概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量。3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)ξ的分布列為則η=ξ

2的分布列為更一般地，還可研究n維隨機(jī)向量(ξ1,

ξ2,…,ξn)的m個(gè)函數(shù)η1=g1(ξ1,

ξ2,…,ξn),…,ηm=gm(ξ1,

ξ2,…,ξn)的情況。3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布離散卷積公式設(shè)ξ與η是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，都取非負(fù)整數(shù)值，P{ξ=k}=ak，P{η

=k}=bk，求隨機(jī)變量ζ=

ξ+η的概率分布。ζ的取值r為0,1,2,…,

則3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布律已知隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)或密度函數(shù)，試求η=g(ξ)的分布函數(shù)或密度函數(shù)。當(dāng)為g(x)嚴(yán)格單調(diào)上升時(shí)：當(dāng)為g(x)嚴(yán)格單調(diào)下降時(shí)：3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布[例]設(shè)隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為p(x)，η=aξ+b（a≠0），求η的密度函數(shù)q(y)。設(shè)ξ與η的分布函數(shù)分別為F(x)與G(y)，則得3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布[例]設(shè)ξ~N(μ,σ2)，求η=eξ的密度函數(shù)。η的取值為(0,+∞)，所以當(dāng)y>0時(shí)，所以，η的密度函數(shù)稱(chēng)上述η所服從的分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布設(shè)ξ是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為p(x)，若g(x)嚴(yán)格單調(diào)，且反函數(shù)g?1(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則η=g(ξ)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布[例]設(shè)ξ~N(0,1)，求η=ξ

2的密度函數(shù)。η的取值為[0,+∞)，所以當(dāng)y>0時(shí)，所以，η的密度函數(shù)3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布χ2分布具有下列密度函數(shù)的分布稱(chēng)為具有自由度n的χ2分布3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)向量函數(shù)的分布律和的分布η=ξ1+

ξ2

(ξ1,ξ2

)是離散型隨機(jī)向量的情況前面已討論過(guò)，現(xiàn)在討論連續(xù)型隨機(jī)向量的情況。設(shè)(ξ1,ξ2

)的密度函數(shù)為p(x1,x2)，則3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布因此η的密度函數(shù)為也可得到當(dāng)ξ1與ξ2獨(dú)立時(shí)，p(x1,x2)=p1(x1)p2(x2)，其中p1(x1)與p2(x2)分別是ξ1與ξ2的密度函數(shù)，這時(shí)上述公式稱(chēng)為卷積公式。3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布商的分布η=ξ1/

ξ2

設(shè)(ξ1,ξ2

)的密度函數(shù)為p(x1,x2)，則因此η的密度函數(shù)為3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量函數(shù)的