非線性有限元法(5)-7

4方程解法4.1顯示方法（ExplicitMethods）在計(jì)算力學(xué)和計(jì)算物理中應(yīng)用最廣泛的顯式方法是中心差分法定義時(shí)間步增量為

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4方程解法速度的中心差分公式為

積分公式為加速度及積分公式

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4方程解法在第n時(shí)間步的有限元半離散方程為廣義約束方程代半離散方程到加速度積分公式中這樣，在任意時(shí)間步n，已知位移，通過(guò)順序計(jì)算應(yīng)變-位移方程、由或形式表示的本構(gòu)方程和外力，可確定節(jié)點(diǎn)力，上式右端全部賦值，可獲得，由位移的積分公式，可確定。

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4方程解法特點(diǎn)a)M矩陣是常數(shù)陣，在整個(gè)求解過(guò)程中不變;b)如果M為對(duì)角陣，實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)速度和節(jié)點(diǎn)位移的更新可以不用求解任何方程；c)因此，在顯示方法中，離散的動(dòng)量方程一般都用團(tuán)聚質(zhì)量矩陣?！陲@示方法中，對(duì)離散的動(dòng)量方程的時(shí)間積分不需求解任何方程

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4方程解法流程圖

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4方程解法流程圖（續(xù)）

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4方程解法優(yōu)點(diǎn)－－方法簡(jiǎn)單，不求解方程

顯式時(shí)間積分是很強(qiáng)健的（Robust），很少因?yàn)閿?shù)值失敗而終止缺點(diǎn)－－

顯式方法是條件穩(wěn)定的

如果時(shí)間步長(zhǎng)超過(guò)一個(gè)臨界值，其計(jì)算結(jié)果會(huì)增長(zhǎng)至無(wú)窮臨界時(shí)間步長(zhǎng)

對(duì)于采用率無(wú)關(guān)材料的常應(yīng)變單元的網(wǎng)格，穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)為

線性系統(tǒng)的最大頻率，單元e的特征長(zhǎng)度，單元e的當(dāng)前波速，是折減系數(shù)。

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4方程解法有限差分的臨界步長(zhǎng)問(wèn)題稱(chēng)為Courant條件1928年Courant，F(xiàn)riedrichs和Lewy首先發(fā)表這一結(jié)果。臨界步長(zhǎng)隨網(wǎng)格細(xì)劃和材料剛度的增加而減小對(duì)于彈－塑性問(wèn)題，塑性響應(yīng)會(huì)減慢波速，但并不能增加臨界時(shí)間步長(zhǎng)，因?yàn)?，在?shù)值計(jì)算中常常發(fā)生卸載從單元時(shí)間步長(zhǎng)確定網(wǎng)格時(shí)間步長(zhǎng)

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4方程解法4.2平衡解法和隱式時(shí)間積分（Implicittimeintegration）離散的動(dòng)量方程可寫(xiě)為Newmark方程

更新的位移和速度為

的意義為人工粘性或人工阻尼。

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4方程解法

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4方程解法更新的加速度表示為這樣離散問(wèn)題成為：這是在節(jié)點(diǎn)位移的非線性方程組。問(wèn)題成為

尋找使服從于

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4方程解法

Newton－Raphson法首先研究一個(gè)未知量的問(wèn)題Newton方法是一個(gè)求解迭代過(guò)程。首先將殘數(shù)進(jìn)行Taylor展開(kāi)，只保留線性項(xiàng)稱(chēng)為非線性方程的線性化模型。線性模型是非線性殘差函數(shù)得正切。12

4方程解法

對(duì)于位移增量，求解線性模型，得更新值為持續(xù)迭代直到獲得理想得精度。13

4方程解法

對(duì)應(yīng)的載荷位移曲線14

4方程解法

有n個(gè)未知量的Newton法

線性化后方程為A稱(chēng)為Jacobian矩陣，在計(jì)算力學(xué)中A稱(chēng)為切線剛度矩陣。求解步驟：（1）解線性方程組（2）迭加到前一步得迭代（3）檢驗(yàn)其收斂性，若收斂得到解；若沒(méi)有滿足準(zhǔn)則，重新構(gòu)造A，

返回（1）15

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4方程解法

收斂準(zhǔn)則

Newton法的迭代是否終止是由收斂準(zhǔn)則決定的。這是關(guān)于的收斂。一般有三種收斂準(zhǔn)則：（1）根據(jù)參數(shù)r的量級(jí)的準(zhǔn)則（2）根據(jù)位移增量的量級(jí)準(zhǔn)則（3）能量誤差的準(zhǔn)則18

4方程解法

19初應(yīng)力法

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20修正牛頓法

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214.3Wilsonq

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4方程解法

23K.J.Bathe,FiniteElementProcedures,Prentice-Hall,Inc.,1996

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4方程解法

4.4弧長(zhǎng)法（Arc-lengthmethod）

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4方程解法

單自由度示意圖

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4方程解法

在跟蹤結(jié)構(gòu)得后屈曲（post-buckling）曲線時(shí)，或跟蹤分支時(shí)，Newton-Raphson法出現(xiàn)困難，弧長(zhǎng)法是一個(gè)好的替代解法。在跟蹤分支時(shí)，載荷參數(shù)從零開(kāi)始，并逐步增加。對(duì)于參數(shù)的每一個(gè)增量，計(jì)算平衡解答，即

在弧長(zhǎng)法中，除了逐漸增加的載荷參數(shù)外，在位移-載荷參數(shù)空間中的弧長(zhǎng)度量也要增加，這是通過(guò)在平衡方程中增量參數(shù)化方程實(shí)現(xiàn)的：27

4方程解法

方程組中增加一個(gè)未知數(shù)，并增加了一個(gè)參數(shù)化方程：使用Newton線性化方程組28

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29計(jì)算后屈曲的例子

4方程解法