北京市海淀區(qū)屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京市海淀區(qū)2017-2018學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(文科）1。若集合，集合，則A。B。C。D.【答案】C【解析】,由交集的定義得到:故答案選擇C.2。命題“”的否定是A。B。C。D.【答案】D【解析】命題“"的否定是：；根據(jù)換量詞否結(jié)論，不變條件的原則得到結(jié)論即可.故答案為D。3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是A。B。C.D?！敬鸢浮緾【解析】A：是偶函數(shù),在上是減函數(shù)。故不正確.B：是非奇非偶函數(shù)，在上是減函數(shù).故不正確.C:函數(shù)是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，故正確。D：是奇函數(shù)，在R上是增函數(shù).故不正確。故答案為C。4。已知數(shù)列滿足，則A.B。C。D?！敬鸢浮緿【解析】根據(jù)條件得到：可設(shè)，，故兩式做差得到:,故數(shù)列的每一項(xiàng)都為0，故D是正確的。A，B，C，都是不正確的。故答案為D.5。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上.在△中,若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A.B。C.D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，由，以及,得到故得到故答案選A。6.已知向量是兩個(gè)單位向量，則“”是“”的A。充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D。既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由條件得到，即兩邊平方得到：得到即兩個(gè)向量的夾角是0,又因?yàn)殚L度相等，故;反之也能推得結(jié)論。故答案為C.7。已知函數(shù)（)的部分圖象如圖所示,則的值分別為A.B。C.D.【答案】B【解析】由條件知道:均是函數(shù)的對稱中心，故這兩個(gè)值應(yīng)該是原式子分母的根,故得到,由圖像知道周期是，故，故，再根據(jù)三角函數(shù)的對稱中心得到，故如果，根據(jù),得到故答案為B。點(diǎn)睛:根據(jù)函數(shù)的圖像求解析式，一般要考慮的是圖像中的特殊點(diǎn)，代入原式子；再就是一些常見的規(guī)律,分式型的圖像一般是有漸近線的，且漸近線是分母沒有意義的點(diǎn)；還有常用的是函數(shù)的極限值等等方法。8。若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C。D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，,故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且過原點(diǎn)，最小值為；當(dāng)時(shí)，若a〈0，則原函數(shù)開口向下，值域小到負(fù)無窮，故一定有a>0，此時(shí)圖像是開口向上的二次函數(shù)圖像，最小值在對稱軸處取得，故最小值為故答案為：D。點(diǎn)睛：這是分段函數(shù)的值域問題,先確定沒有未知量的一支的圖像和單調(diào)性，從而得到函數(shù)的值域,再解決含參數(shù)的一支的值域問題.分段函數(shù)的值域一般是兩段的值域的并集;二次函數(shù)的值域問題和函數(shù)的對稱軸有密切關(guān)系，研究軸處的函數(shù)值，就是函數(shù)的最值。9.已知等差數(shù)列滿足，則公差=_____.【答案】【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到：化為基本量a和公差d。故答案為2。10。已知向量，，若與平行，則的值為______.【答案】【解析】∵，∴∵與平行∴∴，故填。11。已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),根據(jù)奇函數(shù)的定義得到KS5U。..KS5U。.。KS5U。。。KS5U。.。KS5U.。.KS5U...KS5U。。.KS5U。.。故結(jié)果為—2。12。如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動,小球在秒時(shí)相對于平衡位置的高度（厘米）由如下關(guān)系式確定:，則小球在開始振動（即）時(shí)的值為_________,小球振動過程中最大的高度差為__________厘米?！敬鸢浮?1)。（2）。【解析】化簡可得h=sint+cost=2（sint+cost）=2sin（t+)，令t=0可得h=,由振幅為2，可得小球振動時(shí)最高時(shí)離平衡位置為2，最低離平衡位置向下為2，故最大的高度差為4故答案為:；4點(diǎn)睛：這個(gè)題目是實(shí)際應(yīng)用題目。根據(jù)題干條件得到高度的函數(shù)表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可;而接下來就是振幅的概念了；實(shí)際應(yīng)用題目首先要弄清楚數(shù)學(xué)模型,比如這個(gè)題中的函數(shù)模型,再根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的知識。13。能夠說明“設(shè)是實(shí)數(shù)。若，則”是假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值為______?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)?，?等號成立的條件為，故當(dāng)時(shí)函數(shù)值等于3。此時(shí)不滿足題干。故答案為2。點(diǎn)睛:這個(gè)題目是考查的均值不等式的條件，首先均值不等式的條件是一正，二定，三相等，積是定值時(shí),和有最小值,和是定值時(shí),積有最大值；故首先要構(gòu)造出乘積的定值，最終確定等號能否取到。14。已知非空集合滿足以下兩個(gè)條件：（ⅰ)；(ⅱ）集合的元素個(gè)數(shù)不是中的元素,集合的元素個(gè)數(shù)不是中的元素。那么用列舉法表示集合為_______?！敬鸢浮炕颉窘馕觥扛鶕?jù)題意可以分情況討論，當(dāng)集合A中有一個(gè)元素時(shí)，若，則,不符合集合的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，這一條件;若A符合條件。，此時(shí)不符合條件.當(dāng)集合A中有兩個(gè)元素時(shí)，2這個(gè)數(shù)字不能屬于A集合，也不能屬于B集合。不滿足條件。當(dāng)集合A中有3個(gè)元素時(shí),符合條件。故結(jié)果為集合為：或。

15。已知函數(shù).（Ⅰ)求的值;（Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！敬鸢浮浚↖）(II）。【解析】試題分析：(1)把角代入解析式,化簡即可；（2）利用輔助角公式化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性寫出增區(qū)間即可求解。試題解析：(I）（II）.令得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。16.已知等比數(shù)列滿足，。（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(Ⅰ）（N+)，；(Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)的性質(zhì)得到,,進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）由第一問得到,，故，再根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法求得數(shù)列的和即可。（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為。因?yàn)椋宜?，得，又因?yàn)?，所?得，.所以（N+)，所以（2）因?yàn)椋?所以。所以數(shù)列的前項(xiàng)和。17.如圖,△為正三角形,，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求,的長?！敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ），.【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到）,再根據(jù)兩角和差公式得到=,代入已知角的三角函數(shù)值即可；（2）由三角形中正弦定理得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)余弦定理得到的長為。（1)因?yàn)椤鳛檎切?,所以在△中，，所以。所以=因?yàn)樵凇髦?，，所以。所以。?）在△中,，由正弦定理得:，所以又在正△中，，,所以在△中，，由余弦定理得:所以的長為.18。已知函數(shù)。（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值；（Ⅲ）求證：存在唯一的，使得。【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)6；（Ⅲ）證明見解析.【解析】試題分析:（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，寫出切線方程;(Ⅱ）寫出函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的變化情況，列表求最值即可；（Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)=,只需證明函數(shù)有唯一零點(diǎn)即可。試題解析：（Ⅰ)由，得，所以，又所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即：。（Ⅱ）令，得.與在區(qū)間的情況如下：-0+極小值因?yàn)樗院瘮?shù)在區(qū)間上的最大值為6。（Ⅲ）證明:設(shè)=，則，令，得。與隨x的變化情況如下：100極大值極小值則的增區(qū)間為，，減區(qū)間為。又，，所以函數(shù)在沒有零點(diǎn)，又，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)。綜上，在上存在唯一的,使得.19。已知數(shù)列滿足，,（N*）.（Ⅰ）寫出的值;（Ⅱ）設(shè)，求的通項(xiàng)公式；(Ⅲ)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值?！敬鸢浮浚á瘢?；(Ⅱ）;（Ⅲ）。【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)遞推關(guān)系式寫出前六項(xiàng)即可;（Ⅱ）利用等差數(shù)列定義證明是等差數(shù)列,并寫出其通項(xiàng)公式;（Ⅲ）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)寫出，再證出是等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，可知當(dāng)時(shí)項(xiàng)是非正的,從而得其最小值。試題解析:(Ⅰ），；（Ⅱ）設(shè)，則,所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.(Ⅲ)解法1:，，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前n個(gè)奇數(shù)項(xiàng)之和為，由(Ⅱ)可知,,所以數(shù)列的前n個(gè)偶數(shù)項(xiàng)之和為。所以，所以.因?yàn)?，且所以?shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列。由可得，所以當(dāng)或時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值為。點(diǎn)睛:本題考查了等差數(shù)列的定義，求數(shù)列的前n項(xiàng)和即數(shù)列的最大值與恒成立問題，屬于難題。解決數(shù)列的證明問題時(shí)，一般要緊扣等差等比的定義，用定義證明,數(shù)列求和時(shí),一般根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法,其中裂項(xiàng)相消和錯位相減法考查的比較多，在涉及數(shù)列的恒成立問題時(shí)，一般要考慮數(shù)列項(xiàng)的最值或前n項(xiàng)和的最值，進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理即可.20。已知函數(shù).（Ⅰ）求證:1是函數(shù)的極值點(diǎn)；（Ⅱ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：?！敬鸢浮浚á瘢┳C明見解析;(Ⅱ)證明見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)在1兩側(cè)的符號，判定1是極值點(diǎn)；（Ⅱ)求出的導(dǎo)數(shù)，找到,列表求出函數(shù)的最小值即可證明.試題解析：（Ⅰ）證明：證法1：的定義域?yàn)橛傻?，。?dāng)時(shí),，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，,故在上單調(diào)遞減；所以1是函數(shù)的極值點(diǎn)。證法2：（根據(jù)極值的定義直接證明）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，,即;根據(jù)極值的定義，1是的極值點(diǎn).（Ⅱ）由題意可知，證法1：，令，，故在上單調(diào)遞增。又，又在上連續(xù),使得,即，.(*）隨x的變化情況如下：↘極小值↗………………10分.由（*)式得，代入上式得。令,，故在上單調(diào)遞減.,又，.即.證法2：,令，隨x的變化情況如下:↘極小值↗，即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號。，令得。隨x的變化情況如下：↘極小值↗，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號。。即。