北京市懷柔區(qū)數學零模試卷（文科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2017年北京市懷柔區(qū)高考數學零模試卷（文科)一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1．已知集合A={1,2，3｝,B={1，3},則A∩B=（)A．｛2} B．｛1，3｝ C．｛1,2｝ D．｛1，2，3｝2．圓x2+y2﹣4x+6y=0的圓心坐標是（）A．（2，3) B．（﹣2,3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3)3．設變量x，y滿足線性約束條件,則z=x+2y的最小值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．14．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b的值分別為0和9,則輸出的i的值為（)A．1 B．2 C．3 D．45．下列函數中,既是偶函數又存在零點的是()A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx6．設，為向量，則|?|=｜｜｜|是“∥”的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）A．12 B．18 C．24 D．308．某商場門口安裝了3個彩燈,它們閃亮的順序不固定,每個彩燈只能是紅、黃、綠中的一種顏色,且這3個彩燈閃亮的顏色各不相同，記這3個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍．在每個閃爍中，每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮,且相鄰兩個閃爍的時間間隔均為3秒．如果要實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是（）A．36秒 B．33秒 C．30秒 D．15秒二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分）。9．設i為虛數單位，則i（i+1）=．10．從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質量如下（單位：克)12512012210513011411695120134則樣本數據落在[114。5，124.5）內的頻率為．11．log3，（）0。2，2三個數中最大的數是．12．若雙曲線﹣=1（b＞0）的漸近線方程式為y=,則b等于．13．在△ABC中，a=，b=1，∠A=,則cosB=．14．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”,丙說:“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是．三、解答題:本大題共6小題，共80分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程．15．（13分）已知函數f（x)=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．（Ⅰ)求f（)的值；（Ⅱ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間．16．（13分）已知等差數列｛an｝中，a1=3，a2+a5=11．（Ⅰ）求數列{an｝的通項公式an；（Ⅱ）若cn=2+n，求數列{cn}的前10項和S10．17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，E為PB的中點．(Ⅰ）求證:EO∥平面PAD;(Ⅱ）求證:AC⊥PB．18．（13分）某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況,數據如下表:（單位：人）參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(Ⅰ）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加一個社團的概率；(Ⅱ）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2,B3．現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．19．（14分）已知函數f（x)=ax+lnx(a∈R）．(Ⅰ)若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程;（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅲ）若對任意x∈（0，+∞)，都有f（x）＜2成立，求實數a的取值范圍．20．（14分)已知橢圓E過點A（2，3),對稱軸為坐標軸,焦點F1,F2在x軸上，離心率e=，∠F1AF2的平分線所在直線為l．（Ⅰ)求橢圓E的方程；（Ⅱ）設l與x軸的交點為Q,求點Q的坐標及直線l的方程;（Ⅲ）在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點?若存在,請找出；若不存在,說明理由．

2017年北京市懷柔區(qū)高考數學零模試卷（文科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1．已知集合A=｛1，2，3｝，B={1，3｝，則A∩B=(）A．{2} B．｛1，3} C．{1，2} D．｛1，2，3}【考點】交集及其運算．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A=｛1,2，3｝，B={1，3｝,∴A∩B=｛1，3｝．故選:B．【點評】本題考查交集的求法,是基礎題，解題時要認真審題,注意交集定義的合理運用．2．圓x2+y2﹣4x+6y=0的圓心坐標是（）A．(2，3） B．(﹣2,3） C．(﹣2,﹣3） D．(2，﹣3）【考點】圓的一般方程．【分析】將已知圓化成標準方程并對照圓標準方程的基本概念,即可得到所求圓心坐標．【解答】解：將圓x2+y2﹣4x+6y=0化成標準方程，得(x﹣2）2+(y+3）2=13∴圓表示以C(2，﹣3)為圓心，半徑r=的圓故選：D．【點評】本題給出圓的一般方程,求圓心的坐標．著重考查了圓的標準方程與一般方程的知識，屬于基礎題．3．設變量x,y滿足線性約束條件，則z=x+2y的最小值為（)A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出約束條件的可行域,再求出可行域中各角點的坐標,將各點坐標代入目標函數的解析式,分析后易得目標函數2x+y的最小值．【解答】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，令z=0得x+2y=0，顯然當平行直線x+2y=0過點A（0,﹣1）時，z取得最小值為﹣2；故選：A．【點評】在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法"，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數?④驗證，求出最優(yōu)解．4．執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入的a，b的值分別為0和9，則輸出的i的值為(）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】程序框圖．【分析】根據已知的程序框圖可得,該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：∵輸入的a，b的值分別為0和9，i=1．第一次執(zhí)行循環(huán)體后：a=1，b=8，不滿足條件a＞b,故i=2；第二次執(zhí)行循環(huán)體后：a=3，b=6，不滿足條件a＞b，故i=3;第三次執(zhí)行循環(huán)體后：a=6，b=3，滿足條件a＞b，故輸出的i值為：3，故選C．【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)次數不多，或有規(guī)律可循時,可采用模擬程序法進行解答．5．下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【考點】函數的零點；函數奇偶性的判斷．【分析】利用函數奇偶性的判斷一件零點的定義分別分析解答．【解答】解：對于A，y=lnx定義域為（0，+∞），所以是非奇非偶的函數;對于B，是偶函數，但是不存在零點；對于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函數；對于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函數并且有無數個零點;故選：D【點評】本題考查了函數奇偶性的判斷以及函數零點的判斷;判斷函數的奇偶性首先要判斷函數的定義域，在定義域關于原點對稱的前提下判斷f（﹣x)與f（x）的關系．6．設，為向量，則｜?|=｜||｜是“∥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷;向量的模；平行向量與共線向量．【分析】利用向量的數量積公式得到?=，根據此公式再看與之間能否互相推出,利用充要條件的有關定義得到結論．【解答】解:∵?=，若a,b為零向量，顯然成立；若?cosθ=±1則與的夾角為零角或平角,即，故充分性成立．而，則與的夾角為為零角或平角，有．因此是的充分必要條件．故選C．【點評】本題考查平行向量與共線向量,以及充要條件，屬基礎題．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．12 B．18 C．24 D．30【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體是三棱柱消去一個同底的三棱錐，根據三視圖判斷三棱柱的高及消去的三棱錐的高，判斷三棱錐與三棱柱的底面三角形的形狀及相關幾何量的數據，把數據代入棱柱與棱錐的體積公式計算．【解答】解：由三視圖知：幾何體是三棱柱消去一個同底的三棱錐，如圖：三棱柱的高為5，消去的三棱錐的高為3,三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長分別為3和4的直角三角形，∴幾何體的體積V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故選:C．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及數據所對應的幾何量是解題的關鍵．8．某商場門口安裝了3個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈只能是紅、黃、綠中的一種顏色，且這3個彩燈閃亮的顏色各不相同，記這3個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍．在每個閃爍中，每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮,且相鄰兩個閃爍的時間間隔均為3秒．如果要實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是(）A．36秒 B．33秒 C．30秒 D．15秒【考點】排列、組合的實際應用．【分析】根據題意,由排列數公式計算可得閃爍共有A33=6個不同的順序，即6個不同的閃爍，由此計算可得閃爍一共需要的時間和間隔一共需要時間，將其相加即可得答案．【解答】解：根據題意，要求3個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍,則共有A33=6個不同的順序，即6個不同的閃爍；每個閃爍為3秒，則閃爍一共需要6×3=18秒，相鄰兩個閃爍的時間間隔均為3秒，則間隔一共需要3×（6﹣1）=15秒，則實現所有不同的閃爍，那么需要的時間為18+15=33秒；故選：B．【點評】本題考查的是排列、組合的應用,要求把排列問題包含在實際問題中,解題的關鍵是看清題目的實質，把實際問題轉化為數學問題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分）.9．設i為虛數單位，則i（i+1）=﹣1+i．【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則即可得出．【解答】解：i（i+1）=﹣1+i,故答案為：﹣1+i．【點評】本題考查了復數的運算法則,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題．10．從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質量如下（單位：克)12512012210513011411695120134則樣本數據落在［114。5，124。5）內的頻率為0.4．【考點】頻率分布表．【分析】從所給的十個數字中找出落在所要求的范圍中的數字，共有4個，利用這個頻數除以樣本容量,得到要求的頻率．【解答】解：∵在12512012210513011411695120134十個數據中，樣本數據落在[114。5，124。5）內的有116，120，120,122共有4個，∴樣本數據落在［114。5，124。5）內的頻率為=0.4，故答案是0.4．【點評】本題考查頻率分布表，頻數、頻率和樣本容量三者之間的關系是知二求一，這種問題會出現在選擇和填空中，有的省份也會以大題的形式出現，把它融于統(tǒng)計問題中．11．log3,()0.2，2三個數中最大的數是2．【考點】對數值大小的比較．【分析】log3＜0，（）0.2∈（0，1）,2＞1，即可得出．【解答】解:log3＜0，（）0.2∈（0，1)，2＞1，則三個數中最大的數是2，故答案為：2．【點評】本題查了復數的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題．12．若雙曲線﹣=1（b＞0）的漸近線方程式為y=，則b等于1．【考點】雙曲線的簡單性質；函數解析式的求解及常用方法．【分析】根據雙曲線的性質求得漸近線方程的表達式求得b．【解答】解：由雙曲線方程可得漸近線方程為y=±，又雙曲線的漸近線方程式為y=，∴，解得b=1．故答案為1【點評】本小題考查雙曲線的幾何性質、待定系數法，屬基礎題．13．在△ABC中，a=，b=1，∠A=，則cosB=．【考點】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB,利用大邊對大角可求B為銳角，利用同角三角函數基本關系式可求cosB的值．【解答】解：∵a=，b=1，∠A=，∴由正弦定理可得:sinB===,∵b＜a,B為銳角,∴cosB==．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦定理,大邊對大角,同角三角函數基本關系式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．14．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”,丙說:“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是1和3．【考點】進行簡單的合情推理．【分析】可先根據丙的說法推出丙的卡片上寫著1和2，或1和3，分別討論這兩種情況，根據甲和乙的說法可分別推出甲和乙卡片上的數字，這樣便可判斷出甲卡片上的數字是多少．【解答】解：根據丙的說法知，丙的卡片上寫著1和2，或1和3；(1）若丙的卡片上寫著1和2，根據乙的說法知,乙的卡片上寫著2和3；∴根據甲的說法知，甲的卡片上寫著1和3；(2)若丙的卡片上寫著1和3，根據乙的說法知,乙的卡片上寫著2和3;又甲說,“我與乙的卡片上相同的數字不是2”;∴甲的卡片上寫的數字不是1和2,這與已知矛盾；∴甲的卡片上的數字是1和3．故答案為：1和3．【點評】考查進行簡單的合情推理的能力，以及分類討論得到解題思想，做這類題注意找出解題的突破口．三、解答題：本大題共6小題,共80分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程．15．（13分）（2017?懷柔區(qū)模擬）已知函數f（x）=(sinx+cosx）2+cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函數f（x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間．【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象．【分析】（Ⅰ）直接將x=代入計算即可．（Ⅱ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區(qū)間上，解不等式得函數的單調遞增區(qū)間；【解答】解：函數f（x）=(sinx+cosx）2+cos2x﹣1．那么：f（）=（sin+cos)2+cos2×﹣1．=（）2+cos=1;（Ⅱ）由函數f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．化簡可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函數f（x）的最小正周期T=,由≤2x+（k∈Z）是單調遞增，解得：≤x≤,∴函數的單調遞增區(qū)間為[，］（k∈Z）．【點評】本題主要考查對三角函數的化簡能力，函數性質和同角三角函數關系式的計算．屬于中檔題．16．（13分）（2017?懷柔區(qū)模擬）已知等差數列｛an}中，a1=3，a2+a5=11．（Ⅰ）求數列{an｝的通項公式an；（Ⅱ)若cn=2+n，求數列{cn｝的前10項和S10．【考點】數列的求和；等差數列的通項公式．【分析】（Ⅰ)由已知等式求出公差，然后求通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡得到數列{cn}的通項公式，利用分組求和得到所求．【解答】解：（Ⅰ）等差數列{an}中，a1=3，a2+a5=11=a1+a6．所以a6=8，所以公差為1，所以an=n+2；（Ⅱ）所以cn=2+n=2n+n,所以數列{cn}的前10項和S10=（1+2+…+10）+(2+22+23+…+210）==55﹣2+211=53+211．【點評】本題考查了等差數列的通項公式以及對數列分組求和;屬于常規(guī)題．17．（13分）(2017?懷柔區(qū)模擬)如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，E為PB的中點．（Ⅰ）求證：EO∥平面PAD；（Ⅱ)求證：AC⊥PB．【考點】直線與平面垂直的性質；直線與平面平行的判定．【分析】（1）通過三角形中位線的性質可得OE∥PD,進而根據線面平行的判定定理可以證明出EO∥平面PAD；（2）先分別證明出AC⊥BD，PD⊥AC，進而根據線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面PBD，即可得出結論．【解答】證明：(1）因為底面ABCD是正方形,AC與BD交于點O,所以O為BD的中點．又E為PB的中點，所以EO∥PD．因為EO?平面PAD，PD?平面PAD，所以EO∥平面PAD．（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD．所以AC⊥⊥PB．【點評】本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理的應用．考查了學生對線面平行,線面垂直判定定理的記憶．18．（13分）（2015?山東）某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：(單位:人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230（Ⅰ）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加一個社團的概率；（Ⅱ）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學B1，B2，B3．現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】（Ⅰ)先判斷出這是一個古典概型，所以求出基本事件總數，“至少參加一個社團”事件包含的基本事件個數,從而根據古典概型的概率計算公式計算即可;（Ⅱ）先求基本事件總數，即從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,有多少中選法，這個可利用分步計數原理求解,再求出“A1被選中，而B1未被選中”事件包含的基本事件個數,這個容易求解，然后根據古典概型的概率公式計算即可．【解答】解：（Ⅰ)設“至少參加一個社團”為事件A；從45名同學中任選一名有45種選法，∴基本事件數為45;通過列表可知事件A的基本事件數為8+2+5=15；這是一個古典概型，∴P(A）=；（Ⅱ）從5名男同學中任選一個有5種選法，從3名女同學中任選一名有3種選法；∴從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人的選法有5×3=15，即基本事件總數為15；設“A1被選中，而B1未被選中"為事件B，顯然事件B包含的基本事件數為2；這是一個古典概型，∴．【點評】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步計數原理的應用．19．（14分)（2017?懷柔區(qū)模擬）已知函數f（x）=ax+lnx(a∈R）．（Ⅰ)若a=2,求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ)求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅲ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x)＜2成立,求實數a的取值范圍．【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】(Ⅰ)求出函數的導數，可得x=1處切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程;（Ⅱ）求出f（x)的導數，討論當a≥0時，當a＜0時，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；（Ⅲ）由題意可得ax+lnx＜2,即為a＜的最小值,令g(x）=，求出導數和單調區(qū)間，可得極小值也為最小值，即可得到a的范圍．【解答】解:(Ⅰ）若a=2,則f(x)=2x+lnx的導數為f′（x）=2+，可得曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為3,切點為(1，2）,可得曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y﹣2=3（x﹣1)，即為3x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）函數f(x)=ax+lnx的導數為f′（x)=a+=,x＞0．當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞)遞增;當a＜0時，由f′（x）＜0，可得x＞﹣；由f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣．綜上可得，當a≥0時，f（x)有增區(qū)間（0，+∞）；當a＜0時，f（x）的增區(qū)間為(0，﹣），減區(qū)間為（﹣，+∞）；（Ⅲ)若對任意x∈（0,+∞)，都有f（x）＜2成立，即有ax+lnx＜2，即為a＜的最小值，令g（x）=，g′（x)=,當x＞e3時,g′（x）＞0，g（x）遞增