拉格朗日方程課件

動(dòng)力學(xué)普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程動(dòng)力學(xué)普遍方程拉格朗日方程引言

將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。動(dòng)力學(xué)普遍方程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是直角坐標(biāo)來描述的，而拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，兩者都是用來解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，它是用分析的方法解決動(dòng)力學(xué)問題的出發(fā)點(diǎn)，因此它是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動(dòng)力學(xué)普遍方程簡(jiǎn)便得多。引言將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程

設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由達(dá)朗伯原理知，在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，任一質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力，約束反力及其慣性力三者構(gòu)成形式上的平衡力系，即

對(duì)該質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用虛位移原理，為此，取質(zhì)點(diǎn)系的任何一組虛位移，則得設(shè)該質(zhì)點(diǎn)受的是理想約束，則有故1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程即將上式寫成解析式，則有

以上兩式是由達(dá)朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果，稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程，也稱達(dá)朗伯——拉格朗日方程。動(dòng)力學(xué)普遍方程可以敘述如下：在理想約束條件下，在任一瞬時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力和虛加的慣性力，在該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系所處位置的任何虛位移上的元功之和等于零。1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程即將上式寫成解析式，則有1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程

例1圖示滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著重為的重物，繩子繞過定滑輪后，掛著重為的重物，設(shè)滑輪和繩子的重量不計(jì)，求重為的重物下降的加速度。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有理想約束，系統(tǒng)所受的主動(dòng)力為、，假想加上慣性力、。其中

給系統(tǒng)以虛位移和，由動(dòng)力學(xué)普遍方程，得由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入上式得1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程例1圖示1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程

例2有兩個(gè)半徑皆為r的輪子，中心用連桿相連，在傾角為的斜面上作純滾動(dòng)，如圖。設(shè)輪重皆為P，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J，連桿重量為Q，求連桿運(yùn)動(dòng)的加速度。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有理想約束，系統(tǒng)所受的主動(dòng)力有它們的重力。假想加上慣性力，如圖。其中1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程例2有兩1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程

給連桿以平行斜面移動(dòng)的虛位移，則輪子有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移，根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程即1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程給連桿以平行1.2拉格朗日方程

一、拉格朗日方程

設(shè)有n個(gè)知點(diǎn)組成的知點(diǎn)系，受完整的理想約束，具有N個(gè)自由度，其位置可由N個(gè)廣義坐標(biāo)來確定。則有是廣義坐標(biāo)對(duì)式中為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能；時(shí)間的變化率，稱為廣義速度；是對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)

的廣義力。這就是拉格朗日方程，簡(jiǎn)稱拉氏方程。它是由N個(gè)二階常微分方程組成的方程組。將此微分方程組積分，就可以得出以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。1.2拉格朗日方程一、拉格朗日方程1.2拉格朗日方程

二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

在上述條件下，如果質(zhì)點(diǎn)系所受的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程式中為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能和勢(shì)能之差，稱為拉格朗日函數(shù)。這就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。

三、應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟

1、確定研究對(duì)象，（一般以整個(gè)系統(tǒng)）判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目，選取合適的廣義坐標(biāo)。

2、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，寫出用廣義坐標(biāo)及廣義速度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能。（速度及角速度均為絕對(duì)的）1.2拉格朗日方程二、保守系統(tǒng)的拉1.2拉格朗日方程

3、計(jì)算對(duì)應(yīng)每個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力；當(dāng)主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)，需要寫出用廣義坐標(biāo)表示的勢(shì)能及拉格朗日函數(shù)。

4、計(jì)算諸導(dǎo)數(shù)：或

5、寫出拉格朗日方程并加以整理，得到N個(gè)二階常微分方程。由2N個(gè)初始條件，解得運(yùn)動(dòng)方程。1.2拉格朗日方程3、計(jì)算對(duì)應(yīng)每個(gè)1.2拉格朗日方程

例3在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖。已知?jiǎng)育X輪半徑為r，重為P，可視為均質(zhì)圓盤；曲柄OA重Q，可視為均質(zhì)桿；定齒輪半徑為R。今在曲柄上作用一不變的力偶，其矩為M，使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。求曲柄的運(yùn)動(dòng)方程。

解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，取曲柄轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。

由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系知，動(dòng)齒輪的角速度與曲柄的角速度的關(guān)系為則系統(tǒng)的動(dòng)能為1.2拉格朗日方程例3在水平面1.2拉格朗日方程

給曲柄以虛位移，則對(duì)應(yīng)的廣義力為求諸導(dǎo)數(shù)1.2拉格朗日方程給曲柄以虛位移1.2拉格朗日方程由，得即積分得曲柄的運(yùn)動(dòng)方程為式中，、分別為初始轉(zhuǎn)角和初始角速度。1.2拉格朗日方程由，得即積分得曲柄的運(yùn)動(dòng)方程為式1.2拉格朗日方程

例4如圖輪A的質(zhì)量為，在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)，定滑輪B的質(zhì)量為，兩輪均為均質(zhì)圓盤，半徑均為R，重物C的質(zhì)量為，彈簧的彈性系數(shù)為，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。取x為廣義坐標(biāo)，x從重物的平衡位置量起。系統(tǒng)的動(dòng)能為

設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧的靜伸長(zhǎng)為，則有關(guān)系式即1.2拉格朗日方程例4如圖輪A1.2拉格朗日方程

以系統(tǒng)平衡位置為彈力及重物C的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)能為利用前面的關(guān)系，整理得代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程得即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

則拉格朗日函數(shù)為1.2拉格朗日方程以系統(tǒng)平衡位置為1.2拉格朗日方程

例5如圖，均質(zhì)圓輪的質(zhì)量為，半徑為R，在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)。桿長(zhǎng)L質(zhì)量為與輪在圓心A鉸接，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。取x和為廣義坐標(biāo)。

系統(tǒng)的動(dòng)能為整理后得1.2拉格朗日方程例5如圖，均質(zhì)1.2拉格朗日方程

系統(tǒng)的勢(shì)能為

則拉格朗日函數(shù)為代入拉格朗日方程得整理得（1）1.2拉格朗日方程系統(tǒng)的勢(shì)能為1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理后得（2）（1）、（2）即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理后得（2）1.2拉格朗日方程

例6如圖輪為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為，半徑為R，輪心O及重物A只能沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)，重物A的質(zhì)量為，彈簧剛性系數(shù)為，原長(zhǎng)為。試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具兩個(gè)自由度。取x和為廣義坐標(biāo)。

系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)的廣義力為1.2拉格朗日方程例6如圖輪為1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理得（1）代1.2拉格朗日方程

例7如圖，物體A的質(zhì)量為，B輪質(zhì)量為，半徑為R，在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)，物體A與水平面無摩擦，彈簧剛性系數(shù)為，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具兩個(gè)自由度。選取、為廣義坐標(biāo)。

系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)的廣義力為1.2拉格朗日方程例7如圖，物1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（1）代入拉格1.2拉格朗日方程

例8實(shí)心均質(zhì)圓柱A和質(zhì)量分布與邊緣的空心圓柱B，質(zhì)量分別為、，半徑均為R，兩者用通過定滑輪的繩索相連，如圖。設(shè)圓柱A沿水平面作純滾動(dòng)，滾動(dòng)摩擦不計(jì)，圓柱B鉛直下降。試求兩圓柱的角加速度和質(zhì)心的加速度。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具兩個(gè)自由度。選取、為廣義坐標(biāo)。

系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)所受主動(dòng)力只有重力，且皆為有勢(shì)力。取過圓柱的水平面為零勢(shì)面，則系統(tǒng)的勢(shì)能為1.2拉格朗日方程例8實(shí)心均質(zhì)1.2拉格朗日方程故拉格朗日函數(shù)為求諸導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程得（1）1.2拉格朗日方程故拉格朗日函數(shù)為求諸導(dǎo)數(shù)代入拉格1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（2）聯(lián)立求解方程（1）、（2）得于是角加速度為1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（2）聯(lián)立求解1.2拉格朗日方程

例9質(zhì)量為的金屬板放置在光滑水平面上，板上有半徑為

r、質(zhì)量為的均質(zhì)圓柱，圓柱在板上作純滾動(dòng)而不滑動(dòng)，今有一水平常力拉動(dòng)金屬板，試求圓柱純滾的角加速度和金屬板的加速度。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具兩個(gè)自由度。選取、為廣義坐標(biāo)。

系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的廣義力為1.2拉格朗日方程例9質(zhì)量為1.2拉格朗日方程求諸導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程得（1）代入拉格朗日方程得（2）解得1.2拉格朗日方程求諸導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程得（1）1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程

例3均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m

，半徑均為R。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。

解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的主動(dòng)力有圓柱的重力。設(shè)兩輪的角加速度為、，輪B質(zhì)心的加速度為。假想加上慣性力，如圖。其中

此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取輪A、輪B的轉(zhuǎn)角、為廣義坐標(biāo)。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖。則由動(dòng)力學(xué)普遍方程得1.1動(dòng)力學(xué)普遍方程例3均質(zhì)圓柱體A29寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣The