廣東省高州市2021-2022學年高三上學期第二次模擬數(shù)學試題

第PAGE"pagenumber"19頁，共NUMPAGES"numberofpages"19頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"19頁廣東省高州市2021-2022學年高三上學期第二次模擬數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1.設（i是虛數(shù)單位，，），則（

）A． B． C．2 D．2.已知集合，，則集合M可能是（

）A． B． C． D．R3.已知向量，，且，則m的值為（

）A． B．2 C． D．44.把函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移2個單位，得到的函數(shù)是（

）A． B．C． D．5.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則圓錐的側面積是（

）A． B． C． D．6.過坐標原點作曲線的切線，則切點的縱坐標為（

）A．e B．1 C． D．7.某大學計算機學院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授擬從人工智能領域的語音識別、人臉識別、數(shù)據(jù)分析、機器學習、服務器開發(fā)共5個方向展開研究，每個方向均有研究生學習，每位研究生只參與一個方向的學習．其中小明同學因錄取分數(shù)最高主動選擇學習人臉識別，其余5名研究生均表示服從丁教授統(tǒng)一安排．則這6名研究生不同的分配方向共有（

）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種8.已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題（本大題共4小題）9.按1d（或24h）降雨量的大小可將降水強度分為：小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨、特大暴雨．其中，小雨：1d（或24h）降雨量小于10mm；中雨：降雨量10～25mm；大雨：降雨量25～50mm；暴雨：降雨量50～100mm；大暴雨：降雨量100～250mm；特大暴雨：降雨量在250mm以上．某城市水利部門根據(jù)以往汛期的降水量得出：連續(xù)兩天下特大暴雨，則地區(qū)會出現(xiàn)內(nèi)澇．下列給出該城市汛期內(nèi)連續(xù)一周（7天）降特大暴雨的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，假設任意兩天降特大暴雨之間是互不影響的，能判定該地區(qū)一定出現(xiàn)內(nèi)澇的是（

）A．周內(nèi)有4天降特大暴雨 B．一周內(nèi)任意1天都降特大暴雨C．一周內(nèi)只有前3天降特大暴雨 D．一周內(nèi)至多有3天降特大暴雨10.已知O為坐標原點，分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線右支上，則下列結論正確的有（

）A．若，則雙曲線的離心率B．若是面積為的正三角形，則C．若為雙曲線的右頂點，軸，則D．若射線與雙曲線的一條漸近線交于點Q，則11.若對任意的，，且，都有，則m的值可能是（

）（注…為自然對數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．112.如圖，在四面體ABCD中，，底面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8三、填空題（本大題共3小題）13.請寫出一個函數(shù)，使之同時具有以下性質(zhì)：①圖象關于y軸對稱；②，．14.已知銳角的終邊上一點P的坐標為，則．15.已知M是拋物線圖象上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，若，則．四、雙空題（本大題共1小題）16.滿足方程的整點（即都是整數(shù)）稱為佩爾方程的解，其中是給定的整數(shù).當是無理數(shù)時，記.若，使得恒成立，則稱為方程的基本解.佩爾方程的所有正整數(shù)解可由基本解導出，具體關系為：.則佩爾方程的基本解為；佩爾方程滿足的正整數(shù)解構成的集合為.五、解答題（本大題共6小題）17.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且，．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面積．18.已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．19.某校組織“百年黨史”知識比賽，每組有兩名同學進行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學進行同一組比賽，每人搶到每道題的機會相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒回答者得0分；搶到題目且回答錯誤者得0分，沒搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對每道題目的概率為．乙答對每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨立．(1)求乙同學得100分的概率；(2)記X為甲同學的累計得分，求X的分布列和數(shù)學期望．20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，底面ABCD，，，，E為PA的中點．(1)證明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值為，求三棱錐P-BCE的體積．21.已知橢圓C：，經(jīng)過圓O：上一動點P作橢圓C的兩條切線．切點分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點P的M，N兩點．(1)求證：M，O，N三點共線；(2)求△OAB面積的最大值．22.已知函數(shù)．其中實數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：關于x的方程有唯一實數(shù)解．

參考答案1.【答案】B【分析】利用復數(shù)的乘法求出x、y，即可求出.【詳解】因為，所以，所以.故選：B2.【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)求集合N，再根據(jù)交集結果，結合各選項對應的集合M判斷正誤即可.【詳解】由題設，，A：，不合要求；B：，符合要求；C：，則，不合要求；D：，不合要求.故選：B3.【答案】A【分析】利用向量平行的坐標，即可求解.【詳解】，，，，解得：.故選：A4.【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移寫出的解析式即可.【詳解】由題設，.故選：A5.【答案】D【分析】根據(jù)條件求得圓錐的底面半徑和母線長，即可求解圓錐的側面積.【詳解】設圓錐的軸截面的邊長為，則，則，得圓錐底面半徑，母線，則圓錐的側面積.故選：D6.【答案】B【分析】設出切點，利用導數(shù)得到切線的斜率，寫出切線方程，將原點坐標代入切線方程，解出即可.【詳解】解：設切點，由，得，所以，∴曲線在點處的切線方程為，又過（0，0），∴，解得，∴切點，縱坐標為1．故選：B．7.【答案】B【分析】分人臉識別不安排或安排研究生兩種情況，應用組合、排列數(shù)求總分配方式即可.【詳解】1、人臉識別方向不安排其它研究生，則種.2、人臉識別方向安排1名其它研究生，則種.綜上，共有360種分配.故選：B8.【答案】B【分析】首先利用方程組法求函數(shù)的解析式，由解析式判斷的對稱性，利用導數(shù)分析的單調(diào)性及極值點，根據(jù)函數(shù)有唯一的零點知極小值，即可求正實數(shù)值.【詳解】由題設，，可得：，由，易知：關于對稱.當時，，則，所以單調(diào)遞增，故時單調(diào)遞減，且當趨向于正負無窮大時都趨向于正無窮大，所以僅有一個極小值點1，則要使函數(shù)只有一個零點，即，解得.故選：B9.【答案】BC【分析】分析每個選項，判斷是否一定有滿足連續(xù)2天下特大暴雨，即可判斷選項.【詳解】A.一周共7天，4天降特大暴雨，可能出現(xiàn)在周一，周三，周五，周日，沒有連續(xù)2天下特大暴雨，所以不一定出現(xiàn)內(nèi)澇，故A錯誤；B.一周內(nèi)任意1天都降特大暴雨，即每天都下特大暴雨，所以一定出現(xiàn)內(nèi)澇，故B正確；C.一周內(nèi)前3天降特大暴雨，即有連續(xù)3天降特大暴雨，則一定出現(xiàn)內(nèi)澇，故C正確；D.由A可知，一周內(nèi)至多有3天降特大暴雨，不一定連續(xù)兩天降特大暴雨，故D錯誤.故選：BC10.【答案】AB【分析】對選項A，由題意列式得，即可求得；對選項B，利用等邊三角形的性質(zhì)求解得，，即可得；對選項C，可得，即可判斷，對選項D，舉出反例即可判斷.【詳解】由題意，對于選項A，因為，所以的中垂線與雙曲線有交點，即有，解得，故選項A正確；對于選項B，因為，解得，所以，所以，故選項B正確；對于選項C，由題意可得顯然不等，故選項C錯誤；對于選項D，若為右頂點時，則為坐標原點，此時，故選項D錯誤.故選：AB.11.【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，化簡得到，令，可得，得出在上是減函數(shù)，結合，即可求解.【詳解】由題意，，得，則等價于，即，所以，則，令，可得，又，所以在上是減函數(shù)，所以，解得，則.故m可能值B、C、D符合要求.故選：BCD.12.【答案】CD【分析】根據(jù)已知條件將三棱錐補為直三棱柱，找出球心，求出△ABC的外接圓半徑，從而求出棱長，分析△ABC面積的變化，從而得到三棱錐體積的范圍.【詳解】如圖：根據(jù)已知條件可將三棱錐補為直三棱柱，則三棱錐的外接球即為該三棱柱的外接球.設直三棱柱的上下底面三角形的外接圓圓心分別為，，外接球球心為O，則O為中點，根據(jù)已知條件可知＝AD＝AC.設外接球半徑為R，設上下底面三角形外接圓半徑為＝r.由，設，則，OB＝R＝，在△ABC中，由正弦定理知：，在中由勾股定理得：，即，即，則，，AC＝AD＝2.△ABC及其外接圓的如圖：I為AC中點，則CI＝，，，當B為延長線圓的交點時，易知tan∠IBC＝，則，則，和已知∠ABC的大小符合，∵∠ABC是優(yōu)弧所對的角，∴當點B在優(yōu)弧上移動時，∠ABC始終為60°，∴△ABC面積最大為：，∴三棱錐D－ABC的體積最大為：.故答案為：CD.13.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題設函數(shù)性質(zhì)的描述，只需寫出一個周期為4的偶函數(shù)，結合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可寫出函數(shù)解析式.【詳解】由題設，寫出一個周期為4的偶函數(shù)即可，所以滿足題設要求.故答案為：(答案不唯一)14.【答案】或者【分析】由三角函數(shù)的定義可得，化簡結合條件可得答案.【詳解】由題意可得又為銳角，所以故答案為：15.【答案】4【分析】先得出直線的傾斜角為,過點作垂直于拋物線的準線，為垂足，設準線與軸的交點為,過點作軸，垂足為,結合拋物線的定義可得，從而得出答案.【詳解】由拋物線，則，，則直線的傾斜角為.過點作垂直于拋物線的準線，為垂足，設準線與軸的交點為過點作軸，垂足為由拋物線的定義可得即，所以故答案為：416.【答案】

；【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得是的一組實數(shù)解，進而得，，再根據(jù)得或，最后分別討論即可得答案.【詳解】解：因為，所以，所以，令，則所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，由于是的一組實數(shù)解，所以，當，使得恒成立，所以為方程的基本解.所以其所有正整數(shù)解為：，因為，故所以所以，由于，所以，由于，，，，，所以或，當時，，，滿足題意，當時，，不滿足；所以佩爾方程滿足的正整數(shù)解構成的集合為.故答案為：；.17.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關系，及已知條件可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)求B的大??；（2）由（1）及余弦定理求c，再根據(jù)三角形面積公式求面積即可.(1)由正弦定理知：，則，所以，則且，可得或，又，所以.(2)由題設，，則，又，所以，整理得，解得，滿足題設.由，所以，當時；當時；18.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用可得，轉(zhuǎn)化為可得答案；（2）求得，利用錯位相減可得答案.(1)由可得，由得，所以，即，所以，，所以數(shù)列是公差為1，首項為1的等差數(shù)列.(2)由（1），得，所以，，兩式相減得，所以.19.【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）應用獨立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同學得100分的概率；（2）由題意知可能值為，分別求出對應概率，寫出分布列，進而求期望.(1)由題意，乙同學得100分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯誤}、{甲乙各搶到一題都回答正確}、{甲搶到兩題且回答錯誤}，所以乙同學得100分的概率為.(2)由題意，甲同學的累計得分可能值為，；；；；；分布列如下：050100150200所以期望.20.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）線面垂直的性質(zhì)可得，若為中點，連接，由正方形的性質(zhì)及勾股定理可得，再由線面垂直的性質(zhì)有面，最后根據(jù)面面垂直的判定證結論.（2）構建空間直角坐標系，設求相關點坐標，再求面、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示，結合二面角的余弦值求參數(shù)m，最后求、向量法求到面的距離，再由體積公式求棱錐的體積.(1)因為底面ABCD，面，則，由，，則，又，則，若為中點，連接，易知：為正方形，則，又，即，所以，綜上，，即，又，則面，又面，所以平面平面BCE.(2)由題設，可構建如下圖示的空間直角坐標系，若，則，，，，，所以，，，若為面的一個法向量，則，令，則，若為面的一個法向量，則，令，則，所以，整理得，所以，即，易得：，由底面ABCD，面，則，又，即，由，則面，面，即，所以在直角△中，，在△中，、、，即，則，所以.由上有：且面的一個法向量，則，故到面的距離，所以.21.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)圓的對稱性，設在第一象限，討論、斜率不存在或為0、斜率存在且不為0兩種情況，再設切線方程并聯(lián)立橢圓，由及韋達定理，求證即可證結論.（2）同（1）設在第一象限，，，討論、斜率不存在或為0、斜率存在且不為0兩種情況，分別求△OAB面積情況，注意斜率存在且不為0時，根據(jù)P在、上求直線的方程，再聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理、弦長公式、點線距離公式及三角形面積公式得到關于所設參數(shù)的表達式，最后應用基本不等式求范圍確定面積的最大值.(1)由圓的對稱性，不妨設在第一象限，若斜率不存在，則直線為，所以，則另一條切線為(即斜率為0)，此時；若、斜率存在且不為0時，設切線方程為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；綜上，有，又M，N兩點圓O上，即，由圓的性質(zhì)知：是圓O的直徑，所以M，O，N三點共線，得證；(2)同（1），由圓的對稱性，設在第一象限，，，當時，；當時，、斜率都存在且不為0，令為，聯(lián)立橢圓并整理得：，由，整理得，所以，又在橢圓上，則，故，所以直線的方程為，化簡得，即；同理可得：直線的方程為，又在直線、直線上，則，所以直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，又，則，故，所以，，又