河南省許昌市長葛第二高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

河南省許昌市長葛第二高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且，則（）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.設(shè)定義在區(qū)間（﹣b，b）上的函數(shù)是奇函數(shù)（a，b∈R，且a≠﹣2），則ab的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】綜合題．【分析】根據(jù)定義在區(qū)間（﹣b，b）上的函數(shù)是奇函數(shù)，可確定a=2，及b的取值范圍，從而可求ab的取值范圍．【解答】解：∵定義在區(qū)間（﹣b，b）上的函數(shù)是奇函數(shù)∴f（﹣x）+f（x）=0∴∴∴1﹣a2x2=1﹣4x2∵a≠﹣2∴a=2∴令，可得，∴∵a=2，∴ab的取值范圍是故選A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是確定a的值，及b的取值范圍．3.已知，那么下列不等式成立的是（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C4.已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且

，且滿足

，則(

)A

B

C

D

參考答案：B5.若圓錐的高擴(kuò)大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的，則圓錐的體積（

）A.縮小為原來的 B.縮小為原來的C.擴(kuò)大為原來的2倍 D.不變參考答案：A【分析】設(shè)原來的圓錐底面半徑為，高為，可得出變化后的圓錐的底面半徑為，高為，利用圓錐的體積公式可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)原來的圓錐底面半徑為，高為，該圓錐的體積為，變化后的圓錐底面半徑為，高為，該圓錐的體積為，變化后的圓錐的體積縮小到原來的，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐體積的計(jì)算，考查變化后的圓錐體積的變化，解題關(guān)鍵就是圓錐體積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，在與x軸、y軸平行的方向按（0,0）→（0,1）→（1,1）→（1,0）→（2，0）→（2，1）→（2,2）→（1，2）…的規(guī)律向前移動(dòng)，且每秒鐘移動(dòng)一個(gè)單位長度，那么到第2014秒時(shí)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)是A．

B．

C．

D．參考答案：A略7..某船在小島A的南偏東75°，相距20千米的B處，該船沿東北方向行駛20千米到達(dá)C處，則此時(shí)該船與小島A之間的距離為（

）A.千米 B.千米C.20千米 D.千米參考答案：D【分析】結(jié)合題意運(yùn)用余弦定理求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，在中，，，則.故選【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用余弦定理求解實(shí)際問題，首先要讀懂題目意思，將其轉(zhuǎn)化為解三角形問題，然后運(yùn)用公式求解.8.若向量與的夾角為60°，||=4，（+2）?（﹣3）=﹣72，則向量的模為（）A．2 B．4 C．6 D．12參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積與夾角、模長的關(guān)系計(jì)算（+2）?（﹣3）=﹣72，即可求出的模長．【解答】解：向量與的夾角為60°，||=4，且（+2）?（﹣3）=||2﹣||||cos60°﹣6||2=||2﹣2||﹣96=﹣72，∴||2﹣2||﹣24=0，即（||﹣6）?（||+4）=0；解得||=6，∴向量的模為6．故選：C．9.（5分）垂直于同一條直線的兩條直線一定（） A． 平行 B． 相交 C． 異面 D． 以上都有可能參考答案：D考點(diǎn)： 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題： 分類討論．分析： 根據(jù)在同一平面內(nèi)兩直線平行或相交，在空間內(nèi)兩直線平行、相交或異面判斷．解答： 分兩種情況：①在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；②在空間內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交或異面．故選D點(diǎn)評： 本題主要考查在空間內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系．10.甲、乙兩名同學(xué)在5次體育測試中的成績統(tǒng)計(jì)如上面的莖葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A.甲<乙；乙比甲穩(wěn)定

B.甲>乙；甲比乙穩(wěn)定C.甲>乙；乙比甲穩(wěn)定

D.甲<乙；甲比乙穩(wěn)定第7題參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則的最小值為 ．參考答案：412.等式x2－px－q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，則_______，_______則不等式qx2－px－1＞0的解集是__________________．參考答案：、

、13.已知函數(shù)且，則

。參考答案：14.在中，，則的面積是

；參考答案：15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則_________．參考答案：【分析】由題，易知在中，，利用正弦定理求得，再在中，利用余弦定理求得，可得，即可求得.【詳解】由題可知在中，，，，所以，由正弦定理，得.又在中，，，由余弦定理，得，即，解得，又因?yàn)椋?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查了利用正余弦定理解三角形，合理運(yùn)用正余弦定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16.已知點(diǎn)A(，0)和B(0，)，又點(diǎn)C使∠COA=30°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），且=m+n。則=

。參考答案：±17.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．參考答案：（2k，2k），k∈Z【考點(diǎn)】HF：正切函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用整體代入解不等式的方法，求出函數(shù)y=tan（）的遞增區(qū)間，即為函數(shù)的減區(qū)間．【解答】解：y=tan（﹣x+）=﹣tan（x﹣），令x﹣，k∈z?2kπ﹣，k∈z又y=﹣tan（）的單調(diào)遞減區(qū)間為y=tan（）的遞增區(qū)間，故答案是（2k，2k），k∈z三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)）．（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M（x，y），求的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；伸縮變換；簡單曲線的極坐標(biāo)方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，將ρ=1轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程的上式化簡成t=2（x﹣1）代入下式消去參數(shù)t即可；（2）根據(jù)伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數(shù)方程表示出曲線上任意一點(diǎn)，代入，根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)）．由上式化簡成t=2（x﹣1）代入下式得根據(jù)ρ2=x2+y2，進(jìn)行化簡得C：x2+y2=1（2）∵代入C得∴設(shè)橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)）則則的最小值為﹣4．19.已知函數(shù)f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若存在實(shí)數(shù)a∈，使得關(guān)于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）若a=0，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）根據(jù)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．解答： （1）函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；（2）f（x）=，當(dāng)x≥2a時(shí)，f（x）的對稱軸為：x=a﹣1；當(dāng)x＜2a時(shí)，y=f（x）的對稱軸為：x=a+1；∴當(dāng)a﹣1≤2a≤a+1時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，即﹣1≤a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；

（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即為方程f（x）=tf（2a）的解．①當(dāng)﹣1≤a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，∴關(guān)于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

…（9分）②當(dāng)a＞1時(shí)，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上單調(diào)增，在（a+1，2a）上單調(diào)減，在（2a，+∞）上單調(diào)增，∴當(dāng)f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=tf（2a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；即4a＜t?4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．設(shè)，∵存在a∈，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（2a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴1＜t＜h（a）max，又可證在（1，2]上單調(diào)增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③當(dāng)a＜﹣1時(shí)，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上單調(diào)增，在（2a，a﹣1）上單調(diào)減，在（a﹣1，+∞）上單調(diào)增，∴當(dāng)f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=tf（2a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；即﹣（a﹣1）2＜t﹣4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，設(shè)，∵存在a∈，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（2a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴1＜t＜g（a）max，又可證在[﹣2，﹣1）上單調(diào)減，∴g（a）max=，∴1＜t＜；

綜上：1＜t＜．點(diǎn)評： 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查分段函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．20.（本小題滿分12分）如圖，A、B、C、D是空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等邊△ADB所在的平面以AB為軸可轉(zhuǎn)動(dòng).（Ⅰ）當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求三棱錐的體積；（Ⅱ）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，是否總有AB⊥CD？請證明你的結(jié)論.參考答案：（Ⅰ）設(shè)AB的中點(diǎn)為O,連接OD,OC,由于△ADB是等邊為2的三角形，且,………………2分平面ADB⊥平面ABC，⊥平面ABC…………4分三棱錐的體積.…………6分（Ⅱ）當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,總有,……………8分即有面,

總有AB⊥CD……………10分當(dāng)平面ABD與平面ABC重合時(shí)，由平面幾何知；AB⊥CD……11分于是，當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，總有AB⊥CD?！?2分21.已知函數(shù)f（x）=mx2﹣2mx+n（m＞0）在區(qū)間[1，3]上的最大值為5，最小值為1，設(shè)． （Ⅰ）求m、n的值； （Ⅱ）證明：函數(shù)g（x）在[，+∞）上是增函數(shù)； （Ⅲ）若函數(shù)F（x）=g（2x）﹣k2x在x∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出f（1）=1，f（3）=5，求出m，n的值即可； （Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可； （Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為k=1+2﹣2在x∈[﹣1，1]上有解，通過換元得到k=2t2﹣2t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范圍即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=m（x﹣1）2﹣m+n（m＞0）， ∵m＞0，∴，解得：， （Ⅱ）由已知得g（x）=x+﹣2， 設(shè)≤x1＜x2， ∵g（x1）﹣g（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=， ∵≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1x2，即x1x2﹣2＞0， ∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）， ∴函數(shù)g（x）在[，+∞）上是增函數(shù)； （Ⅲ）函數(shù)F（x）=g（2x）﹣k2x在x∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)， 即g（2x）﹣k2x=0在x∈[﹣1，1]上有解， 即k=1+2﹣2在x∈[﹣1，1]上有解， 令t=，則k=2t2﹣2t+1， ∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]， 即k=2t2﹣2t+1在t∈[，2]上有解， 2k=2k2﹣2t+1=2+，（≤t≤2）， ∴≤k≤5， ∴k的范圍是[，5]． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函