2021-2022學(xué)年度強化訓(xùn)練北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明定向測評試題

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明定向測評

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、如圖，在等腰中，ZA=9O。，AB^AC,BD平分ZABC,交〃'于點〃，DELBC,若

3c=10cm,貝IJAOEC的周長為（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

2、如圖，等腰△中，AB=AC,ZBAC=120°,4）,0。于〃點。是線段上一點，點戶

是物延長線上一點，若OP=OC,則下列結(jié)論：①ZAPO+NDCO=30°；②ZAPO=ZDC。；③△POC

是等邊三角形；④45=04+AP.其中正確的是（）

A.①③④B.①②③C.②③④D.①②③④

3、如圖，AABC^DEC,點6在線段四上，4=75。，則ZAC。的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

4、點。在N4/的平分線上（不與點。重合），尸吐力于點C,〃是如邊上任意一點，連接陽.若

小3,則下列關(guān)于線段如的說法一定正確的是（）

A.PD=POB.PIX3

C.存在無數(shù)個點〃使得快/TD.勿23

5、如圖，在三角形ABC,AB2+AC2=BC2,ItAB=AC,”是BC上中點，F(xiàn)是射線A”上一點.E

是AB上一點，連接E尸，EC,BF=FE,點G在AC上，連接8G,々:CG=2NGBC,AE=5五，

4G=40,則C尸的長為（）

A.9夜B.842C.7&D,9

6、如圖，在等腰。中，AB-BC,/4除108°,點。為46的中點，DELAB交AC于點、E,若

力廬6,則〃1的長為（)

A

E

D

A.4B.6C.8D.10

7、如圖，中，NC=90°,利用尺規(guī)在外,加上分別截取陽BD,蟆BE=BD；分別以〃，E

為圓心、以大于g鹿的長為半徑作弧，兩弧在NC切內(nèi)交于點色作射線跖交力C于點G.若3=

1,P為4B上一動點,則的最小值為（）

A.無法確定B.yC.1D.2

8、已知等腰三角形的兩條邊長分別為4和9,則它的周長為（）

A.17B.22C.23D.17或22

9、△中，ZA,DB,NC的對邊分別為a,b,c,下列條件能判斷^是直角三角形的是

)

A.ZA-Z.B—Z.CB.a=6,b=l,c=8

C.ZA:ZB:NC=3:4:5D.a2+b2=c2

10、如圖，在“IBC中，AC=BC,ZB=30°,。為AB的中點，P為CD上一點,E為BC延長線上

一點，且PA=P￡有下列結(jié)論：①NPAO+NPEC=30。；②為等邊三角形；③PD=CE-CP；④

S四邊形=S.APC?其中正確的結(jié)論是（）

E

A.①②③④B.①②C.①②④D.③④

第n卷（非選擇題7。分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，=點G分別為4〃與少的中點，若CE=3,EF=5,則40—

2、如圖，已知砥是等邊三角形，邊長為3,G是三角形的重心，那么窈=-----

3、由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕

易收攏，然后套進衣服后松開即可.如圖2,衣架桿。4=08=18cm,若衣架收攏時，2408=60。，

如圖1,若衣架打開時，208=120。，則此時A,B兩點之間的距離擴大了cm.

4、如圖，將一副三板按圖所示放置，NDAE=NABC=9Q：=45°,/￡30°,點“在〃'上,

EF

過點A作AF//BC交應(yīng)于點F,則-=.

5、已知△[a'是等腰三角形，若/月=70°,則N8=

三、解答題(5小題，每小題10分，共計50分)

1、如圖1,CA=CB,CD=CE,/=/=,AD,應(yīng)■交于點"連CH.

(1)NAHE=.(用表示)

(2)如圖2,連接。/,求證：CH平■分4AHE；

(3)如圖3,若=60°,P,。分別是/〃，龍的中點，連接小PQ,6.請判斷三角形尸數(shù)的形

狀，并證明.

2、已知：如圖，在中，AB=AC,點〃、后分別在邊6GAC1,,AD=AE.

(1)若NBAQ30°,則/融7=°；若NEDC=2G°,貝UN員IP=

(2)設(shè)NBAAx,AEDC=y,寫出y與x之間的關(guān)系式，并給出證明.

3、教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容.請根據(jù)教材中的分析.

2.線段秉直平分線

我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形'線段的

線是線段的對稱軸.如圖135L直線MX是線段即的

垂直平分線，牌比讓任一點、連結(jié)HP5將線段

月"沿直線對折.我們發(fā)現(xiàn)以與P除全重合"-

此即有:

圖13.51.線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的

點到線段兩疆的距離相等.

已知如圖1351.町上出垂是為點C.AC=

5C,點尸是直線MT上的任意一點.

請寫出完求證:PA=PB

整的證明過程

圖中有兩個直角三角形/PC^IBPC,只要

證明這兩個三角形全等、便可證得網(wǎng)=P8

(1)結(jié)合圖①，寫出“線段的垂直平分線質(zhì)定理”完整的證明過程.

(2)定理應(yīng)用:

如圖②，在A中，=,48的垂直平分線交火8于M交4C于機連接,如若

J5=8cm,△的周長是14cm.

①求比的長；

②點。是直線,眼上一動點，在運動的過程中，由RB,C構(gòu)成的△的周長是否存在最小值?若

存在，標出點尸的位置，并求△的周長最小值；若不存在，說明理由.

圖②

4、如圖，在平面直角坐標系xoy中，△的頂點。是坐標原點，點力在第一象限，點6在x軸

的正半軸上，/=90°且=,=6,點C是直線"上一點，且在第一象限，

1滿足關(guān)系式+y[Td=26-

(1)請直接寫出點/的坐標；

(2)點。是線段仍上的一個動點(點夕不與點。重合)，過點尸的直線/與x軸垂直，直線/交邊

或邊46于點。，交%于點設(shè)點廠的橫坐標為力，線段”的長度為加當(dāng)=60寸，直線/

恰好過點C.

①求直線3的函數(shù)表達式;

②當(dāng)機=:時，請直接寫出點尸的坐標;

③當(dāng)直線能與直線"所組成的角被射線創(chuàng)平分時，請直接寫出t的值.

5、如圖，已知△/回是等邊三角形，物是4C上的高線.作力反于點兒交劭的延長線于點

E.取應(yīng)■的中點機連結(jié)

(1)求證：△/日/是等邊三角形;

(2)若力￡=1,求△/!笈的面積.

-參考答案-

一、單選題

1、B

【分析】

根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得上/〃，利用“HL”證明應(yīng)△力如和欣△加全等，根

據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得4廬應(yīng)；然后求出的周長=6C,再根據(jù)aMOcm,即可得出答案.

【詳解】

解：?.?劭是乙仍C的平分線，DELBC,Z/f=90°,

,DE=AD,

在應(yīng)和RtAEBD中,

BD=BD

AD=DE

：.AB=BE,

???△/r的周長二的辦"

二ARC拼CE,

;AC+CE,

=AB+CE,

=BE+CE,

二BC,

BC=10cm,

???△龐。的周長是lOc/77.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出△〃比的周長二回是解

題的關(guān)鍵.

2、A

【分析】

①利用等邊對等角得：/APO=/ABO,ZDCO=ZDBOf則NAP。N%0=NA盼/施0=/加,據(jù)此

即可求解；②因為點。是線段49上一點，所以如不一定是乙4劭的角平分線，可作判斷；③證明

NPOC=60°&OP=OC,即可證得△倒是等邊三角形；④證明△如g△"￡；則力行/得〃=

AE+CE=AO^AP.

【詳解】

解：①如圖1,連接。6,

A

D

圖1

*：AB=AaADL.BC,

：.BD=CD,ABAD=yZBAC=1X120°=60。,

：.OB=OQZABC=90°-N為。=30°

?：OP=OC,

：.OB=OC=OP,

：.ZAPO=ZABO,/DCO=/DB0,

：.AAPO^ADCO=ZAB（AZDBO=AABD=3Q°,故①正確;

②由①知：NAPO=NABO,ZDCO=ZDBOf

???點。是線段四上一點，

???NA5O與/〃/切不一定相等，

則N/1%與N〃GO不一定相等，故②不正確；

③?：/APC+/DC丹/PBC=18G0,

：.ZAPaZDCP=150°,

?:/AP儕/DCO=3b0,

：.ZOPO-ZOCP=120°,

???/〃％=180°-CZOPOZOCP）=60°,

9：op=oa

是等邊三角形，故③正確;

④如圖2,在4C上截取力￡=必,

VZ^=180°-N劭。=60°,

，△加萬是等邊三角形，

:?/PEA=/APE=6。。,PE=PA,

:?NAP伊/OPE=6G0,

ZOPE+ZCPE=ZCPO=60°,

：.ZAPO=ZCPEf

YOP=CP,

在△〃陽和△d%中，

PA=PE

<NAPO=/CPE,

OP=CP

：./\OPA^/\CPE(.SAS'),

：.AO=CE,

：.AC=AE^CE=AOvAP,

：.AB=AO^AP,故④正確；

正確的結(jié)論有：①③④,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知

識，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

3、C

【分析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得比/ACB=NDCE我/ACD=NBCE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形

的內(nèi)角和定理求解/斤/座1C和/腔即可.

【詳解】

解：:△AB8ADEC,

：.BC=CE,NACB=NDCE,

：./序NBEC,/ACF4BCE,

'：N3=75。，

：.ZACD=ZBCE=i80°—2X75°=30°,

故選：C.

【點睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)

和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

4、D

【分析】

根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點產(chǎn)到加的距離為3,再根據(jù)垂線段最短解答即可.

【詳解】

解：?.?點。在/月防的平分線上，戶6工以于點C,PO3,

???點一到陽的距離為3,

?.?點〃是如邊上的任意一點，根據(jù)垂線段最短，

...昨3.

故選：D.

【點睛】

本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

5、D

【分析】

延長必到4,是的/后/&連接（X先由勾股定理的逆定理可以得到是等腰直角三角形，

ZS40900,ZACB=ZABO450,由B六FE,得到NFB斤NFEB,,設(shè)4BF2x,則

ZEBF=1（1800-ZBFE）=90°-^x,然后證明小叱能得到/陽仁/心，NZ除/力先則

ZFCA=90°"尸=；（180。-/8/芭）=90。一3》即可證明/EFC=NAFE+/AFC=90。，推出

CF力CE；設(shè)NECG=2NG3C=2），，證明得到

2

NK=NAGB=NACB+NGBC=45。+y,ZACK=ZABG^ZABC-ZGBC=45°-y,即可推出

NECkNK,得到止EC,則EK=AE+AK=4E+AG=9四，由此即可得到答案.

【詳解】

解：延長切到4,是的力信“，連接（X

,在三角形ABC,AB2+AC2=BC2,SLAB=AC,

...△A9C是等腰直角三角形，/的小90°,

：.ZACB=ZAB（=A5O,

'：BF=FE,

：.Z.FBE^AFEB,

設(shè)/BF夕x,則/破歹二；(180。一/5?￡：)=90。一；工，

???〃是用上中點，夕是射線力〃上一點，

：.AHLBC

???力〃是線段回的垂直平分線，ZFAC=45°,

???CFFOFE,

：./FBO/FCA,ZAFB=ZAFC

：.ZFCA=90°-1x,EBF=^(180°-ZBFE)=90°-^x

：.ZAFB=ZAFC=180°-ZFAC-ZFCA=450+-x

2f

.??ZAFE=ZAFB-ZBFE=45°--x,

2

???ZEFC=ZAFE+ZAFC=90°,

EF2+CF2=CE2,

^ZECG=2ZGBC=2yf

*：AG-AK,A加AC,NKAO-NGA廬90°,

：./\ABG^/\ACK(S4S),

ZK=ZAGB=ZACB+ZGBC=45°+,ZACK=ZABG=ZABC-ZGBC=45°-y,

NECK=NACE+NACK=45。+a,

：.ZEC/^ZK,

:?E器EC,

*.*EK=AE+AK=AE+AG=9>/2,

EF=EK=972,

：.CF=9,

故選D.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)與

判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

6、B

【分析】

由等腰三角形的等邊對等角性質(zhì)即可得出N0I廬/宓4=36°,再由垂直平分線定理可知

NCAB=NAB斤36°,再由三角形內(nèi)角和為180°即可推出/儂=/后％,故C界BOAB=6.

【詳解】

'：AB=BC,/4除108°

：.ZCAS=ZBCA=36°

又?.?點，為48的中點，DELAB交AC于點、E

:.A芹BE

：.ZCAB=ZABE=36°

：.ZAEB=180°-ZABE-ZCAB=180°-36°-36°=108°

NCEB=180°-ZAEfi=180°-108°=72°

，ZEBC=180°-ZCEB-ZBCA=180°-72°-36°=72°

，ZCEB=ZEBC

：.BOCE

：.舊AB=6

故選：B.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，熟悉使用有關(guān)性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

7、C

【分析】

如圖，過點G作。小/6于"根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明G〃=GC=1,利用垂線段最短即可解決問

題.

【詳解】

解：如圖，過點G作67AL48于"

由作圖可知，GB平分NABC,

'JGHLBA,GCVBC,

:.GH=GC=\,

根據(jù)垂線段最短可知，GP的最小值為1,

故選：C.

【點睛】

本題考查了垂線段最短，角平分線的性質(zhì)定理，尺規(guī)作圖作角平分線，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

8、B

【分析】

題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)

用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【詳解】

解：（1）如果腰長為4,則三邊是：4,4,9；不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，不成立；

（2）如果腰長為9,則三邊是：4,9,9；滿足三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，成立；周長

=9+9+4=22.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩

種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的

關(guān)鍵.

9、D

【分析】

利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項判斷即可.

【詳解】

解：4、VZA=ZB=ZC,且N/+N8+NC=180°,ZA=ZB=ZC=60°,故△力■不是直角三

角形；

B、：a=6,b=7,c=8,/.a2+Z）Vc2,故花1不是直角三角形；

aVZJ：NB：NC=3：4：5,且N4+N8+NC=180°,

最大角/C=75°W90°,故△力a'不是直角三角形；

A'：a2+b2=c2,故△力a1是直角三角形；

故選：D.

【點睛】

本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足才+。2=/,那么這個三角形就是

直角三角形.也考查了三角形內(nèi)角和定理.

10、C

【分析】

連接即，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理可求

ZPEA+ZPAE=120°,可得？APE60?,可判斷②；過點力作/心比；在a'上截取3=8，由

“弘S”可證△〃AC^AZEAC,延長夕￡＞至〃，使尸。=網(wǎng)0,則點尸關(guān)于48的對稱點〃，連接

PA,根據(jù)對稱性質(zhì)即可判斷③；過點/作1RL6G在歐上截取CG=CR由三角形的面積的和差關(guān)

系可判斷④.

【詳解】

解：如圖，連接8R

"：AC=BC,N4%'=30°，點〃是46的中點，

：.ZCAB=ZABC=30Q,AD=BD,CDLAB,/ACD=/BCD=6G,

...切是四的中垂線，

：.AP=BP,而AP=PE,

：.AP=PB=PE

:.NPAB=/PBA,4PEB=4PBE,

...ZPBA+ZPBE=ZPAmZPEB,

:.NABC=NPAANPEC=3G,

故①正確；

'：PA=PE,

：.(PAE=NPEA,

ZABC=ZPAD^ZPEC=30°,

處4N陽=180?60?120?,

\?APE60?而PA=PE,

△必￡是等邊三角形，

故②正確；

如圖，延長PD至P,使尸。=「辦，則點尸關(guān)于46的對稱點為〃，連接〃A,

：.AP=AP',NPAD=/P'AD,

?.?△必￡是等邊三角形,

：.AE=AP,

：.AE=AP',

片/。a/B4g30°,

.?.2/。42/力片60°，

：.ACAP^APAD^ZP'AD=&^-NPAC,

\?EAC60??PAC,

:."AC=ZEAC,

'：AC^AC,

...△P'4隹4c(胡S),

：.CP'=CE,

:.CE=CF=CKPaDP'=CPr2PD,

故③錯誤；

過點A作AFLBC,在上截取CG=CP,

"：CG=CP,NBCD=60°,

...△a%是等邊三角形，

：.ZCGP^ZPCG^6Q°,

:"ECP=NPGB='2Q°,且EP=PB,NPEB=NPBE,

：.[\PCE^l\PGB(/MS),

:.CE=GB,

：.AC=BC=BG^CG=EC+CP,

,：ZABC=30°,AFLBE,

：.AF=3AB=AD,

'：S^CB=\CBXAF=^QEC+CP)XAF=^ECKAF+^CPXAD=SHi4?ABCP,

.?.S四邊道ABCP=Sl\ABC.故④正確.

所以其中正確的結(jié)論是①②④.

故選：C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含3伊的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線

的定義與性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵.

二、填空題

1、4

【分析】

根據(jù)SIS證明AACG=A￡>FG,由全等三角形的性質(zhì)得AC=QF,ZA=ZFDG,由ZEDG=N3DE,

ZB=^ZBDE^ZB=ZFDG=ZA,推出ABQE,AA3C都是等腰三角形，故得AC=BC=OF,設(shè)

BE=x,則￡>E=x,DF=EF-DE=5-x,BC=CE+BE=?>+x,列出等量關(guān)系式解出x,即可得出

AC=BC=3+x.

【詳解】

??,點G分別為股與CF的中點，

AG=DGfZAGC=ZDGFfCG=FG,

.??AACG-DFG(SAS),

：.AC=DF,ZA=NFDG,

?：/FDG=/BDE,NB=NBDE,

：.ZB=ZFDG=ZAf

:.ABDE,△ABC都是等腰三角形，

?,.AC=BC=DF,

設(shè)=貝ljDE=x,DF=EF-DE=5-x,BC=CE+BE=3+x,

??5—x=3+x,

解得：X=1,

，AC=3C=3+x=3+l=4.

故答案為：4.

【點晴】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意找出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

2、乖)

【分析】

延長4G交火于〃，根據(jù)重心的概念得到［區(qū)L6GBD=D*B*,根據(jù)勾股定理求出4。，根據(jù)重心

的概念計算即可.

【詳解】

解：延長4G交比1于〃,

是三角形的重心,

2

J.ADLBC,BD=D(=^BO-,

22

由勾股定理得，AD=ylAB-DB2=巫,

2

2

：.GA=-AD=43,

【點睛】

本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且

重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

3、18A/3-18##

【分析】

分別求出ZAOB=60。時與4。8=120。時四的長，故可求解.

【詳解】

如圖，當(dāng)NAO3=60。時，連接力6

OA=O3=18cm

...△勿6是等邊三角形

，AB=OA=OB=18cm

應(yīng)

如圖，當(dāng)NAOB=120°時，連接46,過。點作OCLAB

'：04=05=18cm

.?./4=/廬：（180。-/4。8）=30。，AOBC

：.0<=-AO=9c/n

2

'-AOyjAOr-OC-=9gcm

AB=2AC=18后cm

：.A,B兩點之間的距離擴大了(18g-18)cm

故答案為：186-18.

【點睛】

此題主要考查等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理、等腰三角形及含

30°的直角三角形的性質(zhì).

4、且

3

【分析】

過點?作同于點必由題意易得NAfM=NC4F=NC=30。，則有“尸=64%4尸=24M，然后

可得=AD=(\+^)AM,進而可得。片=04。=(0+后)411,最后問題可求解.

【詳解】

解：過點尸作同小4〃于點M如圖所示:

'：ZDAE=ZABC=90°,

：.FM//AC,

：.ZAFM=ZCAF,

：NC=30°,AF//BC,

：.ZAFM=ZC4F=ZC=30°,

AF=2AM,

MF=y/AF2-AM2=6AM，

VZZ?=45O,

/.都是等腰直角三角形，

,DM=MF=6AM,DF=^2DM=在AM,

AD=AM+DM,

AO=（1+@AM,

OE=0AO=（夜+"）AM,

EF=DE-DF=yf2AM,

.EF-JlAM_V3

DF~底AM-3，

故答案為且.

3

【點睛】

本題主要考查等腰直角三角形及含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形及

含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5、40°或55°或70°

【分析】

分①ZA是頂角，08是底角，②ZA是底角，是底角，③ZA是底角，03是頂角三種情況，再根據(jù)

等腰三角形的定義、三角形的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】

解：由題意，分以下三種情況：

①當(dāng)NA是頂角，是底角時，

貝I」=g(1800-ZA)=1x(180°-70°)=55°；

②當(dāng)ZA是底角，是底角時，

則Z8=ZA=70°；

③當(dāng)NA是底角，B8是頂角時，

則NB=180°-2ZA=180°-2x70°=40°；

綜上，E>8的度數(shù)為40。或55?；?0。，

故答案為：40。或55?；?0。.

【點睛】

本題考查了等腰三角形、三角形的內(nèi)角和定理，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)18()。-。；(2)證明見詳解；(3)ACPQ為等邊三角形,證明見詳解.

【分析】

(1)由題意及全等三角形的判定定理可得=,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形

內(nèi)角和外角的性質(zhì)即可得出結(jié)果；

(2)過點，作CMLAZ),CN1BE,由全等三角形的判定和性質(zhì)可得：S,

CM=CN,利用角平分線的判定即可證明；

(3)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得：=，4PC4=NQC3,根據(jù)圖形及角之

間的關(guān)系可得NPCQ=NACB,即可證明結(jié)論.

【詳解】

解：(1)如圖所示：設(shè)%與4?相交于點人

ZACB=ZDCE=a,

：.ZACB+ABCD=ZDCE+NBCD,BPZACD=NBCE,

在AAC￡>與ABC￡中，

CA=CB

"ZACD=ZBCE,

CD=CE

????=，

：.ZCAD=ZCBE,

ZAFC=NBFD,

：.ZAHB=ZACB=a,

：.ZAHE=\80°-a,

故答案為：180。-a；

(2)如圖所示：過點。作。加，49,CN1BE,

：./CAM=4CBN,

在與中，

/CAM=/CBN

<NAMC=NBNC=90。，

AC=BC

/?=9

:?CM=CN,

:?CH①分UHE?,

(3)ACPQ為等邊三角形，理由如下:

???

：.AD=BE,NPAC=NQBC,

■:P、Q為AD、跖中點，

AP=BQ,

在AAPC與中，

AP^BQ

，NPAC=NQBC,

AC=BC

/.CP=CQ,NPCA=NQCB,

：.NPCQ=NACB=60°,

.?.△CP。為等邊三角形.

【點睛】

題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，

熟練掌握，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

2、(1)15,40；(2)y=\x,見解析

【分析】

(1)設(shè)NEDC=m,則N8=NU〃，根據(jù)乙4應(yīng)=/力成=研〃，班/加。即可列出方程，從

而求解.

(2)設(shè)NBAAx,/EDC=y,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得N6=NC,NADE=NAEgN*NEDC=

N班y,由N4〃C=N陰/區(qū)儂/砒'即可得Nax=Na片y,從而求解.

【詳解】

解：(1)設(shè)4EDC=m,NB=NC=n,

'：NAED=NEDC+NC=i^n,

又,：AD=AE,

AADE—NAED=mn,

則ZADC=NADE+NEDC=2/n,

又?：NADC=N&^NBAD,

NBAD=2nb

.?.2研〃="30,解得加=15。，

.?.N￡Z《的度數(shù)是15°；

若/切C=20°,則/用19=2/=2義20°=40°.

故答案是：15；40；

(2)y與才之間的關(guān)系式為

證明：設(shè)4BAD=x,/EDC=y,

?：AB=AC,AD=AE,

:./B=/C,4ADE=4AED,

???ZAED=ZO/EDC=/吩y,

???AADC=/B+/BAD=4ADE+4EDC,

ZB+x=ZB+y^-y,

，2y=x,

?一1

??尸5人

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，靈活運用等腰三角

形的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵.

3、(1)見解析；(2)①6cm；②存在，圖見解析，14cm

【分析】

(1)根據(jù)可得44cp=N3CP=90。，從而證得即可求證；

(2)①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理，可得，儂，必，再由△，監(jiān)C的周長是14cm,可得

AC+BC=\^cm,即可求解；

②根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理，可得小必，從而得到P6+CR必+心力G進而得到當(dāng)點。與點

"重合時，P8+CP的值最小，即可求解.

【詳解】

(1)證明：'：MN1AB,

：.ZACP=ZBCP=90°,

在與△仇乃中,

AC=BC

，ZACP=/BCP,

PC=PC

:.△ACP^XBCP,

:?PA=PB；

(2)①:磔垂直平分力反

又丁△，珈。的周長是14cm,

???4?■船44cm,

定8cm,

???船^cm.

②如圖，

當(dāng)點。與點財重合時，PB+CP的值最小,

?，加垂直平分AB.

：.PB^PA,

:.PB+Cf^PA+PC^AC,

，當(dāng)點尸與點〃重合時，PB+CP的值最小，為4C的長

，△陽，的周長最小值是8+6=14cm.

【點睛】

本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上

的點到線段兩端距離相等是解題的關(guān)鍵.

4、(1)(3,3)；(2)①直線%的函數(shù)表達式為y=(x；②點。坐標為(2，0)或(宗0)；③t

31616

的值為,或3+gVi^i

【分析】

(1)過力作軸于點。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出除力=3,即可得到4坐標為(3,

3),；

(2)①由。5=6,且0B+Ji60C=26,可得0C=2ji3,在R/ABOC中，利用勾股定理求得比'的值，

即可得到點C坐標，設(shè)出直線0c的函數(shù)表達式為片4x,把(6,2)代入求出力的值，即可得到直

線%的函數(shù)表達式；②先求出直線4?的解析式，由題意點得。(30),Q5力或(3

1o3

T+6),R(3?),列出方程，即可求得點尸坐標；③先求出點〃的坐標為I1,；),再根據(jù)面

積法求出AN=±但,最后分兩種情況討論即可.

【詳解】

(1)過力作軸于點〃,

,：0斤6,(M=AB,/如廬90°，

???4〃平分/總員且沖法3,

：.ZOAD=ZAOD=45°