重難點專題10導數(shù)與不等式恒成立九大題型匯總（原卷版）

重難點專題10導數(shù)與不等式恒成立九大題型匯總TOC\o"13"\h\z\u題型1直接求導型 1題型2端點賦值法 2題型3隱零點型 3題型4分離參數(shù)法 5題型5分離參數(shù)法洛必達法則 6題型6構(gòu)造輔助函數(shù)求參 6題型7絕對值同構(gòu)求參 7題型8函數(shù)取“整”型 9題型9“存在”成立問題 10題型1直接求導型若f(x)在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：?x∈D,fx>0?fx（2）能成立：?x∈D,fx>0?fx若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：a>fx（或a<f（1）恒成立：a>fx?a>fx（2）能成立：a>fx?a>fx【例題1】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fx=lnx(1)求函數(shù)fx在點1(2)若gx=-ax，且?x∈D，【變式11】1.（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）已知函數(shù)fx(1)當m=1時，證明：fx(2)若關于x的不等式fx<m-2【變式11】2.（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fx=x2-mx(1)當m=1時，求曲線y=fx在點1,f(2)若關于x的不等式fx≥2ex【變式11】3.（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)mx=t?(1)若函數(shù)Fx=mx-nx(2)若函數(shù)mx>2恒成立，求【變式11】4.（2023秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，求曲線y=fx在點0,f(2)當x>0時，fx≥axcos題型2端點賦值法1．端點賦值法（函數(shù)一般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關重要的作用）2．為了簡化討論，當端點值是閉區(qū)間時候，代入限制參數(shù)討論范圍．注意，開區(qū)間不一定是充分條件．有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論．【例題2】（2022·河南鄭州·統(tǒng)考一模）設函數(shù)f(x)=ln（1）當p=1時，求函數(shù)fx（2）設函數(shù)g(x)=xf(x)+p2x2-x-1對任意x≥1都有【變式21】1.（2022秋·黑龍江雞西·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)fx(1)若x=3是fx的極值點，求f(2)若fx【變式21】2.（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考階段練習）設函數(shù)fx=x+aex(1)求實數(shù)a的值；(2)若不等式fx≥tx+lnx+1【變式21】3.（2023春·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）已知函數(shù)f(x)=2ln(1)當b=2時，求過點0,-2的fx(2)設g(x)=ex-1+【變式21】4.（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)f(x)=-x2ex+(b-1)x+a在x=0(1)設g(x)=x+22ex，x∈(0,+∞)，當a=1時，求證：函數(shù)(2)?x∈0,+∞，不等式2e題型3隱零點型1．導函數(shù)（主要是一階導函數(shù)）等零這一步，有根x0但不可解．但得到參數(shù)和x2.知原函數(shù)最值處就是一階導函數(shù)的零點處，可代入虛根x3.利用x0與參數(shù)互化得關系式，先消掉參數(shù)，得出x0不等式，求得4.再代入?yún)?shù)和x0【例題3】（2023秋·湖北隨州·高三隨州市曾都區(qū)第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)fx=ax2+xlnx(1)求實數(shù)a的值；(2)若存在k∈Z，使得f(x)>k【變式31】1.（2023秋·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知函數(shù)fx=e(1)討論fx(2)若當x≥-1時，fx>ax，求(3)若存在實數(shù)a、b，使得fx+ax【變式31】2.（2022秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=e(1)討論函數(shù)fx(2)若a∈N*，當x≥0時，φx≥0恒成立時，求【變式31】3.（2023·福建泉州·?？寄M預測）已知函數(shù)fx(1)若m=1，求fx(2)若對任意x>0，fx題型4分離參數(shù)法【例題4】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在x=1(2)若fx+x-1【變式41】1.（2023秋·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)fx(1)若x=1是函數(shù)y=f(x)的極值點，求m的值；(2)若對任意的x∈1e,【變式41】2.（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)=2x(1)討論函數(shù)fx(2)若f-1=1，函數(shù)g(x)=aln【變式41】3.（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fx=ln(1)當m=1時，求曲線y=fx在點1,f(2)若關于x的不等式fx<0在0,1上恒成立，求【變式41】4.（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）設函數(shù)fx(1)若fx≥0恒成立，求實數(shù)(2)在（1）的條件下，證明：ex-1題型5分離參數(shù)法洛必達法則1．若分離參數(shù)后，所求最值恰好在“斷點處”，則可以通過洛必達法則求出“最值”2．注意“斷點”是在端點處還是區(qū)間分界處．【例題5】設函數(shù)f(x)=sinx2+（2）如果對任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范圍．【變式51】1.設函數(shù)f(x)=ln（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）是否存在實數(shù)a，使得關于x的不等式f(x)≥a的解集為（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．【變式51】2.已知函數(shù)fx=ex，曲線y=fx(1)證明：對于?x∈R，fx(2)當x≥0時，fx≥1+ax題型6構(gòu)造輔助函數(shù)求參1．含有x1和x2．可以利用第一問的某些結(jié)論或者函數(shù)結(jié)構(gòu)尋找構(gòu)造的函數(shù)特征．【例題6】（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第四中學校校考三模）已知函數(shù)f(x)=aln(x-1)+1(1)當a=-1時，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若任意x1,x2∈(1,+∞)【變式61】1.（2023春·江蘇揚州·高三揚州中學校考階段練習）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)設gx=xex-lne【變式61】2.（2023秋·重慶渝北·高三重慶市渝北中學校?？茧A段練習）已知函數(shù)fx=1(1)當a=-1時，求函數(shù)fx(2)若任意x1、x2∈1,+∞且x【變式61】3.（2022·陜西西安·西安中學?？寄M預測）已知函數(shù)f(x)=12x(1)當a=1時，求函數(shù)y=fx在區(qū)間(0,(2)若a∈0,12，證明對任意x【變式61】4.（2021·甘肅嘉峪關·嘉峪關市第一中學校考三模）已知函數(shù)fx（1）若曲線y=fx在x=1處的切線與y軸垂直，求y=（2）若對任意0≤x1≤x2題型7絕對值同構(gòu)求參1．含絕對值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過討論去掉絕對值．2．去掉絕對值，可以通過“同構(gòu)”重新構(gòu)造函數(shù)．【例題7】（2023·上海徐匯·位育中學?？寄M預測）已知函數(shù)fx=x(1)判斷函數(shù)fx(2)若函數(shù)Fx=x?fx在x=1(3)記gx=-ex（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.若對任意x1、x【變式71】1.（2022秋·天津北辰·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=1(1)當a=2時，求曲線y=fx在點1,f(2)當a≠1時，求函數(shù)fx(3)若a∈0,12，證明對任意x1，【變式71】2.（2022秋·天津東麗·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)f((1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為(2)當a=1時，f(x1)=(3)若0<a≤1，對任意x1，x2∈【變式71】3.（2021·吉林長春·吉林省實驗校考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若對任意x1，x2∈0,1都有fx1【變式71】4.（2020秋·海南?？凇じ呷？茧A段練習）已知函數(shù)fx=ln（1）討論函數(shù)Fx（2）若-3≤a≤-1時，對任意x1、x2∈【變式71】5.（2021秋·山西長治·高三山西省長治市第二中學校校考階段練習）已知函數(shù)fx（1）若fx在0,1上的最大值為-2，求a（2）記gx=fx+a-1lnx+1，當a≤-2題型8函數(shù)取“整”型討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點函數(shù)的符號問題【例題8】（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學校考階段練習）已知函數(shù)f(x)=2x(1)討論函數(shù)fx(2)若f-1=1，函數(shù)g(x)=aln【變式81】1.（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知函數(shù)fx(1)當m=1時，證明：fx(2)若關于x的不等式fx<m-2【變式81】2.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）設函數(shù)f(x)=(1)若a=1，b=0，求曲線y=f(x)在點1,f1(2)若0<a<b，不等式f1+lnx【變式81】3.（2023·廣西桂林·?？寄M預測）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)gx(2)若a=1，且存在整數(shù)k使得fx>k恒成立，求整數(shù)（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln【變式81】4.（2022秋·云南·高三云南民族大學附屬中學校考期中）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若m為整數(shù)，且關于x的不等式fx≤m題型9“存在”成立問題1．當不能分離參數(shù)時候，要移項分類討論．2．確定是最大值還是最小值．【例題9】（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_學考試）已知函數(shù)fx(1)證明：當x>0時，fx(2)若關于x的方程fxx+x2【變式91】1.（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)fx=cosxx，x∈(1)證明：f'(2)若關于x的不等式f'【變式91】2.（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)當a=1時，記gx=xfx【變式91】3.（2022·遼寧·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)證明：存在α∈-π6【變式91】4.（2022秋·北京·高三北京市第十二中學?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)=e(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間：(2)若關于x的不等式f(x)≤ea在(3)若曲線y=f(x)存在兩條互相垂直的切線，求實數(shù)a的取值范圍；（只需直接寫出結(jié)果）【變式91】5.（2022·北京海淀·101中學統(tǒng)考模擬預測）設函數(shù)f(x)=ln（1）求函數(shù)φ(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當a=1時，記h(x)=f(x)g(x)，是否存在整數(shù)λ，使得關于x的不等式2λ?h(x)有解？若存在，請求出λ的最小值；若不存在，請說明理由．1.（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）已知函數(shù)fx=x-1ex(1)設gx=fx(2)當x>0時，f'2.（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fx(1)若x>0，函數(shù)fx的圖象與函數(shù)y=a(2)若m<fx-1x<nm,n∈3.（2023·福建廈門·廈門一中校考一模）函數(shù)fx(1)當a=0時，求函數(shù)fx(2)若對任意x∈0,1∪1,+∞，不等式4.（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）已知函數(shù)fx(1)當b=1時，若fx≤1恒成立，求(2)若b=12,fx在π,5.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=ae2x(1)求a的值及函數(shù)fx(2)設gx=ax2-1lnx，若關于6.（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知函數(shù)fx=asin(1)若fx≤x在0,+∞(2)證明：?x∈0,+∞，有7.（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)討論