32個(gè)經(jīng)典圓錐曲線問題

./圓錐曲線32題1.如圖所示,,分別為橢圓：〔的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),,為兩個(gè)頂點(diǎn),已知橢圓上的點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離之和為．〔1求橢圓的方程；〔2過橢圓的焦點(diǎn)作的平行線交橢圓于,兩點(diǎn),求的面積．2.已知橢圓：的離心率為,過左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．〔1求橢圓的方程；〔2若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線,垂足為,求點(diǎn)的軌跡方程．3.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在上．〔1求的方程；〔2直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為．證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．4.已知的頂點(diǎn),在橢圓上,點(diǎn)在直線：上,且．〔1當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),求的長(zhǎng)及的面積；〔2當(dāng),且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí),求所在直線的方程．5.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為,它的兩個(gè)短軸頂點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于異于橢圓頂點(diǎn)的兩點(diǎn),,且．〔1求橢圓的方程；〔2求的取值范圍．6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,是拋物線上橫坐標(biāo)為,且位于軸上方的點(diǎn),到拋物線準(zhǔn)線的距離等于,過作垂直于軸,垂足為,的中點(diǎn)為．〔1求拋物線的方程；〔2若過作,垂足為,求點(diǎn)的坐標(biāo)．7.已知圓過定點(diǎn),且與直線相切,圓心的軌跡為,曲線與直線相交于,兩點(diǎn)．〔1求曲線的方程；〔2當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí),求的值．8.已知直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),記與軸的交點(diǎn)為．〔1若,且,求實(shí)數(shù)的值；〔2若,求面積的最大值,及此時(shí)橢圓的方程．9.如圖,設(shè)拋物線〔的焦點(diǎn)為,拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于．〔1求的值；〔2若直線交拋物線于另一點(diǎn),過與軸平行的直線和過與垂直的直線交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)．求的橫坐標(biāo)的取值范圍．10.已知點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為．〔1求橢圓的方程；〔2若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),以為底作等腰三角形,頂點(diǎn)為,求的面積．11.已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn)．〔1求橢圓的方程；〔2若,是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且使的角平分線總垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值；若不是,說(shuō)明理由．12.已知橢圓：的離心率為．其右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的距離為,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)．〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)是中點(diǎn),且點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),求直線的方程．13.設(shè),分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),是上一點(diǎn)且與軸垂直．直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．〔1若直線的斜率為,求的離心率；〔2若直線在軸上的截距為,且,求,．14.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線與動(dòng)直線的交點(diǎn)為,線段的中垂線與動(dòng)直線的交點(diǎn)為．〔1求點(diǎn)的軌跡的方程；〔2過動(dòng)點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,求證：的大小為定值．15.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為．〔1求該雙曲線的方程；〔2若直線：與雙曲線左支有兩個(gè)不同的交點(diǎn),,求的取值范圍．16.己知橢圓與拋物線共焦點(diǎn),拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于,且橢圓與拋物線的交點(diǎn)滿足．〔1求拋物線的方程和橢圓的方程；〔2過拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的取值范圍．17.已知右焦點(diǎn)為的橢圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)．〔1求橢圓的方程；〔2過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱原點(diǎn)為,證明：直線與軸的交點(diǎn)為．18.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),以軸為對(duì)稱軸,且經(jīng)過點(diǎn)．〔1求拋物線的方程；〔2設(shè)點(diǎn),在拋物線上,直線,分別與軸交于點(diǎn),,．求直線的斜率．19.已知拋物線與直線相切．〔1求該拋物線的方程；〔2在軸正半軸上,是否存在某個(gè)確定的點(diǎn),過該點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于,兩點(diǎn),使得為定值．如果存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．20.左、右焦點(diǎn)分別為,的橢圓經(jīng)過點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),的重心為,內(nèi)心為,．〔1求橢圓的方程；〔2為直線上一點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的兩條切線,,,為切點(diǎn),問直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由．21.已知拋物線,為其焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,交直線于點(diǎn),如圖所示．〔1求點(diǎn)的軌跡的方程；〔2直線是拋物線的不與軸重合的切線,切點(diǎn)為,與直線交于點(diǎn),求證：以線段為直徑的圓過點(diǎn)．22.已知橢圓,其短軸為,離心率為．〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作斜率不為的直線交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)直線和的斜率為,,試判斷是否為定值,若是定值,求出該定值；若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由．23.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),過作直線交拋物線于,兩點(diǎn),且．〔1求直線的斜率；〔2若的面積為,求拋物線的方程．24.過雙曲線的右支上的一點(diǎn)作一直線與兩漸近線交于,兩點(diǎn),其中是的中點(diǎn)；〔1求雙曲線的漸近線方程；〔2當(dāng)坐標(biāo)為時(shí),求直線的方程；〔3求證：是一個(gè)定值．25.如圖,線段經(jīng)過軸正半軸上一定點(diǎn),端點(diǎn),到軸的距離之積為,以軸為對(duì)稱軸,過,,三點(diǎn)作拋物線．〔1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2已知點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn),過作傾斜角互補(bǔ)的兩直線,,分別交拋物線于,,求證：直線的斜率為定值,并求出這個(gè)定值．26.如圖,已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是,,離心率為．設(shè)點(diǎn),連接交橢圓于點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)是．〔1證明：；〔2若三角形的面積不大于四邊形的面積,求的最小值．27.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過的直線交于,兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)．,的延長(zhǎng)線與直線分別交于,兩點(diǎn)．〔1求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；〔2連接,求與的面積比．28.已知拋物線過點(diǎn)．過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線,交于點(diǎn),,其中為原點(diǎn)．〔1求拋物線的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；〔2求證：為線段的中點(diǎn)．29.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為．點(diǎn)在橢圓上,且位于第一象限,過點(diǎn)作直線的垂線,過點(diǎn)作直線的垂線．〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2若直線,的交點(diǎn)在橢圓上,求點(diǎn)的坐標(biāo)．30.如圖：中,,,,曲線過點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng),且保持的值不變．〔1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2過點(diǎn)且傾斜角為的直線交曲線于,兩點(diǎn),求的長(zhǎng)度．35.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)；拋物線的焦點(diǎn)在軸上,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．在,上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表格中：〔1求,的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2已知定點(diǎn),為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于,兩點(diǎn),求面積的最大值．36.已知點(diǎn)為橢圓：的左焦點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)直線與軸交于,過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍．圓錐曲線32題答案1.〔1由題設(shè)知：,即．將點(diǎn)代入橢圓方程得,解得．所以,故橢圓方程為．

〔2由〔知,,所以,所以所在直線方程為,由得,設(shè),,則,,所以所以2.〔1因?yàn)闄E圓的離心率為,所以．解得,故橢圓的方程可設(shè)為,則橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：．設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,,由消去,得,解得,．因?yàn)?解得．故橢圓的方程為．

〔2①當(dāng)切線的斜率存在且不為時(shí),設(shè)的方程為,聯(lián)立直線和橢圓的方程,得消去并整理,得．因?yàn)橹本€和橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn),所以．化簡(jiǎn)并整理,得．因?yàn)橹本€與垂直,所以直線的方程為．聯(lián)立方程組解得所以把代入上式得②當(dāng)切線的斜率為時(shí),此時(shí)或,符合式．③當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),此時(shí)或符合式．綜上所述,點(diǎn)的軌跡方程為．3.〔1由題意得解得,．所以的方程為．

〔2設(shè)直線〔,,,,．將代入,得．故,．于是直線的斜率,即．所以直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．4.〔1因?yàn)?且通過原點(diǎn),所以所在直線的方程為．由得,兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是,．所以．又因?yàn)檫吷系母叩扔谠c(diǎn)到直線的距離．所以,．

〔2設(shè)所在直線的方程為,由得．因?yàn)?兩點(diǎn)在橢圓上,所以,即．設(shè),兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,則,,且,．所以又因?yàn)榈拈L(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離,即．所以．當(dāng)時(shí),邊最長(zhǎng)．〔顯然．所以,所在直線的方程為．5.〔1由題意,知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)橢圓方程為,由題意,知,,又,則,所以橢圓方程為．

〔2設(shè),,由題意,知直線的斜率存在,設(shè)其方程為,與橢圓方程聯(lián)立,即消去,得,,由根與系數(shù)的關(guān)系,知又,即有,所以．則,所以．整理,得,又時(shí)等式不成立,所以,得,此時(shí)．所以的取值范圍為．6.〔1拋物線的準(zhǔn)線為,于是,所以,所以拋物線方程為．

〔2由〔1知點(diǎn)的坐標(biāo)是,由題意得,．又因?yàn)?所以．因?yàn)?所以,所以的方程為的方程為由聯(lián)立得,,所以的坐標(biāo)為．7.〔1設(shè)圓心的坐標(biāo)為,由題意,知圓心到定點(diǎn)和直線的距離相等,故圓心的軌跡的方程為．

〔2由方程組消去,并整理得．設(shè),,則,．設(shè)直線與軸交于點(diǎn),則．所以因?yàn)?所以,解得．經(jīng)檢驗(yàn),均符合題意,所以．8.〔1因?yàn)?所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為由得則,則,解得．

〔2設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,由得,得,則．由得,解得,代入上式得：,則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí),又,則,解得．所以,面積的最大值為,此時(shí)橢圓的方程為．9.〔1由題意可得,拋物線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離,由拋物線的定義,即．

〔2由〔1得,拋物線方程為,,可設(shè),,．因?yàn)椴淮怪庇谳S,可設(shè)直線：,由消去得,故,所以．又直線的斜率為,故直線的斜為．從而得直線：,直線：．所以．設(shè),由,,三點(diǎn)共線得,于是．所以或．經(jīng)檢驗(yàn),或滿足題意．綜上,點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．10.〔1因?yàn)?所以．又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,所以橢圓的方程為．

〔2設(shè)直線的方程為．由得,設(shè),的坐標(biāo)分別為,,的中點(diǎn)為,則,．因?yàn)槭堑妊牡走?所以．所以的斜率,解得．此時(shí)方程為,解得,,所以,,所以．此時(shí),點(diǎn)到直線的距離,所以的面積．11.〔1因?yàn)闄E圓的離心率為,且過點(diǎn),所以,．因?yàn)?解得,,所以橢圓的方程為．

〔2法1：因?yàn)榈慕瞧椒志€總垂直于軸,所以與所在直線關(guān)于直線對(duì)稱．設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為．所以直線的方程為,直線的方程為．設(shè)點(diǎn),,由消去,得因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以是方程的一個(gè)根,則．所以．同理．所以．又．所以直線的斜率為．所以直線的斜率為定值,該值為．法2：設(shè)點(diǎn),,則直線的斜率,直線的斜率．因?yàn)榈慕瞧椒志€總垂直于軸,所以與所在直線關(guān)于直線對(duì)稱．所以,即因?yàn)辄c(diǎn),在橢圓上,所以由得,得同理由得由得,化簡(jiǎn)得由得得．得,得．所以直線的斜率為為定值．法3：設(shè)直線的方程為,點(diǎn),,則,,直線的斜率,直線的斜率．因?yàn)榈慕瞧椒志€總垂直于軸,所以與所在直線關(guān)于直線對(duì)稱．所以,即,化簡(jiǎn)得．把,代入上式,并化簡(jiǎn)得由消去得則,,代入得,整理得,所以或．若,可得方程的一個(gè)根為,不合題意．若時(shí),合題意．所以直線的斜率為定值,該值為．12.〔1由題意可知：,又,,所以,,所以橢圓的方程為：．

〔2①若直線的斜率不存在,此時(shí)為原點(diǎn),滿足,所以,方程為．②若直線的斜率存在,設(shè)其方程為,,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得即,可得設(shè),則,,由可知,化簡(jiǎn)得,解得或,將結(jié)果代入驗(yàn)證,舍掉．此時(shí),直線的方程為．綜上所述,直線的方程為或．13.〔1根據(jù)及題設(shè)知,．將代入,解得或〔舍去．故的離心率為．

〔2由題意,得原點(diǎn)為的中點(diǎn),軸,所以直線與軸的交點(diǎn)是線段的中點(diǎn),故,即由得．設(shè),由題意知,則即代入的方程,得將及代入得．解得,,故,．14.〔1據(jù)題意,,所以為點(diǎn)到直線的距離,連接,因?yàn)闉榫€段的中垂線與直線的交點(diǎn),所以,所以點(diǎn)的軌跡是拋物線,焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為直線,所以曲線的方程為．

〔2據(jù)題意,,過點(diǎn)的切線斜率存在,設(shè)為,則切線方程為：,聯(lián)立拋物線方程可得,由直線和拋物線相切,可得,即因?yàn)?所以方程存在兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)為,,因?yàn)?,由方程可知,,所以切線,所以,結(jié)論得證．15.〔1由題意設(shè)雙曲線方程為．由已知得,,再由,得．故雙曲線的方程為．

〔2設(shè),,將代入,得．由題意知解得．所以的取值范圍為．16.〔1因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到軸的距離等于,所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,得是拋物線的準(zhǔn)線,即,解得,所以拋物線的方程為；可知橢圓的右焦點(diǎn),左焦點(diǎn),由,得,又,解得,由橢圓的定義得,所以,又,得,所以橢圓的方程為．

〔2顯然,,由消去,得,由題意知,得,由消去,得,其中,化簡(jiǎn)得,又,得,解得,設(shè),,則,由,得,所以的取值范圍是．17.〔1由題意可得：,又,解得．所以橢圓的方程為：．

〔2設(shè)直線的方程為：,代入橢圓方程可得：,由,解得．設(shè),,,所以,,則直線的方程為：,令,可得所以直線與軸的交點(diǎn)為．18.〔1依題意,設(shè)拋物線的方程為．由拋物線且經(jīng)過點(diǎn),得,所以拋物線的方程為．

〔2因?yàn)?所以,所以,所以直線與的傾斜角互補(bǔ),所以．依題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為：,將其代入拋物線的方程,整理得．設(shè),則,,所以．以替換點(diǎn)坐標(biāo)中的,得．所以．所以直線的斜率為．19.〔1聯(lián)立方程有,有,由于直線與拋物線相切,得,所以,所以．

〔2假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),直線,有,設(shè),,有,,,,,當(dāng),滿足時(shí),為定值,所以．20.〔1因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在軸上,且過點(diǎn),所以．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的重心的坐標(biāo)為,因?yàn)?所以．由面積可得,即,則解得,,即所求的橢圓方程為則橢圓方程為．

〔2設(shè),,,則切線,的方程分別為,．因?yàn)辄c(diǎn)在兩條切線上,所以,．故直線的方程為．又因?yàn)辄c(diǎn)為直線上,所以,即直線的方程可化為,整理得,由解得因此,直線過定點(diǎn)．21.〔1由題意可得：直線的斜率存在,設(shè)方程為：,設(shè),,動(dòng)點(diǎn),由可得．可得．；；由可得,即點(diǎn)的軌跡方程為．

〔2設(shè)直線的方程為：〔且,由可得,可得,因?yàn)橹本€與拋物線相切,所以,可得,可得,又由可得,可得,所以以線段為直徑的圓過點(diǎn)．22.〔1由題意可知：,,橢圓的離心率,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：．

〔2設(shè)直線的方程為．消去整理得：．設(shè),,則,,所以為定值．23.〔1過,兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,易知,,因?yàn)?所以,所以為的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),所以是的中位線,所以,而,所以,所以,,所以,而,所以；

〔2因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),是的中點(diǎn),所以,所以,所以,所以拋物線的方程為．24.〔1雙曲線的,,可得雙曲線的漸近線方程為,即為．

〔2令可得,解得,〔負(fù)的舍去,設(shè),,由為的中點(diǎn),可得,,解得,,即有,可得的斜率為,則直線的方程為,即為．

〔3設(shè),即有,設(shè),,由為的中點(diǎn),可得,,解得,,則為定值．25.〔1設(shè)所在直線的方程為,拋物線方程為,聯(lián)立兩方程消去得．設(shè),,則．由題意知,,且,所以,所求拋物線的方程為．

〔2由點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn),得．由題意知直線,的斜率均存在,且不為,設(shè)直線的方程為,則直線的方程為．由得,因而．由得,因而．從而直線的斜率,為定值．26.〔1由題意可知：,,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：,設(shè)直線的方程,則整理得：,解得：,,則點(diǎn)坐標(biāo),故直線的斜率,直線的斜率,所以,所以；

〔2由〔Ⅰ可知：四邊形的面積,則三角形,,由,整理得：,則,所以,的最小值．27.〔1設(shè),,由題知拋物線焦點(diǎn)為,設(shè)焦點(diǎn)弦方程為,代入拋物線方程得,有,解之得,由韋達(dá)定理：,所以中點(diǎn)橫坐標(biāo)：,代入直線方程,中點(diǎn)縱坐標(biāo)：．即中點(diǎn)為,消參數(shù),得其方程為：,當(dāng)線段的斜率不存在時(shí),線段中點(diǎn)為焦點(diǎn),滿足此式,故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：．

〔2設(shè),代入,得,,,聯(lián)立,得,同理,,所以,又因?yàn)?故與的面積比為．28.〔1因?yàn)檫^點(diǎn),所以,解得,所以拋物線方程為,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線為．

〔2設(shè)過點(diǎn)的直線方程為,,,所以直線為,直線為：,由題意知,,由可得,所以,,所以,所以為線段