2021北京初三（上）期中數(shù)學匯編：弧、弦、圓心角

2021北京初三（上）期中數(shù)學匯編

弧、弦、圓心角

一、單選題

1.（2021?北京鐵路二中九年級期中）如圖，在5x5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點，那么弧AC所對

的圓心角的大小是（）

2.（2021?北京市月壇中學九年級期中）如圖，已知AB是。O的直徑，BC=CD=DE,ZBOC=40°,那么NAOE

二、填空題

3.（2021?北京?人大附中九年級期中）如圖，在。O中，弧AB=MBC=MCD,連接AC,CD,則

AC2CD（填“>”、"V”或“=”）

4.（2021?北京?人大附中九年級期中）如圖，在。O中，若AB=BC=CD，則AC與2CD的大小關(guān)系是:

AC_2CD.（填"V”或“=”）

5.（2021?北京市第五十六中學九年級期中）如圖，已知A,B,C,D是。。上的點，Z1=Z2,①=②

BD=AC；③AC=BD：?ZBOD=ZAOC.則上面結(jié)論中正確的有.

I)

6.（2021?北京四中九年級期中）京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風格更加簡約.如圖，摩天

輪直徑88米，最高點A距離地面100米，勻速運行一圈的時間是18分鐘.由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地

面的距離超過34米時，可視為最佳觀賞位置，在運行的一圈里最佳觀賞時長為分鐘.

7.（2021.北京八十中九年級期中）如圖，AB是OO的直徑，弦MN〃AB,分別過M、N作AB的垂線，垂足為

C、D,以下結(jié)論

①AC=BD；

②AM=BN；

③若四邊形MCDN是正方形，則MN=3AB；

④若M為弧AN的中點，則D為OB中點.

所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題

8.（2021?北京市月壇中學九年級期中）已知，如圖，A、B、C、D是。O上的點，ZAOB=ZCOD,求證：AC=

BD

9.（2021?北京?人大附中九年級期中）如圖，A、B是。O上的兩點，C是弧AB中點.求證：NA=NB.

10.（2021?北京市第五十四中學九年級期中）已知：如圖，AB是OO的直徑，CD是。O的弦，且ABJ_CD,垂

足為E.

（1）求證：BC=BD；

（2）若BC=15,AD=20,求AB和CD的長.

11.（2021.北京市第一五九中學九年級期中）下面是小董設(shè)計的“作已知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程.

己知：OO.

求作：。。的內(nèi)接正三角形.

作法：如圖，

①作直徑AB；

②以B為圓心，OB為半徑作弧，與。。交于C,D兩點;

③連接AC,AD,CD.

所以△ACD就是所求的三角形.

根據(jù)小董設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：在。O中，連接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

...△OBC為等邊三角形（）（填推理的依據(jù)）.

ZBOC=60°.

ZAOC=180°-ZBOC=120°.

同理/AOD=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=120°.

.,.AC=CD=AD（）（填推理的依據(jù)）.

...△ACD是等邊三角形.

12.（2021?北京育才學校九年級期中）如圖，在。O中，弦AB與弦CD相交于點E,且AB=CD.求證：CE=

BE.

13.（2021?北京十五中九年級期中）下面是小明設(shè)計的“作己知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程.

己知：OO.求作：。。的內(nèi)接正三角形.

作法：

如圖，①作直徑AB；

②以B為圓心，OB為半徑作弧，與。。交于C,D兩點；

③連接AC,AD,CD.所以△ACD就是所求的三角形.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

B

（2）完成下面的證明：

證明：在。。中，連接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.".△OBC為等邊三角形.

/.ZBOC=°,

...NAOC=

同理/AOD=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=I20°.

；.AC=CD=AD（）（填推理的依據(jù)）.

...△ACD是等邊三角形.

14.（2021?北京市第四十三中學九年級期中）如圖，AB是圓。的直徑，弦CDJ_AB于點E,點M在。O上，MD

恰好經(jīng)過圓心O,連接MB.

（1）若CD=16,BE=4,求。O的直徑；

（2）若NM=/D,求/D的度數(shù).

15.（2021?北京市三帆中學九年級期中）在NMON的兩邊OM,ON上分別取點H,I,作弧HI（可以是優(yōu)弧，也

可以是劣?。?若弧HI上所有點都在NMON內(nèi)部或邊上，稱點H、I是/MON的內(nèi)嵌點，弧HI所在圓的半徑為

/MON的“角半徑”，記為R/MQV.例如，下圖1、圖2、圖3中的H、I都是/MON的內(nèi)嵌點.己知NMON=60。，

H、1是NMON的內(nèi)嵌點時，

(1)當OH=OI=2時，R/M次的最小值是；

(2)當0H=2,弧HI是半圓時，求線段01長度的取值范圍；

(3)當0HW0I,R/MON=3,及〃,=2萬時，求線段01長度的范圍.

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB,BC的垂直平分線即可得到圓心，進而解答即可.

【詳解】

解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，

它們都經(jīng)過Q,所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心.

連接AQ,CQ,

AP=QN

在4APQ與4CQN中，ZAPQ=ZQNC,

PQ=CN

/.△APQ^ACQN(SAS),

.?.NAQP=/CQN,NPAQ=NCQN

ZAQP+ZPAQ=90°,

.".ZAQP+ZCQN=90°,

ZAQC=90°,

即弧AC所對的圓心角是90°,

故選：D.

【點睛】

本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心.這也是常用來確定圓心的方法.

2.C

【分析】

根據(jù)弦、弧以及圓心角的關(guān)系可得，ZBOC=ZCOD=ZEOD=40°,即可求解.

【詳解】

解：YAB是。O的直徑，

4408=180°,

又；BC=CD=DE,/BOC=40°,

NBOC=/COD=ZEOD=40°,

ZAOE=ZAOB-3NBOC=60°,

故選：C.

【點睛】

此題考查了弦、弧以及圓心角的關(guān)系，在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，弧相等，解題的關(guān)鍵是掌握

弦、弧以及圓心角的關(guān)系.

3.<

【分析】

連接AB、BC,根據(jù)題意得AB=BC=CD,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解.

【詳解】

解：如圖，連接AB、BC,

?.?弧AB=MBC=MCD,

，AB=BC=CD,

,/AC<AB+BC,

AC<2CD.

故答案為：<

【點睛】

本題主要考查了圓的弧、弦，的關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握同圓內(nèi)，等弧所對的弦相等是解題的關(guān)鍵.

4.<

【分析】

如圖，連接AB、BC,根據(jù)題意知，AB=BC=CD,又由三角形三邊關(guān)系得到AB+BOAC得到：AC<2CD.

【詳解】

解：如圖，連接AB、BC,

'-'AB=BC=CD

AB=BC=CD,

在△ABC中，AB+BOAC.

AAC<2CD.

故答案是：<.

【點睛】

本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用三角形三邊關(guān)系得到AB+BOAC.

5.①②③④

【分析】

根據(jù)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系解答即可.

【詳解】

解：VZ1=Z2,

AB=CD，故①正確；

VZ1=Z2,

Zl+NCOB=Z2+/COB,即/BOD=ZAOC,

???BD=AC<BD=AC,故②③正確；

由上證得N80D=ZA0C,故④正確.

故答案為：①②③④

【點睛】

本題考查了弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等.

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等.

6.12

【分析】

先計算出圓的底端距離地面的距離為12,從而得到圓的底部到弦的距離為22,從而計算出弦所對的圓心角，用弧

長公式計算劣弧的長，周長減去劣弧的長得到最佳觀賞路徑長，除以運動速度即可.

【詳解】

如圖所示，根據(jù)題意，得OC=44,CD=AD-AC=100-88=12,ED=34,

CE=ED-CD=34-12=22,

OE=OC-CE=44-22=22,

在直角三角形OEF中，sinNOFE=g§=§=（，

OF442

I.ZOFE=30°,

JZFOE=60°,

.?.ZFOB=120°,

240"4TTR

FAB=

180丁

???圓轉(zhuǎn)動的速度為B=

1o9

最佳觀賞時長為竿+噂=12(分鐘)，

故答案為：12.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，弧長公式，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握弧長公式，靈活運用特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

7.①②④

【分析】

先證明四邊形CMND是矩形，再證明RSOMC絲RSOND(HL),可得結(jié)論①②正確，證明AB=^MN,可得

③錯誤；證明AOBN是等邊三角形，可得④正確，從而可得答案.

【詳解】

解：連接OM、ON,AM如圖，VMCIAB,ND1AB,

.,,ZOCM=ZODN=90°,

'：MN//AB,

AZCMN+ZMCD=180°,

.*.ZCMN=90°,

四邊形CMND是矩形，

在Rt^OMC和RtAOND中，=

(CM=DN

/.RtAOMC^RtAOND(HL),

AOC=OD,ZCOM=ZDON,

癡=BN，

AM=BN,故②正確，

VOA=OB,OC=OD,.\AC=BD,故①正確，

當四邊形MCDN是正方形時，CM=Q=20C,

-,-OM^>j0C2+CM\

，

..0M=>/50C,

AB=2OM=2750C=5/5MN,

\MN=—AB,故③錯誤，

5

若M是AN的中點，連接BN,而A"=BN,

ZAOM=ZMON=ZBON=60°,

VON=OB,

...△ONB是等邊三角形，

VND1OB,.,.OD=DB.故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方

形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系；掌握“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，

那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等”是解題的關(guān)鍵.

8.見解析

【分析】

根據(jù)角之間的關(guān)系，得到=再根據(jù)弦與圓心角的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

證：VZAOB=ZCOD

,ZAOC=ZAOB+ZBOC=ZCOD+NBOC=ZBOD

：.AC=BD

【點睛】

此題考查了弦、弧以及圓心角的關(guān)系，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧、弦相等，解題的關(guān)鍵是掌握它們

之間的關(guān)系.

9.見解析

【分析】

連接OC,通過證明ZXAOC名△BOC(S4S)即可得結(jié)論.

【詳解】

證明：如圖，連接0C,

是AB的中點，

AC=BC，

.-.ZAOC=ZBOC,

在△AOC和ABOC中，

OA=OB

"ZAOC=ZBOC,

oc=oc

.??AAOC三AB0C(S4S),

,-.ZA=ZB.

【點睛】

本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)解

決問題，屬于中考?？碱}型.

10.(1)證明見解析；(2)AB=25,CD=24

【詳解】

試題分析：(1)由于AB為直徑且AB_LCD,由此可知B點將CO平分，所以BC=BQ，由此推出=

(1)；AB為。。的直徑，AB1CD,

?,BC=BD，

：.BC=BD

(2)TAB為。O的直徑，

???ZADB=90°,

AB=4Ab2+BD。=7202+152=25，

'：-xABxDE=-xADxBD,

22

A-x25xDE=-x20xl5,

22

ADE=12.

；AB為0O的直徑，AB1CD,

，CD=2DE=2X12=24

考點：直徑垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的計算

點評：本題難度不大，需要記住的是圓的直徑和直角三角形的關(guān)系

11.(1)詳見解析；(2)三條邊都相等的三角形是等邊三角形.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等.

【分析】

(1)根據(jù)步驟作圖即可；

(2)根據(jù)等邊三角形的判定，弧弦圓心角關(guān)系定理即可解決問題.

【詳解】

解：⑴

A

(2)三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等.

【點睛】

本題考查等邊三角形的判定，弧弦圓心角的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

12.見解析

【分析】

根據(jù)AB=CD得至UAB=CZ)，推出AC=B￡)，得至l|NC=NB,由此得到結(jié)論.

【詳解】

證明：VAB=CD,

AB=CD，

二AB-CB=CD-CB,

即AC=BD>

：.NC=NB,

；.CE=BE.

【點睛】

此題考查同圓中弦、弧的關(guān)系，圓周角的性質(zhì)，等角對等邊的判定，正確推導出AC=8。是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析；(2)60；120；同圓中，相等的圓心角所對的弦也相等

【分析】

(1)利用畫圓的方法作出C、D兩點，從而得到△ACD；

(2)在OO中，連接OC,OD,BC,BD,利用等邊三角形的判定方法得到△OBC為等邊三角形，則/BOC=

60°,接著分別計算出NCOD=NAOC=NAOD=120。.然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AC=CD=AD,從而

判斷△ACD是等邊三角形.

【詳解】

(1)解：如圖，△ACD為所作；

(2)證明：在。O中，連接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.,.△OBC為等邊三角形.

ZBOC=60°.

NAOC=180°-NBOC=120°.

同理/AOD=120°,

NCOD=NAOC=ZAOD=120°.

/.AC=CD=AD(在同圓中，相等的圓心角所對的弦相等)，

.?.△ACD是等邊三角形.

故答案為：60；120；同圓中，相等的圓心角所對的弦也相等.

【點睛】

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本

作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作

圖，逐步操作.

14.(1)20；(2)30°

【分析】

(1)根據(jù)垂徑定理得到。E=；8=8,ZOED=90°,設(shè)圓的半徑為r,則OD=OB=r,OE=OB-OE=r-4,在△ODE

中利用勾股定理求解即可；

(2)由AB_LCD,AB過圓心O,得到BC=BD，由NM=ND,得到的C=ife,即可推出=冼=次)，貝I]

岷、BC、BO的度數(shù)是gxl80°=60°,則NO=；NMOC=30°.

【詳解】

解：(1)?.?弦CDJ_AB,

OE=■!■C￡>=8,ZOED=90°,

2

設(shè)圓的半徑為r,則OD=OB=r,OE=OB-OE=r-4,

/.即(r-"?+8'=/，

解得r=10,

.??圓的直徑=2r=20；

(2)連接OC,

VAB1CD,AB過圓心O,

?*-BC=BD，

VZM=ZD,

,?A^c=BD,

,?A^C=BC=*D，

1MD過O