2021春北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)歸納與課件練習(xí)：第二章 二次函數(shù)

二次函數(shù)同步練習(xí)1

一、選擇題

1.已知反比例函數(shù)y=與的圖象如圖，則二次函數(shù)y=2kx2-4x+l?的圖象大致為（

2.（3分）（2015?牡丹江）拋物線y=3x2+2x-1向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)解析式為（）.

A.y=3x2+2x-5B.y=3x2+2x-4

C.y=3x2+2x+3D.y=3x?+2x+4

3.“一般的，如果二次函數(shù)y=ax、bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程

w

ax?+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.一蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)（下冊(cè)）P2,參考上述教材中

的話，判斷方程X2-2X='-2實(shí)數(shù)根的情況是（）

x

A.有三個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根C.有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.無實(shí)數(shù)根

4.已知二次函數(shù)y=ax1+bx+c自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關(guān)系:

X245

y0.370.371

那么（。+"?一"/一4。。+-。-丫-4。。的值為（）

（A）24（B）20（C）10（D）4

5.對(duì)于二次函數(shù)y二（x-1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）

A、開口向下

B、對(duì)稱軸是x=-l

C、頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,2）

D、與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

6.（2015?天水）二次函數(shù)y=ax2+bx-1（aWO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,則a+b+1的值是（）

A.-3B.-1C.2D.3

7.將函數(shù)y=x?+6x+7進(jìn)行配方正確的結(jié)果應(yīng)為（）

2

ANy=（x+3）+2B>y=（x-3），+2

C、y=（x+3）2-2D、y=（x-3）-2

i

8.拋物線y=］（x—2）9-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,-3）B.（2,3）C.（—2,3）D.（-2,-3）

二、填空題

9.如圖，是二次函數(shù)y=ax?+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱軸為直線x=l,若其與x軸一交點(diǎn)

為A(3,0),則由圖象可知，不等式ax'bx+cCO的解集是.

10.已知函數(shù)y=-x2+以一0+1，當(dāng)OWxWl時(shí)的最大值是2,則實(shí)數(shù)a的值為.

42

11.將拋物線y=3x，向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式

為.

12.拋物線丁=/+人》+。經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，則這條拋物線的解析式

為.

13.已知點(diǎn)(m,n)在拋物線y=2/+1的圖象上，則4/一2〃+1=.

14.若把二次函數(shù)y=x、6x+2化為y=(x-h)2+k的形式，其中h,k為常數(shù)，則h+k=.

15.對(duì)于二次函數(shù)y=f-2小一3,有下列說法：

①如果當(dāng)x<l時(shí)y隨x的增大而減小，則m》l；

②如果它的圖象與x軸的兩交點(diǎn)的距離是4,則加=±1；

③如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后的函數(shù)的最小值是-4,則m=-l；

④如果當(dāng)x=l時(shí)的函數(shù)值與x=2013時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng)x=2014時(shí)的函數(shù)值為-3.

其中正確的說法是.

16.二次函數(shù)丁=犬2-2x+6的最小值是.

17.如果拋物線丫=(加一1)爐的開口向上，那么m的取值范圍是.

18.已知拋物線y=ax?+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是(-4,0),(2,0),則這條拋物線的對(duì)稱軸

是直線.

三、解答題

19.已知拋物線y=ax?+bx+3的對(duì)稱軸是直線x=l.

(1)求證：2a+b=0；

(2)若關(guān)于x的方程ax'bx-8=0的一個(gè)根為4,求方程的另一個(gè)根.

20.如圖，拋物線y=ax?+bx(aWO)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(3,3),BCJ_x軸于點(diǎn)C,連接

0B,等腰直角三角形DEF的斜邊EF在x軸上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-4,0),點(diǎn)F與原點(diǎn)重合

(1)求拋物線的解析式并直接寫出它的對(duì)稱軸；

(2)ADEF以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)D落在

BC邊上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)ADEF與aOBC的重疊部分的面積為S,求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)aABP時(shí)直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的

點(diǎn)P坐標(biāo).

Cx

管用圖

21.如圖，某足球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)0處練習(xí)射門，將足球從離地面0.5m的A處正對(duì)球門踢出

(點(diǎn)A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間滿足函數(shù)關(guān)

系y=at2+5t+c,已知足球飛行0.8s時(shí)，離地面的高度為3.5m.

y㈣小

A

~O

(1)足球飛行的時(shí)間是多少時(shí)，足球離地面最高？最大高度是多少？

(2)若足球飛行的水平距離x(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t,

已知球門的高度為2.44m,如果該運(yùn)動(dòng)員正對(duì)球門射門時(shí)，離球門的水平距離為28m,他能

否將球直接射入球門？

22.如圖，拋物線y=--x'+bx+c與直線y=-x+l交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫

22

坐標(biāo)是2.點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上，過點(diǎn)P分別作PC〃y軸、PD〃x軸，與直線AB

交于點(diǎn)C、D,以PC、PD為邊作矩形PCQD,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n).

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的坐標(biāo)是

(2)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量n的取值范圍)；

(4)請(qǐng)直接寫出矩形PCQD的周長(zhǎng)最大時(shí)n的值.

參考答案

1.D.

2.C.

3.C.

4.A

5.C.

6.D.

7.C.

8.A

9.-l<x<3.

10.—或—6.

3

11.y=3(x+2)2+3

12.y=x2-2x-3.

13.-1.

14.-10.

15.①②④.

16.5

17.m>1

18.x=-l.

19.(1)見解析；(2)x=-2

]in

20.(1)拋物線解析式是y=x2-2x,對(duì)稱軸是直線x=l；(2)S=—〃(0WtW3);S=■—產(chǎn)+3,-

442

111

(3VtW4)；S=-一產(chǎn)0+3,一一(4VtW5);(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,1)或(1,2)或(1,一)

223

或(1,—).

3

21.(1)當(dāng)上125時(shí)，y最大2=19二；(2)能將球直接射入球門

3228

22.(1)(-2,0)(2,2)；(2)y=--x2+-x+3；(3)m=-4n2+10n-2；(4)1.

22

二次函數(shù)同步練習(xí)2

一、選擇題

1.拋物線y=2%2-5x+6的對(duì)稱軸是（）

.5c55^5

Asx=-B、x=—C、x=---D、x=---

4242

2.拋物線y=axs+bx和直線y=ax+b在同一坐標(biāo)系的圖象可能是（）

3.便民商店經(jīng)營(yíng)一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤(rùn)y（元）與每件銷售價(jià)x（元）之

間的關(guān)系滿足y=-2（x-20）2+1558,由于某種原因，價(jià)格只能15WxW22,那么一周可獲得

最大利潤(rùn)是（）

A.20B.1508C.1550D.1558

4.下列四個(gè)函數(shù)圖象中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大的是（）

5.拋物線y=x?向下平移一個(gè)單位得到拋物線()

A.y=(x+1)2B.y=(x-1)2C.y=x2+lD.y=x2-1

6.已知二次函數(shù)y=ax，bx+c的圖像如圖，則下列結(jié)論：①ac>0②a-b+c=0③x<0時(shí),

y<0;@ax2+bx+c=0（aWO）有兩個(gè)不小于T的實(shí)數(shù)根。其中塔送的結(jié)論有（）

（A）①②（B）③④（C）①③（D）②④

7.二次函數(shù)丫=!!1/+*-2巾（m是非0常數(shù)）的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)

8.若二次函數(shù)y=x?-6x+c的圖象過A（T,yi）,B（2,y2）,C（3+母,ya）,則yi,

力的大小關(guān)系是（)

A.yi>y2>yaB.yi>y3>y2C.y2>yi>y3D.y3>yi>y2

9.x?+y=3,當(dāng)TWxW2時(shí)，y的最小值是（）

A.-1B.2C.—D.3

4

10.拋物線y=a（x-h）2+k向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=x?+l,則h、k

的值是（）

A.h=-2,k=-2B.h=2,k=4

C.h=l,k=4D.h=2,k=-2

二、填空題

11.將拋物線y=d先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式

為_________

12.如圖是二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a￥0)圖象的一部分，x=-l是對(duì)稱軸，有下列判斷:

3

①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3,y）,（萬，y2）是拋物線上兩

點(diǎn)，則乂>%，其中正確的序號(hào)是

13.已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(a,0),那么代數(shù)式a2-a+2014的值

為.

14.拋物線y=-X2+4X-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

22

15.已知A(-2,y。、B(0,y2)xC(1,y3)三點(diǎn)都在拋物線y=kx+2kx+k+k(k<0)的

圖象上，則外、y?、y?的大小關(guān)系是.

16.一小球被拋出后，距離地面的高度h(米)和飛行時(shí)間t(秒)滿足下面函數(shù)關(guān)系式：

h=-5(t-1)2+6,則小球距離地面的最大高度是.

17.設(shè)拋物線y=-x、2x+3的頂點(diǎn)為E,與y軸交于點(diǎn)C,EF_Lx軸于點(diǎn)，若點(diǎn)M(m,0)是x

軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足以MC為直徑的圓與線段EF有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是?

18.若二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a<0)的對(duì)稱軸為直線x=T,圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),有下列結(jié)

論：①abc<0；②2a-b=0；③a+b+c>0；@b2>5ac,則以上結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)

是。

三、計(jì)算題

19.如圖，已知拋物線yn-gf+Ar+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,8)、B(8,0)和點(diǎn)

E,動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)0開始沿0A方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BO方向

以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)0時(shí)，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動(dòng).

（1）直接寫出拋物線的解析式：;

（2）求4CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時(shí),Z\CED的面積最大？

最大面積是多少？

（3）當(dāng)4CED的面積最大時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使4PCD的面積等于

△CED的最大面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)1750元，每臺(tái)電

冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元,商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購

進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等.

（1）求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少？

（2）現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種家電共100臺(tái)，設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺(tái)，這100臺(tái)家電的銷

售總利潤(rùn)為y元，要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤(rùn)不低于13000元，請(qǐng)

分析合理的方案共有多少種？并確定獲利最大的方案以及最大利潤(rùn)；

（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k（0<k<100）元，若商店保持這兩種家電的

售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）問中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)家電銷售總利潤(rùn)最大的

進(jìn)貨方案.

21.某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷

售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=-2%+1（）（）.（利

潤(rùn)=售價(jià)-制造成本）

（1）寫出每月的利潤(rùn)z（萬元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得350萬元的利潤(rùn)？當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，

廠商每月能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

（3）根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不能高于32元，如果廠商要獲得每月不

低于350萬元的利潤(rùn)，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？

22.如圖，在矩形0ABC中，A0=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形0ABC的一邊BC,使點(diǎn)B落

在0A邊上的點(diǎn)E處.分別以0C,0A所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線

y=ax?+bx+c經(jīng)過0,D,C三點(diǎn).

(1)求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式；

(2)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C

出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與4ADE相似？

(3)點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使以M,N,C,

E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)(不寫求解過程);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

2

23.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=(m為常數(shù))的圖像與x軸交于A

(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C；以直線x=—l為對(duì)稱軸的拋物線y=a無2+bx+c1,b,c

為常數(shù)，且a>0)經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B.

(1)求一次函數(shù)及拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得APBC的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)D是線段0C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)0、點(diǎn)C重合)，過點(diǎn)D作DEIIPC交x軸于點(diǎn)E,

連接PD、PE。設(shè)CD的長(zhǎng)為m,APDE的面積為S。求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式。并說明S

是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值：若不存在，請(qǐng)說明理由。

517

24.如圖，拋物線y=-±x'Ux+l與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B,

44

過點(diǎn)B作BCLx軸，垂足為點(diǎn)C(3,0)

(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；(3分)

(2)動(dòng)點(diǎn)P在線段0C上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PNJ_x軸，

交直線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s

與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；(4分)

(3)設(shè)在(2)的條件下(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)0,點(diǎn)C重合的情況)，連接CM,BN,當(dāng)t為何

值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？

參考答案

1.A

2.A.

3.D.

4.C.

5.D

6.C

7.C.

8.B.

9.A.

10.B.

11.y=(x+2)2-3.

12.①③④

13.2015

14.(2,3)

15.yi=y2>y3

16.6米.

17.-2—.

4

18.2.

19.(1)y=--x2+3x+8；(2)5=--r2+5r,當(dāng)t=5時(shí)，S最大二—;(3)存在，P(—,

■2223

-剪)或P(8,。)或P士理).

939

20.(1)1600,2000；(2)有7種，當(dāng)購進(jìn)電冰箱34臺(tái)，空調(diào)66臺(tái)獲利最大，最大利潤(rùn)為

13300元；(3)當(dāng)50<k<100時(shí)，購進(jìn)電冰箱40臺(tái)，空調(diào)60臺(tái)銷售總利潤(rùn)最大；當(dāng)0<k

<50時(shí)，購進(jìn)電冰箱34臺(tái)，空調(diào)66臺(tái)銷售總利潤(rùn)最大.

21(1)z=-2X2+136X-1800；(2)銷售單價(jià)定為25元或43元，廠商每月能獲得350萬元

的利潤(rùn)；當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是512萬元；(3)每月最

低制造成本為648萬元.

t=竺或巴

22.(1)AD=3.y=-Zx2+四；(2)(3)存在，①M(fèi)i(-4,-32),Ni(4,-38)

33137

-26)③M3(4,邃)，N3(4,-驍).

②M2(12,-32),N2(4,

33

22c44

23.(1)y=—x—2,y=-x2+-x-2；(2)P(-1,一一)；(3)當(dāng)機(jī)=1時(shí)有最大

3333

=-A212(0Wt<3)；(3)當(dāng)t=l或2時(shí)，四邊形BCMN為平

24.(1)y=-x+l；(2)st+t

244

行四邊形.當(dāng)t二l時(shí)，四邊形BCMN為菱形，當(dāng)t=2時(shí)，四邊形BCMN不是菱形.理由略

二次函數(shù)

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.已知一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(1,-4),(2,-2)兩點(diǎn)，在自變量x的某個(gè)取值范圍內(nèi)，都

有函數(shù)值y隨x的增大而減小，則符合上述條件的函數(shù)可能是(D)

A.正比例函數(shù)B.一次函數(shù)

C.反比例函數(shù)D.二次函數(shù)

2.設(shè)二次函數(shù)yt=a(x—xt)(x—X2)(a^0,即不忿)的圖象與一次函數(shù)y2=^+e(d￥0)的

圖象交于點(diǎn)(X”0),若函數(shù)＞="+力的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，則(B)

A.a(X\—X2)=dB.。(初一X|)=d

C.n(xi—》2)~=dD.a(x]+》2)-=d

3.當(dāng)或時(shí)，代數(shù)式f—2x+3的值相等，則時(shí)，代數(shù)式』

—2x+3的值為3.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y=f-2x+2上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)A作ACLx

軸于點(diǎn)C,以AC為對(duì)角線作矩形ABC。，連結(jié)B。，則對(duì)角線BD的最小值為1.

5.對(duì)于兩個(gè)二次函數(shù)y”y2,滿足力+＞2=2^+2小x+8.當(dāng)x=相時(shí)，二次函數(shù)乃的

函數(shù)值為5,且二次函數(shù)”有最小值3.請(qǐng)寫出兩個(gè)符合題意的二次函數(shù)》的表達(dá)式I.?

+3,力=。+、月)2+3(要求:寫出的表達(dá)式的對(duì)稱軸不能相同).

6.拋物線y=27—4x+3繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得的拋物線的表達(dá)式是y=-29一原

—3.

7.如圖，以扇形OAB的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，半徑08所在的直線為x軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).若拋物線)，=52+人與扇形。48的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)k的取值范圍是一2＜人＜去

解：由圖可知，NAOB=45。,

/.直線OA的表達(dá)式為y=x,

v=x,

聯(lián)立＜消掉y,得

f-2x+2A=0,

Z=(-2)2_4X1X2Z=O,

即時(shí)，拋物線與0A有一個(gè)交點(diǎn)，

此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

?.?點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),

：.OA=OB=2,

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(姬，正)，

交點(diǎn)在線段OA上.

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)8(2,0)時(shí)，；X4+k=0,

解得左=一2,

二要使拋物線y=52+&與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)我的取值范圍是一2

<k<^-

8.某校在基地參加社會(huì)實(shí)踐話動(dòng)中，帶隊(duì)老師考問學(xué)生：基地計(jì)劃新建一個(gè)矩形的生

物園地，一邊靠舊墻(墻足夠長(zhǎng))，另外三邊用總長(zhǎng)69m的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一

邊留一個(gè)寬為3m的出入口，如圖所示，如何設(shè)計(jì)才能使園地的面積最大？下面是兩位學(xué)生

爭(zhēng)議的情境：

(第8題圖)

請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問題：

(1)設(shè)AB=x(m)(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)；

(2)請(qǐng)你判斷誰的說法正確，為什么？

解：(l)AB=x(m),可得BC=69+3—Zt=(72—2x)(m).

(2)小英說法正確，理由如下：

矩形面積S=x(72—2x)=—2(x—18)2+648,

V72-2x>0,

Ax<36,

.,.0<A<36,

,當(dāng)x=18時(shí)，S取最大值，

此時(shí)x#72—2r,

,面積最大的不是正方形.

9.在“母親節(jié)”前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛貧困母親”的活動(dòng)，他們購進(jìn)一

批單價(jià)為20元的“孝文化衫”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣，并將所得利潤(rùn)捐給貧困母親.經(jīng)試驗(yàn)

發(fā)現(xiàn)，若每件按24元的價(jià)格銷售時(shí)，每天能賣出36件；若每件按29元的價(jià)格銷售時(shí)，每

天能賣出21件.假定每天銷售件數(shù)y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)滿足一個(gè)以x為自變量的一次

函數(shù).

(1)求y與x滿足的函數(shù)表達(dá)式(不要求寫出x的取值范圍).

(2)在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，才能使每天獲得的

利潤(rùn)p最大？

解：(1)設(shè))，與x滿足的函數(shù)表達(dá)式為.由題意，得

[36=24%+〃，僅=-3,

,解得

[21=29%+。，匕=108.

故y與x滿足的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+108.

(2)每天獲得的利潤(rùn)為p=(—3x+108)(x-20)=-37+168x-2160=-3。-28)2+192.

故當(dāng)銷售價(jià)定為28元時(shí)，每天獲得的利澗最大.

拓展提高

10.某服裝店購進(jìn)單價(jià)為15元童裝若干件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為25元時(shí)

平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價(jià)每降低2元，平均每天能多售出4件，當(dāng)每件的定價(jià)為

22元時(shí),該服裝店平均每天的銷售利潤(rùn)最大.

31

11.如圖，已知直線丫=一市+3分別交x軸，y軸于點(diǎn)A,B,P是拋物線y=一+

2x+5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為”,過點(diǎn)P且平行于)，軸的直線交直線y=-%+3于點(diǎn)Q,

則當(dāng)PQ=B。時(shí)，a的值是一1,4,4+2、氏4一2、萬.

12.如圖，拋物線y=-f—2%+3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，

與)，軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)點(diǎn)"為線段A8上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A,B重合)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC

交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ//AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作軸于

點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)。左邊，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，求aAE團(tuán)的面積.

(3)在(2)的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連結(jié)。。.過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的

平行線，與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)尸的上方).若FG=2小DQ,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解：(1)由拋物線＞=一*2—2t+3可知點(diǎn)C(0,3),

令y=0,則0=—x2—2x+3,解得x=—3或x=l,

...點(diǎn)4-3,0),8(1,0).

(2)由拋物線y=—X2—2x+3=—(JC+1)2+4可知，對(duì)稱軸為直線x=—1,

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為嘰則PM=-"P-2m+3,歷N=(一，〃-1)義2=—2m一2,

二矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2(PM+MN)=2(一m2—2,"+3—2，"-2)=-2機(jī)2—8〃?+2=一

2(m+2)2+10,

二當(dāng)帆=一2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大.

:點(diǎn)4(-3,0),C(0,3),可求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3,當(dāng)工=一2時(shí)，y

=-2+3=1,則點(diǎn)E(—2,1),

AM=1,

.\S=^AM?EM=^.

(3)：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為一2,拋物線的對(duì)稱軸為x=-l,

.,.點(diǎn)N應(yīng)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，

：.DQ=DC,

把x=-1代入y=—W—2x+3,得y=4,

二點(diǎn)Q(-l,4).

:.DQ=DC=?

'：FG=2yf2DQ,

；.FG=4,

設(shè)點(diǎn)F(n,—n2-2"+3),

則點(diǎn)G(〃，”+3),

:點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，

(n+3)一(一n2-2〃+3)=4,

解得〃=—4或n=1.

二點(diǎn)尸(一4,一5)或(1,0).

(第13題圖)

13.如圖，拋物線y=a(x-l尸+c與x軸交于點(diǎn)A(1一小，0)和點(diǎn)8,將拋物線沿x軸

向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P(l,3)處.

(1)求原拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)(5)班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過點(diǎn)尸作x軸

的平行線交拋物線于C,。兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CQ以上的部分去掉，設(shè)計(jì)

成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W,"W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且

小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“w”圖案的高與寬(CC)的比非常接近黃金分割比嚀」(約等

于0.618).請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少(參考數(shù)據(jù)：小心2.236,垂七

2.449,結(jié)果可保留根號(hào)).

解：(1)：點(diǎn)P與點(diǎn)P(l,3)關(guān)于x軸對(duì)稱，

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-3).

設(shè)拋物線的表達(dá)式為)，=。。一11+3,?.?其過點(diǎn)A(1一小，0),

；.0=a(l一小—1)2—3,解得。=1.

二拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x—一3,即2%—2.

(2)；CO〃x軸，P'(1,3)在CO上，

：.C,。兩點(diǎn)縱坐標(biāo)均為3.

由（x—一3=3,解得xi=l一#,x2=l+y/6,

：,C,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1一,，3）,（1+^6,3）,

：.CD=2y/f>.

3

“W”圖案的高與寬(CD)的比=，(或約等于0.6124).

2乖一4

二次函數(shù)

二次函數(shù)及其圖像

二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可

以表示為y=ax、bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式y(tǒng)=ax，bx+c(a￥0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(b2-4ac)/4a)；

頂點(diǎn)式

y=a(x-h)?+k(a關(guān)0,a、h、k為常數(shù))或y=a(x-h)，+k(a#0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(h,k)對(duì)稱軸為x=h,頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax?的圖像相同，

有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式：

交點(diǎn)式

y=a(x-x.)(x-x2)［僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x,,0)和B(x2,0)的拋物線］;

重要概念：a,