四川省自貢市中考數(shù)學(xué)試卷及答案

2012年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）1．（3分）（2012?自貢）|﹣3|的倒數(shù)是（）A．﹣3B．C．3D．考點(diǎn)：倒數(shù)；絕對(duì)值。分析：先計(jì)算|﹣3|=3，再求|3的倒數(shù)，即可得出答案．解答：解：∵|﹣3|=3，∴|﹣3|的倒數(shù)是．故選：D．2．（3分）（2012?自貢）自貢市約330萬人口，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)為（）A．330×104B．33×105C．3.3×105D．3.3×106考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)。分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．解答：解：將330萬=3300000用科學(xué)記數(shù)法表示為：3.3×106．故選：D．3．（3分）（2012?自貢）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形。分析：根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱圖形，以及軸對(duì)稱圖形的定義即可判斷出．解答：解：A、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，此圖形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；D、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．（3分）（2012?自貢）下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：二次根式的加減法；二次根式的乘除法。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，可知2﹣x≥0；分母不等于0，可知：x﹣1≠0，則可以求出自變量x的取值范圍．解答：解：根據(jù)題意得：解得：x≤2且x≠1．14．（4分）（2012?自貢）如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長(zhǎng)是4π．考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；等邊三角形的性質(zhì)。分析：弧CD，弧DE，弧EF的圓心角都是120度，半徑分別是1，2，3，利用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式可以求得三條弧長(zhǎng)，三條弧的和就是所求曲線的長(zhǎng)．解答：解：弧CD的長(zhǎng)是=，弧DE的長(zhǎng)是：=，弧EF的長(zhǎng)是：=2π，則曲線CDEF的長(zhǎng)是：++2π=4π．故答案是：4π．15．（4分）（2012?自貢）盒子里有3張分別寫有整式x+1，x+2，3的卡片，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩張，把卡片的整式分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是．考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法；分式的定義。分析：首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能組成分式的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能組成分式的有4種情況，∴能組成分式的概率是：=．故答案為：．16．（4分）（2012?自貢）某公路一側(cè)原有路燈106盞，相鄰兩盞燈的距離為36米，為節(jié)約用電，現(xiàn)計(jì)劃全部更換為新型節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?4米，則需更換新型節(jié)能燈71盞．考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：可設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞，根據(jù)等量關(guān)系：兩種安裝路燈方式的道路總長(zhǎng)相等，列出方程求解即可．解答：解：設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞，則54（x﹣1）=36×（106﹣1），54x=3834，x=71，則需更換的新型節(jié)能燈有71盞．故答案為：71．17．（4分）（2012?自貢）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為cm2．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)。分析：設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm，當(dāng)AM⊥MN時(shí)，利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值．解答：解：設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC，∴△ABM∽△MCN，則，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四邊形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴當(dāng)x=﹣=cm時(shí)，S四邊形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．18．（4分）（2012?自貢）若x是不等于1的實(shí)數(shù)，我們把稱為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是，﹣1的差倒數(shù)為，現(xiàn)已知，x2是x1的差倒數(shù)，x3是x2的差倒數(shù)，x4是x3的差倒數(shù)，…，依次類推，則x2012=．考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類；倒數(shù)。分析：分別求出x2、x3、x4、x5，…，尋找循環(huán)規(guī)律，再求x2012．解答：解：∵x1=﹣，∴x2==，x3==4，x4==﹣，∴差倒數(shù)為3個(gè)循環(huán)的數(shù)，∵2012=670×3+2，∴x2012=x2=，故答案為：．三、解答題（共4個(gè)題，每題8分，共32分）19．（8分）（2012?自貢）計(jì)算：2cos60°°．考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值。分析：首先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，去掉絕對(duì)值符號(hào)，把除法轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后合并同類二次根式即可求解．解答：解：原式=2×﹣2﹣（2﹣）?（3﹣）=1﹣2﹣（6﹣5+3）=﹣1﹣9+5=﹣8+5．20．（8分）（2006?寧夏）已知a=，求代數(shù)式的值．考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值；分母有理化。專題：計(jì)算題。分析：在計(jì)算時(shí)，首先要弄清楚運(yùn)算順序，先把括號(hào)里式子通分，再進(jìn)行分式的乘除．解答：解：原式=×=，當(dāng)a=時(shí)，原式==．21．（8分）（2012?自貢）畫出如圖所示立體圖的三視圖．考點(diǎn)：作圖-三視圖。分析：從正面看下面是一個(gè)橫著的長(zhǎng)方形，上面是一個(gè)豎著的長(zhǎng)方形；從左面看下面是一個(gè)橫著的長(zhǎng)方形，上面是一個(gè)三角形；從上面看是一個(gè)大正方形中右上一個(gè)小正方形．解答：解：如圖所示：22．（8分）（2012?自貢）我市某化工廠從2008年開始節(jié)能減排，控制二氧化硫的排放．圖③，圖④分別是該廠2008﹣2011年二氧化硫排放量（單位：噸）的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息回答下列問題．（1）該廠2008﹣2011年二氧化硫排放總量是100噸；這四年平均每年二氧化硫排放量是25噸．（2）把圖中折線圖補(bǔ)充完整．（3）2008年二氧化硫的排放量對(duì)應(yīng)扇形的圓心角是144度，2011年二氧化硫的排放量占這四年排放總量的百分比是10%．考點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖。分析：（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖折線統(tǒng)計(jì)圖可求出該廠2008﹣2011年二氧化硫的排放總量，然后分別求出這四年的排放量即可得出這四年平均每年二氧化硫排放量．（2）根據(jù)求出的四年的排放量可補(bǔ)全折線圖；（3）根據(jù)2008年二氧化硫的排放量和這四年的排放總量即可求出對(duì)應(yīng)扇形的圓心角以及求出2011年二氧化硫的排放量占這四年排放總量的百分比．解答：解：（1）∵該廠2009年二氧化硫的排放量20噸，占2008﹣2011年二氧化硫的排放總量的20%．∴該廠2008﹣2011年二氧化硫的排放總量是20÷20%=100（噸），∴2010年二氧化硫排放量是100×30%=30（噸），2011年二氧化硫排放量是100﹣40﹣20﹣30=10（噸），∴這四年二氧化硫排放量分別是40、20、30、10，∴這四年二氧化硫排放量的平均數(shù)為：100÷4=25（噸），故答案為：100、25．（2）正確補(bǔ)全折線圖（如圖所示），；（3）∵2008年二氧化硫的排放量是40噸，∴2008年二氧化硫的排放量對(duì)應(yīng)扇形的圓心角是360×=144°，∵2011年二氧化硫的排放量是10噸，∴2011年二氧化硫的排放量占這四年排放總量的百分比是×100%=10%．故答案為：144、10%．四、解答題（共2個(gè)題，每小題10分，共20分）23．（10分）（2010?鐵嶺）如圖，蘭蘭站在河岸上的G點(diǎn)，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來，此時(shí)，測(cè)得小船C的俯角是∠FDC=30°，若蘭蘭的眼睛與地面的距離是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直線，迎水坡的坡度i=4：3，坡長(zhǎng)AB=10米，求小船C到岸邊的距離CA的長(zhǎng)？（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題。分析：把AB和CD都整理為直角三角形的斜邊，利用坡度和勾股定理易得點(diǎn)B和點(diǎn)D到水面的距離，進(jìn)而利用俯角的正切值可求得CH長(zhǎng)度．CH﹣AE=EH即為AC長(zhǎng)度．解答：解：過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DG交CA于點(diǎn)H，得Rt△ABE和矩形BEHG．，∴BE=8，AE=6．∵DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5．又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7，∴CA≈9.45≈9.5（米）．答：CA的長(zhǎng)約是9.5米．24．（10分）（2012?自貢）暑期中，哥哥和弟弟二人分別編織28個(gè)中國(guó)結(jié)，已知弟弟單獨(dú)編織一周（7天）不能完成，而哥哥單獨(dú)編織不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多編2個(gè)．求：（1）哥哥和弟弟平均每天各編多少個(gè)中國(guó)結(jié)？（答案取整數(shù)）（2）若弟弟先工作2天，哥哥才開始工作，那么哥哥工作幾天，兩人所編中國(guó)結(jié)數(shù)量相同？考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：（1）設(shè)弟弟每天編x個(gè)中國(guó)結(jié)，根據(jù)弟弟單獨(dú)工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根據(jù)哥哥單獨(dú)工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式組進(jìn)行求解；（2）設(shè)哥哥工作m天，兩人所編中國(guó)結(jié)數(shù)量相同，結(jié)合（1）中求得的結(jié)果，列方程求解．解答：解：（1）設(shè)弟弟每天編x個(gè)中國(guó)結(jié)，則哥哥每天編（x+2）個(gè)中國(guó)結(jié)．依題意得：，解得：2＜x＜4．∵x取正整數(shù)，∴x=3；（2）設(shè)哥哥工作m天，兩人所編中國(guó)結(jié)數(shù)量相同，依題意得：3（m+2）=5m，解得：m=3．答：弟弟每天編3個(gè)中國(guó)結(jié)；若弟弟先工作2天，哥哥才開始工作，那么哥哥工作3天，兩人所編中國(guó)結(jié)數(shù)量相同．五、解答題（共2個(gè)題，每題12分，共24分）25．（12分）（2012?自貢）如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的長(zhǎng)；（2）若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理。分析：（1）首先根據(jù)切線的性質(zhì)判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函數(shù)的定義求得AP的長(zhǎng)度；（2）連接OC，OD、AC構(gòu)建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．解答：（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵AB=2，∠P=30°，∴AP===2，即AP=2；（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D為AP的中點(diǎn)，∴AD=CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；又∵AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直線CD是⊙O的切線．26．（12分）（2012?自貢）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最小）值．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。分析：（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大．解答：（1）證明：連接AC，如下圖所示，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD為等邊三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF，故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=4，由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則此時(shí)△CEF的面積就會(huì)最大．∴S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=．六、解答題（本題滿分14分）27．（14分）（2012?自貢）如圖，拋物線l交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3）．將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1．（1）求l1的解析式；（2）在l1的對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A1及C兩點(diǎn)的距離差最大，并說出理由；（3）平行于x軸的一條直線交拋物線l1于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）首先求出翻折變換后點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線l1的解析式；（2）如圖2所示，連接B1C并延長(zhǎng)，與對(duì)稱軸x=1交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系（三角形兩邊之差小于第三邊）可以證明此結(jié)論．為求點(diǎn)P的坐標(biāo)，首先需要求出直線B1C的解析式；（3）如圖3所示，所