2023年秋冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí)：26.4　解直角三角形的應(yīng)用

第頁26.4解直角三角形的應(yīng)用一、選擇題1．如圖32－K－1，在水平地面上，由點(diǎn)A測得旗桿BC頂點(diǎn)C的仰角為60°，點(diǎn)A到旗桿的距離AB＝12米，那么旗桿的高度為()圖32－K－1A．6eq\r(3)米B．6米C．12eq\r(3)米D．12米[2023·保定徐水模擬]某人沿斜坡坡度i＝1∶2的斜坡向上前進(jìn)了6米，那么他上升的高度為()A．3米B.eq\f(6\r(5),5)米C．2eq\r(3)米D.eq\f(12\r(5),5)米3．如圖32－K－2，長清區(qū)政府準(zhǔn)備在大學(xué)城修建一座高AB＝6m的過街天橋，天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為eq\f(1,3)，那么坡面AC的長度為()A．16mB．10mC．18mD．8m圖32－K－2圖32－K－3[2023·玉林]如圖32－K－3，一艘輪船在A處測得燈塔P位于其北偏東60°方向上，輪船沿正東方向航行30海里到達(dá)B處后，此時(shí)測得燈塔P位于其北偏東30°方向上，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是()A．15eq\r(3)海里B．30海里C．45海里D．30eq\r(3)海里[2023·河北模擬]某滑雪場舉辦冰雪嘉年華活動(dòng)，采用直升機(jī)航拍技術(shù)拍攝活動(dòng)盛況．如圖32－K－4，通過直升機(jī)的鏡頭C觀測到水平雪道一端A處的俯角為30°，另一端B處的俯角為45°.假設(shè)直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為300米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，那么雪道AB的長度為()A．300米B．150eq\r(2)米C．900米D．(300eq\r(3)＋300)米圖32－K－4圖32－K－56．如圖32－K－5，在某監(jiān)測點(diǎn)B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15°方向的A處，假設(shè)漁船沿北偏西75°的方向以40海里/時(shí)的速度航行，航行半小時(shí)后到達(dá)C處，在C處觀測到B在C的北偏東60°方向上，那么B，C之間的距離為()A．20海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(2)海里D．30海里二、填空題7．[2023·河北模擬]如圖32－K－6，在離地面高度為5米的A處引拉線固定電線桿，要使拉線與地面的夾角α＝37°，工作人員需買拉線的長度約為________(精確到1米)．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8)．圖32－K－6圖32－K－78．如圖32－K－7，為了測量樓的高度，自樓的頂部A看地面上的一點(diǎn)B，俯角為30°，地面上的這點(diǎn)與樓的水平距離BC為30m，那么樓的高度AC為________m(結(jié)果保存根號(hào))．9．[2023·唐山玉田縣一模]如圖32－K－8，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的平安性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，那么調(diào)整后樓梯AC長為________米．圖32－K－8圖32－K－910．[2023·大連]如圖32－K－9，一艘海輪位于燈塔P的北偏東60°方向，距離燈塔86海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，此時(shí)，B處與燈塔P的距離約為________海里．(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.7，eq\r(2)≈1.4)三、解答題11．[2023·宿遷]如圖32－K－10所示，飛機(jī)在一定高度上沿水平直線飛行，先在點(diǎn)A處測得正前方小島C的俯角為30°，面向小島方向繼續(xù)飛行10km到達(dá)B處，發(fā)現(xiàn)小島在其正前方，此時(shí)測得小島的俯角為45°，如果小島高度忽略不計(jì)，求飛機(jī)飛行的高度(結(jié)果保存根號(hào))．圖32－K－1012．某地的一座人行天橋如圖32－K－11所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1.為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶eq\r(3).(1)求新坡面的坡角α；(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要撤除？請說明理由.eq\a\vs4\al(鏈接聽課例3歸納總結(jié))圖32－K－1113背景材料：近年來由于世界各國大力開展海洋經(jīng)濟(jì)、加強(qiáng)海洋能力開發(fā)，海洋爭端也呈上升趨勢．為增強(qiáng)海洋執(zhí)法能力、維護(hù)海洋領(lǐng)土，近期我國多個(gè)部門聯(lián)合進(jìn)行護(hù)航、護(hù)漁演習(xí)．解決問題：(1)如圖32－K－12，我國漁船(C)在釣魚島海域正被某國不明船只襲擾，“中國海政310〞船(A)接到陸地指揮中心(B)的護(hù)漁命令時(shí)，漁船(C)位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國海政310〞船西南方向，“中國海政310〞船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，“中國海政310〞船的最大航速為20海里/小時(shí)．根據(jù)以上信息，請你求出“中國海政310〞船趕往漁船所在位置進(jìn)行護(hù)漁至少需要多長時(shí)間；(2)如果(1)中條件不變，此時(shí)位于“中國海政310〞船(A)南偏東30°海域有一只某國軍艦(O)，AO＝560eq\r(2)海里，其火力打擊范圍是500海里，如果漁船(C)沿著正南方向繼續(xù)航行，是否會(huì)駛進(jìn)這只軍艦的火力打擊范圍？圖32－K－121．C[解析]由于AB＝12米，仰角為60°，那么BC＝AB·tan60°＝12eq\r(3)(米)．應(yīng)選C.2．B3．C4．B5．D[解析]∵在Rt△ACD中，∠A＝30°，CD＝300米，∴AD＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\f(300,\f(\r(3),3))＝300eq\r(3)(米)．∵在Rt△BCD中，∠B＝45°，CD＝300米，∴BD＝CD＝300米，∴AB＝AD＋BD＝(300eq\r(3)＋300)米．應(yīng)選D.6．C[解析]如圖，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°.又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°.∴在Rt△ABC中，sin∠CBA＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(40×\f(1,2),BC)＝eq\f(\r(2),2)，∴BC＝20eq\r(2)海里．應(yīng)選C.7．8[解析]在Rt△ABC中，sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(5,sin37°)≈8(米)．8．10eq\r(3)[解析]∵自樓的頂部A看地面上的一點(diǎn)B，俯角為30°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝BC·tan30°＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)(m)，∴樓的高度AC為10eq\r(3)m.9．2eq\r(6)[解析]在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝4×sin60°＝2eq\r(3)(m)．在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(2\r(3),sin45°)＝2eq\r(6)(m)．故答案是2eq\r(6).10．102[解析]過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D.∵一艘海輪位于燈塔P的北偏東60°方向，距離燈塔86海里的A處，∴∠MPA＝∠PAD＝60°，∴PD＝AP·sin∠PAD＝86×eq\f(\r(3),2)＝43eq\r(3).∵∠BPD＝45°，∴∠B＝45°.在Rt△BDP中，由勾股定理，得BP＝eq\f(PD,sin∠B)＝eq\f(43\r(3),\f(\r(2),2))＝43eq\r(3)×eq\r(2)≈102(海里)．故答案為102.11．解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.設(shè)CD＝x，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(CD,tan∠CAD)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x.由AD＋BD＝AB可得eq\r(3)x＋x＝10，解得x＝5eq\r(3)－5.答：飛機(jī)飛行的高度為(5eq\r(3)－5)km.解：(1)∵tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝30°，∴新坡面的坡角α為30°.(2)文化墻PM不需要撤除．理由如下：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，那么∠CDB＝90°，CD＝6.∵坡面BC的坡度為CD∶BD＝1∶1，∴BD＝CD＝6.同理可得AD＝eq\r(3)CD＝6eq\r(3)，那么AB＝AD－BD＝6eq\r(3)－6，而PB＝8，∴PB－AB＝8－(6eq\r(3)－6)＝14－6eq\r(3)＝eq\r(196)－eq\r(108)＞0，∴文化墻PM不需要撤除．13解：(1)如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB＝eq\f(140\r(6),3)，∠B＝60°，sinB＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝AB·sin60°＝eq\f(140\r(6),3)×eq\f(\r(3),2)＝70eq\r(2)(海里)．在Rt△ADC中，AD＝70eq\r(2)，∠ACB＝45°，∴AC＝70eq\r(2)×eq\r(2)＝140(海里)，∴“中國海政310〞船趕往漁