圖形的相似經(jīng)典測試題附答案

圖形的相似經(jīng)典測試題附答案一、選擇題1．如圖，在矩形中，，在上取一點，沿將向上折疊，使點落在上的點，若四邊形與矩形相似，則的長為()A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】可設(shè)AD=x，由四邊形與矩形相似，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．【詳解】解：∵，設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1，

∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

∴，即，解得：，（不合題意，舍去）經(jīng)檢查，是原方程的解．∴．故選：D．【點睛】本題考察了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形與矩形相似得到比例式．2．如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn).若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為（）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．時大時小 D．保持不變【答案】D【解析】【分析】如圖，作輔助線；首先證明△BEO∽△OFA，，得到；設(shè)B為（a，），A為（b，），得到OE=-a，EB=，OF=b，AF=，進(jìn)而得到，此為處理問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用三角函數(shù)的定義證明知tan∠OAB=為定值，即可處理問題．【詳解】解：分別過B和A作BE⊥x軸于點E，AF⊥x軸于點F，則△BEO∽△OFA，∴，設(shè)點B為（a，），A為（b，），則OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根據(jù)勾股定理可得：OB=，OA=，∴tan∠OAB===∴∠OAB大小是一種定值，因此∠OAB的大小保持不變.故選D【點睛】該題重要考察了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特性、相似三角形的鑒定等知識點及其應(yīng)用問題；解題的措施是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的鑒定等知識點來分析、判斷、推理或解答．3．如圖，已知，，，的長為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【詳解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴，即，解得，CE=4，故選B．【點睛】本題考察的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，D是AB邊上一種動點（不與點A、B重疊），E是BC邊上一點，且∠CDE＝30°．設(shè)AD＝x，BE＝y(tǒng)，則下圖象中，能表達(dá)y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大體是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得出然后判斷△CDE∽△CBD，繼而運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得出y與x的關(guān)系式，結(jié)合選項即可得出答案．【詳解】解：∵∠A＝60°，AC＝2，∴在△ACD中，運(yùn)用余弦定理可得CD2＝AC2+AD2﹣2AC?ADcos∠A＝4+x2﹣2x，故可得,又∵∠CDE＝∠CBD＝30°，∠ECD＝∠DCB（同一種角），∴△CDE∽△CBD，即可得即故可得：即呈二次函數(shù)關(guān)系，且開口朝下．故選C．【點睛】考察解直角三角形，相似三角形的鑒定與性質(zhì)，掌握相似三角形的鑒定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.5．如圖，點E是的邊上一點，，連接，交邊于點，下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】解：∵在中，，，∴,∴,∵∴，選項A對的，選項D錯誤，∴，即：，∴，∴選項B對的，∴，即：，∴選項C對的，故選：D．【點睛】此題重要考察了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的鑒定與性質(zhì)，能純熟運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．6．如圖，□ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結(jié)論：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF?DF．其中對的的是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③【答案】B【解析】【分析】①對的．只要證明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再運(yùn)用三角形中位線定理即可判斷．②錯誤．想措施證明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判斷．③對的．設(shè)BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判斷．

④對的．求出BF，OF，DF（用a表達(dá)），通過計算證明即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，

∴∠DCB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DCB=120°，

∵EC平分∠DCB，

∴∠ECB=∠DCB=60°，∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，

∴△ECB是等邊三角形，

∴EB=BC，

∵AB=2BC，

∴EA=EB=EC，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC，EA=EB，∴OE∥BC，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

∴EO⊥AC，故①對的，

∵OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF，

∴，∴OF=OB，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②錯誤，設(shè)BC=BE=EC=a，則AB=2a，AC=a，OD=OB=a，∴BD=a，∴AC：BD=a：a=：7，故③對的，∵OF=OB=a，∴BF=a，∴BF2=a2，OF?DF=a?a2，∴BF2=OF?DF，故④對的，故選：B．【點睛】此題考察相似三角形的鑒定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識處理問題，學(xué)會運(yùn)用參數(shù)處理問題．7．如圖，點A在雙曲線y═（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，分別以點O和點A為圓心，不小于OA的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線DE交x軸于點C，交y軸于點F（0，2），連接AC．若AC=1，則k的值為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】分析：如圖，設(shè)OA交CF于K．運(yùn)用面積法求出OA的長，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出AB、OB即可處理問題；詳解：如圖，設(shè)OA交CF于K．由作圖可知，CF垂直平分線段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，CF=，∴AK=OK=，∴OA=，由△FOC∽△OBA，可得，∴，∴OB=，AB=，∴A（，），∴k=．故選B．點睛：本題考察作圖-復(fù)雜作圖，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特性，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識處理問題，屬于中考?？碱}型．8．如圖，點E是平行四邊形ABCD中BC的延長線上的一點，連接AE交CD于F，交BD于M，則圖中共有相似三角形(不含全等的三角形)()對．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC，AB//CD，根據(jù)相似三角形的鑒定措施進(jìn)行分析，即可得到圖中的相似三角形的對數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AB//CD，∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，∴△ADF∽△EBA，∴圖中共有相似三角形5對，故選：B．【點睛】本題考察平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的鑒定，平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；假如兩個三角形的兩個角分別對應(yīng)相等（或三個角分別對應(yīng)相等），那么這兩個三角形相似；純熟掌握相似三角形的鑒定定理是解題關(guān)鍵．9．假如兩個相似正五邊形的邊長比為1：10，則它們的面積比為（）A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：10【答案】C【解析】根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，由兩個相似正五邊形的相似比是1：10，可知它們的面積為1：100．故選：C．點睛：此題重要考察了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．10．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對折，使點C落在C′的位置，C′D交AB于點Q，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)折疊得到對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊二分之一，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，進(jìn)而求出∠C、∠B的度數(shù)，求出其他角的度數(shù)，可得AQ＝AC，將轉(zhuǎn)化為，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關(guān)系得出答案．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC，垂足為E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∴AD＝CD＝BD，由折疊得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：＝，∴＝＝＝＝．故選：A．【點睛】考察直角三角形的性質(zhì)，折疊軸對稱的性質(zhì)，以及等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)和鑒定等知識，合理的轉(zhuǎn)化是處理問題的關(guān)鍵．11．若△ABC的每條邊長增長各自的50%得△A'B'C'，若△ABC的面積為4，則△A'B'C'的面積是（）A．9 B．6 C．5 D．2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩個三角形三邊對應(yīng)成比例，這兩個三角形相似判斷出兩個三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC的每條邊長增長各自的50%得△A′B′C′，∴△ABC與△A′B′C′的三邊對應(yīng)成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴，∵△ABC的面積為4，則△A'B'C'的面積是9．故選：A．【點睛】本題考察了相似三角形的性質(zhì)和鑒定，純熟掌握相似三角形的鑒定是解題的關(guān)鍵．12．如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點，E、F分別為PB、PC的中點，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、、，若S=2，則+=（）.A．4 B．6 C．8 D．不能確定【答案】C【解析】試題分析：過P作PQ∥DC交BC于點Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，可得出四邊形PQCD與ABQP都為平行四邊形，因此△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，進(jìn)而確定出△PDC與△PCQ面積相等，△PQB與△ABP面積相等，再由EF為△BPC的中位線，運(yùn)用中位線定理得到EF∥BC，EF=BC，得出△PEF與△PBC相似，相似比為1：2，面積之比為1：4，因此=+=8.故選C．考點：平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．13．如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的鑒定措施一一判斷即可．【詳解】解：由于中有一種角是135°，選項中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：B．【點睛】本題考察相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想處理問題，屬于中考?？碱}型．14．如圖，點為的內(nèi)心，過點作交于點，交于點，若，，，則的長為（）A．3．5 B．4 C．5 D．5．5【答案】B【解析】【分析】連接EB、EC，如圖，運(yùn)用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠1=∠2，運(yùn)用平行線的性質(zhì)得∠2=∠3，因此∠1=∠3，則BM=ME，同理可得NC=NE，接著證明△AMN∽△ABC，因此，則BM=7-MN①，同理可得CN=5-MN②，把兩式相加得到MN的方程，然后解方程即可．【詳解】連接EB、EC，如圖，∵點E為△ABC的內(nèi)心，

∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，

∴∠1=∠2，∵M(jìn)N∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴BM=ME，

同理可得NC=NE，

∵M(jìn)N∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴，即，則BM=7-MN①，同理可得CN=5-MN②，①+②得MN=12-2MN，

∴MN=4．

故選：B．【點睛】此題考察三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的鑒定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．15．如圖，在中，，則的長為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先運(yùn)用相似三角形的相似比證明點D是AB的中點，再解直角三角形求得AB，最終運(yùn)用直角三角形斜邊中線性質(zhì)求出DF．【詳解】解：∵，∴，∵，∴點D是AB的中點，∵，，∴∠B＝30°，∴，∴DF=3，故選：D．【點睛】此題重要考察相似三角形的鑒定與性質(zhì)、解直角三角形和直角三角形斜邊中線性質(zhì)，純熟掌握性質(zhì)的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．16．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，△AOB的兩邊分別與函數(shù)的圖象交于B、A兩點，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】過點A,B作AC⊥x軸,BD⊥x軸,垂足分別為C,D.根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB.根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出＝＝運(yùn)用相似三角形面積比等于相似比的平方得出【詳解】∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠CAO＝90°，∠CAO＝∠BOD，∴△ACO∽△BDO，∴,∵S△AOC＝×2＝1，S△BOD＝×1＝，∴＝＝，∴，故選A．【點睛】此題考察了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特性和相似三角形的鑒定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于做輔助線，然后得到相似三角形再進(jìn)行求解17．如圖，中，，，點在反比例函數(shù)的圖象上，交反比例函數(shù)的圖象于點，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】過點A作AD⊥x軸，過點C作CE⊥x軸，過點B作BF⊥x軸，運(yùn)用AA定理和平行證得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義求得，從而求得，從而求得k的值．【詳解】解：過點A作AD⊥x軸，過點C作CE⊥x軸，過點B作BF⊥x軸∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°∵∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE∽△OBF∽△AOD又∵，∴，∴，∴∵點在反比例函數(shù)的圖象上∴∴∴，解得k=±8又∵反比例函數(shù)位于第二象限，∴k=-8故選：D．【點睛】本題考察反比例函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的鑒定和性質(zhì)，對的添加輔助線證明三角形相似，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．18．如圖，已知△ABC，D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中，不能確定△ADE∽△ACB的是（）A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°C．AD?BC＝AC?DE D．AD?AB＝AE?AC【答案】C【解析】【分析】A、根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)題意可得到∠ADE=∠C，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可；C、根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可；

D、根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；

C、由AD?BC=AC?DE，得不能判斷△ADE∽△ACB,必須兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.D、由AD?AB=AE?AC得，∠A=∠A，故能確定△ADE∽△ACB，故選：C．【點睛】本題考察了相似三角形的鑒定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似（