廣東省惠州市2024−2025學(xué)年高三第二次調(diào)研考試（期中） 數(shù)學(xué)試題含答案

廣東省惠州市2024?2025學(xué)年高三第二次調(diào)研考試（期中）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A．3 B．2 C． D．13．已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則（

）A．100 B．99 C．98 D．974．在正方體中，棱的中點(diǎn)分別為，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．已知向量滿(mǎn)足：，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知“水滴”的表面是一個(gè)由圓錐的側(cè)面和部分球面（常稱(chēng)為“球冠”）所圍成的幾何體.如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線(xiàn)段和優(yōu)弧所圍成的平面圖形，其中點(diǎn)所在直線(xiàn)與水平面平行，和與圓弧相切.已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線(xiàn)截軸截面所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最大值）的比值為，則（

）A． B． C． D．8．在統(tǒng)計(jì)某學(xué)校所有選擇理科和文科的學(xué)生數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)理科生多于文科生，女生多于男生，則關(guān)于本次學(xué)生樣本的數(shù)據(jù)中，結(jié)論一定成立的是（

）A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生二、多選題（本大題共3小題）9．某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線(xiàn)的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：.則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（

）A．極差是4B．眾數(shù)小于平均數(shù)C．方差是2D．?dāng)?shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為4.510．函數(shù)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．函數(shù)是奇函數(shù)D．11．如圖，心形曲線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)和均在上B．點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為C．的最大值與最小值之和為3D．三、填空題（本大題共3小題）12．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)和為.13．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為14．若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．16．如圖，四棱錐中，底面，.(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.17．已知雙曲線(xiàn)及直線(xiàn).(1)若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若與交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求實(shí)數(shù)的值.18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知且均為整數(shù).(1)求的值；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，求的余弦值.19．若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列an為項(xiàng)數(shù)列，由所有項(xiàng)0數(shù)列組成集合.(1)若an是12項(xiàng)0數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；(2)從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，記.①求隨機(jī)變量的分布列，并證明：；②若用某軟件產(chǎn)生項(xiàng)數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且.若，比較與的大小.

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)楹?，，所?故選：B.2．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C.3．【答案】C【詳解】試題分析：由已知，所以故選C.【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法.4．【答案】C【詳解】連接，在正方體中，平面，棱的中點(diǎn)為，則平面，而平面，故，則即為直線(xiàn)與平面所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，則，故，故選：C5．【答案】A【詳解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6．【答案】A【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.7．【答案】D【詳解】設(shè)優(yōu)弧所在圓的圓心為，半徑為，連接，如圖所示．易知“水滴”的“豎直高度”為，“水平寬度”為，由題意知，解得，因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以，在中，，又，所以，由對(duì)稱(chēng)性知，，則，所以，故選：D.8．【答案】C【詳解】根據(jù)已知條件設(shè)理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人；根據(jù)題意可知：，根據(jù)同向不等式可加的性質(zhì)有：，即，所以理科女生多于文科男生，故C正確，其他選項(xiàng)沒(méi)有足夠證據(jù)論證.故選：C.9．【答案】AD【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為：.A項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；B項(xiàng)，眾數(shù)為3，平均數(shù)為，所以眾數(shù)與平均數(shù)相等，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，方差為，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由，是整數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故D正確.故選：AD.10．【答案】ABD【詳解】由圖象可知：，則；又，故，又，所以，所以A項(xiàng)正確；，由五點(diǎn)作圖法可知：，解得：，所以B項(xiàng)正確；因此可得，則，設(shè)，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由，所以D項(xiàng)正確；故選：ABD.11．【答案】ABD【分析】點(diǎn)代入曲線(xiàn)判斷A，根據(jù)曲線(xiàn)分段得出函數(shù)取得最大值判斷B，應(yīng)用三角換元再結(jié)合三角恒等變換求最值判斷C，應(yīng)用三角換元結(jié)合橢圓的方程得出恒成立判斷D.【詳解】令，得出，則時(shí)，，得或，時(shí)，得，所以和均在L上，故A正確；因?yàn)榍€(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，所以，，即時(shí)，最大，最大值為，故B正確；，因?yàn)榍€(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，因?yàn)榭扇∪我饨?，所以取最小值，取最大值，即和為，故C錯(cuò)誤；等價(jià)為點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即滿(mǎn)足，即，整理得，即恒成立，故D正確.故選ABD.12．【答案】【詳解】令，則二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)和為.故答案為：13．【答案】【詳解】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線(xiàn)的離心率一般是通過(guò)已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來(lái)年需要注意橢圓的長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等.14．【答案】【詳解】設(shè)方程的實(shí)根為，則，所以，即.設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)在直線(xiàn)上.設(shè)點(diǎn)O0,0到直線(xiàn)的距離為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，則，又，由幾何意義可知，所以.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，由，解得，此時(shí)；由，解得，此時(shí).所以最小值為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）先確定切點(diǎn)，再求切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程；（2）分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋郧悬c(diǎn)坐標(biāo)為：，又，，即為所求切線(xiàn)的斜率，所以切線(xiàn)方程為：，化簡(jiǎn)得：；（2），（）由；由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的極小值為，也是最小值.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：已知底面，且底面，所以.由，可得又平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn).由，可得，又因?yàn)椋匀切问钦切?，?在中，，所以.可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得，由（1）可知，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)根，整理得.，解得且，雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.（2）解法一：設(shè)交點(diǎn)，由（1）知雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，則又到直線(xiàn)的距離，所以的面積，解得或，又因?yàn)榍遥曰?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.解法二：設(shè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，由（1）知雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，當(dāng)在雙曲線(xiàn)的一支上且時(shí)，；當(dāng)在雙曲線(xiàn)的兩支上且時(shí)，綜上，.由已知得，故，即所以，解得或，又因?yàn)榍遥曰?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則.由，則，故，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，由，可得.因?yàn)?，所以，則，所以.由，則，解得或（舍去），故，又為正整數(shù)，所以，所以，綜上，.（2）由（1）可知，，則，在中，由正弦定理，可得，又的中點(diǎn)為，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.19．【答案】(1)0(2)①分布列見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析；②【詳