數(shù)學(xué)（理科）攻略大一輪復(fù)習(xí)課標(biāo)版精練9-2直線圓的位置關(guān)系（試題部分）

直線、圓的位置關(guān)系探考情悟真題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1.直線與圓的位置關(guān)系(1)能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系,能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系;(2)能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題;(3)初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想2018課標(biāo)Ⅲ,6,5分直線與圓相離求范圍三角形面積公式★★☆2017課標(biāo)Ⅱ,9,5分直線與圓相交求離心率雙曲線的幾何性質(zhì)2016課標(biāo)Ⅲ,16,5分直線與圓相交求值解直角三角形2.圓與圓的位置關(guān)系2015課標(biāo)Ⅱ,7,5分直線與圓相交求弦長圓的方程分析解讀從近5年的高考情況來看,本節(jié)主要考查直線與圓的位置關(guān)系、弦長問題、切線問題等,一般為選擇題、填空題,難度中等,本節(jié)知識有時還與橢圓、雙曲線、拋物線交匯命題,在解題時要充分利用圓的幾何性質(zhì)簡化運算過程,認(rèn)真體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.通過本節(jié)的知識主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng).破考點練考向【考點集訓(xùn)】考點一直線與圓的位置關(guān)系1.(2019甘肅西北師大附中,5)已知集合M={(x,y)|x,y為實數(shù),且x2+y2=2},N={(x,y)|x,y為實數(shù),且x+y=2},則M∩N的元素個數(shù)為()答案B2.(2019江西上饒一模,6)直線axby=0與圓x2+y2ax+by=0的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定答案B3.(2020屆四川成都七中高三零診,15)若點P(1,1)為圓x2+y26x=0的弦MN的中點,則弦MN所在直線方程為.

答案y=2x1考點二圓與圓的位置關(guān)系1.(2019海南?？趯嶒炛袑W(xué)二模,8)已知圓O1的方程為x2+y2=1,圓O2的方程為(x+a)2+y2=4,如果這兩個圓有且只有一個公共點,那么a的所有取值構(gòu)成的集合是()A.{1,1,3,3} B.{5,5,3,3} C.{1,1} D.{3,3}答案A2.(2020屆江西南昌十中高二月考,4)圓x2+4x+y2=0與圓(x2)2+(y3)2=r2有三條公切線,則半徑r=()答案C煉技法提能力【方法集訓(xùn)】方法1與圓有關(guān)的切線問題的處理方法1.(2015山東,9,5分)一條光線從點(2,3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為()53或35 32或23 54或4答案D2.(2019廣西玉林高中4月月考,15)若過點(2,1)總可以作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k215=0相切,則實數(shù)k的取值范圍是.

答案-833.(2019河北張家口期末,15)經(jīng)過點P(4,1)作圓x2+y22y=0的切線,設(shè)兩個切點分別為A,B,則tan∠APB=.

答案19方法2與圓有關(guān)的弦長問題的處理方法1.(2019湖南五市十校高三聯(lián)考,6)兩圓x2+y2+4x4y=0和x2+y2+2x8=0相交于兩點M,N,則線段MN的長為()A.355 C.65答案D2.(2019豫西南五校3月聯(lián)考,7)已知圓C:(x2)2+y2=4,直線l1:y=3x,l2:y=kx1,若l1,l2被圓C所截得的弦的長度之比為1∶2,則k的值為()A.3 C.12 D.答案C3.(2019皖南八校聯(lián)考,14)設(shè)直線y=kx+1與圓x2+y2+2xmy=0相交于A,B兩點,若點A,B關(guān)于直線l:x+y=0對稱,則|AB|=.

答案6【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組1.(2018課標(biāo)Ⅲ,6,5分)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]答案A2.(2017課標(biāo)Ⅱ,9,5分)若雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x2)2+y2=4所截得的弦長為2, B.3 C.2 D.2答案A3.(2015課標(biāo)Ⅱ,7,5分)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|=()6 6 答案C4.(2016課標(biāo)Ⅲ,16,5分)已知直線l:mx+y+3m3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=23,則|CD|=.

答案4B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2015廣東,5,5分)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y5=0 B.2x+y+5=0或2x+y5=0C.2xy+5=0或2xy5=0 D.2xy+5=0或2xy5=0答案A2.(2019浙江,12,6分)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長是r.若直線2xy+3=0與圓C相切于點A(2,1),則m=,r=.

答案2;5C組教師專用題組1.(2017江蘇,13,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

答案[52,1]2.(2015江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案(x1)2+y2=23.(2015湖北,14,5分)如圖,圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)··方程為(2)過點A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點,下列三個結(jié)論:①|(zhì)NA||NB|=|MA||MB|其中正確結(jié)論的序號是.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

答案(1)(x1)2+(y2)2=2(2)①②③4.(2014課標(biāo)Ⅱ,16,5分)設(shè)點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是.

答案[1,1]5.(2019江蘇,18,16分)如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA,規(guī)劃要求:線段PB,QA上的所有點到點O的距離均不小于···圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD(C,D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米),求當(dāng)d最小時,P,Q兩點間的距離.解析本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識,考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.解法一:(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因為PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4所以PB=BDcos∠PBD因此道路PB的長為15(百米).(2)不能,理由如下:①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知AD=AE從而cos∠BAD=AD2+AB2-B所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35當(dāng)∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時,CQ=QA2-AC2=152-62=321.綜上,當(dāng)PB⊥AB,點Q位于點C右側(cè),且CQ=321時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+321)百米.解法二:(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因為BD=12,AC=6,所以O(shè)H=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標(biāo)分別為3,3.因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(4,3),直線AB的斜率為34因為PB⊥AB,所以直線PB的斜率為43直線PB的方程為y=43x25所以P(13,9),PB=(-13+4因此道路PB的長為15(百米).(2)①若P在D處,取線段BD上一點E(4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知D(4,9),又A(4,3),所以線段AD:y=34x+6(4≤x≤在線段AD上取點M3,因為OM=32+15所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時P1(13,9);當(dāng)∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時,設(shè)Q(a,9),由AQ=(a得a=4+321,所以Q(4+321,9).此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)P(13,9),Q(4+321,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=4+321(13)=17+321.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+321)百米.6.(2015廣東,20,14分)已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y26x+5=0相交于不同的兩點A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;(3)是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.解析(1)圓C1的方程x2+y26x+5=0可化為(x3)2+y2=4,所以圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),則x0=x1+x22由題意可知直線l的斜率必存在,設(shè)直線l的方程為y=tx.將上述方程代入圓C1的方程,化簡得(1+t2)x26x+5=0.由題意,可得Δ=3620(1+t2)>0(*),x1+x2=61+所以x0=31+t2,代入直線l的方程,得y0因為x02+y02=9(1+t2)所以x0-322由(*)解得t2<45,又t2≥0,所以53<x0所以線段AB的中點M的軌跡C的方程為x-322+y(3)由(2)知,曲線C是在區(qū)間53,如圖,D53,253,E5聯(lián)立直線L的方程與曲線C的方程,消去y整理得(1+k2)x2(3+8k2)x+16k2=0.令判別式Δ=0,解得k=±34,由求根公式解得交點的橫坐標(biāo)為xH,I=125∈53,3,由圖可知,要使直線L與曲線C只有一個交點,則k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2019海南?？谝恢心M,7)已知點P(1,m)在橢圓x24+y2=1的外部,則直線y=2mx+3與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為(A.相離 B.相交C.相切 D.相交或相切答案B2.(2020屆甘肅蘭州一中9月月考,3)已知直線l:x+ay1=0(a∈R)是圓C:x2+y24x2y+1=0的對稱軸,過點A(4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=() 2 10 答案D3.(2018安徽合肥一模,8)設(shè)圓x2+y22x2y2=0的圓心為C,直線l過(0,3),且與圓C交于A,B兩點,若|AB|=23,則直線l的方程為()A.3x+4y12=0或4x3y+9=0B.3x+4y12=0或x=0C.4x3y+9=0或x=0D.3x4y+12=0或4x+3y+9=0答案B4.(2019河南信陽二模,9)若直線y=kx+1(k≠0)與圓x2+(y1)2=1相交于A,B兩點,C點坐標(biāo)為(3,0),若點M(a,b)滿足MA+MB+MC=0,則a+b等于() B.52 C.53 答案C5.(2020屆安徽六安一中高二(上)開學(xué)考試,11)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(xm)2+(ym6)2=2與圓C2:(x+1)2+(y2)2=1交于A,B兩點,若|OA|=|OB|,則實數(shù)m的值為()答案D6.(2019四川成都外國語學(xué)校3月月考,10)若a,b,c是△ABC三個內(nèi)角的對邊,且csinC=3asinA+3bsinB,則直線l:axby+c=0被圓O:x2+y2=12所截得的弦長為()6 6 答案C7.(2019內(nèi)蒙古通遼模擬,9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(1,4)向圓C:(xm)2+y2=m2+5(1<m<6)引兩條切線,切點分別為A、B,則直線AB過定點()A.-12,1 B.-1,答案B8.(2018河南鄭州外國語中學(xué)3月調(diào)研,9)已知圓C1:(x+2a)2+y2=4和圓C2:x2+(yb)2=1只有一條公切線,若a,b∈R且ab≠0,則1a2+1b2答案D二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2020屆貴州貴陽一中高三(上)第一次適應(yīng)性考試,14)若直線2axby+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x4y+1=0所截得的弦長為4,則1a+1b的最小值是答案410.(2019四川第一次診斷性測試,16)已知直線l:y=kx與圓x2+y22x2y+1=0相交于A,B兩點,點M(0,b),且MA⊥MB,若b∈1,32,則實數(shù)k答案(1,623)∪(6+23,+∞)三、解答題(共15分)11.(2020屆皖南八校高三(上)摸底考試,22)已知圓C的圓心C的坐標(biāo)為(1,2),且圓C與直線l:x2y7=0相切,過點A(2,0)的動直線m與圓C相交于M,N兩點,直線m與直線l的交點為B.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求|MN|的最小值;(3)(AM+AN)·AB是不是定值?若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.解析本題考查圓的方程的求法和運用,考查直線和圓的位置關(guān)系,以及弦長公式的運用,考查向量的加減運算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查化簡運算能力和分類討論思想,體現(xiàn)了邏輯推理,數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).(1)設(shè)圓C的半徑為r,因為圓C與直線l:x2y