七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)考點(diǎn)02 代數(shù)式的值與探究規(guī)律（解析版）

/考點(diǎn)02代數(shù)式的值與探究規(guī)律知識(shí)框架基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)2-1.數(shù)字類規(guī)律=1\*GB3①符號(hào)規(guī)律：通常是正負(fù)間或出現(xiàn)的規(guī)律，常表示為或或=2\*GB3②數(shù)字規(guī)律：數(shù)字規(guī)律需要視題目而確定eq\o\ac(○,3)字母規(guī)律：通常字母規(guī)律是呈指數(shù)變換，長(zhǎng)表示為：等形式1．（2021·福建省漳州第一中學(xué)七年級(jí)開學(xué)考試）觀察下列各項(xiàng)：，，，，…，依此規(guī)律下去，則第7項(xiàng)是__________；第項(xiàng)是__________．【答案】【分析】觀察可知：整數(shù)部分是從1開始的自然數(shù)，分?jǐn)?shù)部分的分子為1，分母為從2開始的自然數(shù)的兩倍，據(jù)此可得．【詳解】解：=，=，=，=，…∴第7項(xiàng)是，第n項(xiàng)是，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，利用規(guī)律解決問題．2．（2021·重慶市渝北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校）一組按規(guī)律排列的式子：則第2020個(gè)式子是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先觀察所給的前幾個(gè)式子，找出分子a的指數(shù)的規(guī)律,分母的規(guī)律，即可得2020個(gè)式子．【詳解】觀察所給的前幾個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)第n個(gè)式子的分子a的指數(shù)為2n，分母為(2n-1)，把n換成2020即得第2020個(gè)式子的分子a的指數(shù)為2020×2=4040，分母為2020×2-1=4039，所以第2020個(gè)式子為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是找規(guī)律題也考查奇偶數(shù)的字母表示．其關(guān)鍵是仔細(xì)觀察前幾個(gè)式子的變化和聯(lián)系，歸納作出猜想，進(jìn)行驗(yàn)證，反復(fù)進(jìn)行直到找規(guī)律．3．（2021·山東九年級(jí)三模）如圖，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)字之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和．若在“楊輝三角”中從第2行左邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：，，，，，，，……，則的值為（）A．1275 B．1326 C．1378 D．1431【答案】B【分析】由題將已知數(shù)列分為兩個(gè)新數(shù)列，找出兩個(gè)新數(shù)列的變化規(guī)律即可計(jì)算．【詳解】∵，，，，∴是新數(shù)列第50項(xiàng)，∵，，，，∴是新數(shù)列第50項(xiàng)，，∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圖形數(shù)字變化找規(guī)律；能將已知數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個(gè)式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個(gè)式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個(gè)式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【答案】B【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出來(lái)，再結(jié)合值等于789，可求相應(yīng)的n的值，即可判斷．【詳解】解：由題意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，則n不是整數(shù)，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，則n不是整數(shù)，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，則n是整數(shù)，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，則n不是整數(shù)，故B3的值不可以等于789；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字變化類，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，得出相應(yīng)的式子．5．（2021·浙江七年級(jí)期末）一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．【答案】（1），；（2）1009【分析】（1）將代入計(jì)算可得，再將代入，可求出；（2）根據(jù)規(guī)律可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）把代入得，，把代入得，，∴，；（2）將代入得，同理，，，，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，探索數(shù)字的變化規(guī)律，正確的計(jì)算，，，進(jìn)而得出變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2-2.算式類規(guī)律算式規(guī)律這一類沒有固定的套路，主要依靠學(xué)生對(duì)已知算式的觀察、總結(jié)、邏輯推理，發(fā)現(xiàn)期中的規(guī)律。?？嫉谋尘坝校簵钶x三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個(gè)數(shù)的立方和、連續(xù)n個(gè)數(shù)的平方和、階乘等。1．（2021·鎮(zhèn)江市第三中學(xué)七年級(jí)月考）閱讀解答：（1）填空：_____；_____；_____……（2）探索（1）中式子的規(guī)律，試寫出第n個(gè)等式_________；（3）根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算：．【答案】（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1；（3）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)（1）中式子的規(guī)律，可得結(jié)果；（3）設(shè)S=20+21+22+23+24+…+22021，然后表示出2S，再相減計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；（2）由題意可得：2n-2n-1=2n-1；（3）設(shè)，∴，∴==．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，主要利用有理數(shù)的乘方的計(jì)算，難點(diǎn)在于（3）利用整體思想求解．2．（2021·福建漳州市·漳州三中）觀察一組等式：，，，，試猜想：______．【答案】【分析】根據(jù)，，，，由此可以發(fā)現(xiàn)，從而可以求解．【詳解】解：，，，，由此可以發(fā)現(xiàn)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)．3．（2021·廣州白云廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）已知：，，，，……，若符合前面式子的規(guī)律，則的值為_____．【答案】3079【分析】觀察可得，等式的前面為加法算式，前面加數(shù)與后面加數(shù)的分母為算式的序數(shù)加1，分母為分子的平方減1，據(jù)此規(guī)律解答即可．【詳解】解：由，，，，……，∴，∴，∴a==3024，b=55，∴a+b=3079，故答案為3079．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．注意應(yīng)從第3個(gè)式子和第4個(gè)式子進(jìn)行觀察，時(shí)刻注意應(yīng)與序號(hào)有關(guān)，才能得到所求式子的一般規(guī)律．4．（2021·安徽七年級(jí)期末）觀察以下等式：第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：．……按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第個(gè)等式：____________________．（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你認(rèn)為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題中等式的規(guī)律可得；（2）觀察等式的規(guī)律可得；（3）將等式的左邊進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，判斷與等式右邊是否相等即可．【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律可得：（2）觀察式子可得：（3）等式左邊===3=等式右邊∴（2）中所寫式子一定成立．【點(diǎn)睛】本題通過找規(guī)律的方式考查整式的混合運(yùn)算．分析所給等式，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2021·東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如圖1的“楊輝三角”就是其中的一例．如圖2，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)楊輝三角給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等等．（1）填出展開式中共有________項(xiàng)，第三項(xiàng)是________．（2）直接寫出的展開式．（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算：．【答案】（1）5，；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)系數(shù)規(guī)律，即可得出答案；（2）根據(jù)規(guī)律，可知（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）根據(jù)規(guī)律得出原式=-1．【詳解】解：（1）∵∴展開式中項(xiàng)數(shù)共有5項(xiàng)，第三項(xiàng)是，

（2）∵第六行的六個(gè)數(shù)1，5，10，10，5，1∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律變化，要求學(xué)生通過觀察數(shù)字，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．6．（2021·安徽七年級(jí)期末）數(shù)學(xué)上往往是先有猜想，猜想被證明正確后便成為定理．黎曼猜想（也稱黎曼假設(shè)）是100多年前由德國(guó)著名數(shù)學(xué)家黎曼提出的，它是世界上最重要的數(shù)學(xué)猜想之一．有大約1000個(gè)數(shù)學(xué)命題，一旦黎曼猜想得到證明，它們就必然成立．黎曼猜想與物理學(xué)、密碼學(xué)也有深刻的聯(lián)系．黎曼猜想與以下數(shù)學(xué)式有關(guān)：當(dāng)時(shí)，上式就是所有正整數(shù)的倒數(shù)的和（*）隨著n的無(wú)限增加，（*）式中的第n項(xiàng)將無(wú)限接近于0，那么（*）式的值會(huì)比10大嗎？會(huì)比10000大嗎？自然的感覺是“聚沙成塔”、“積少成多”，即設(shè)法把很多小小的項(xiàng)累加起來(lái)變大．下面是實(shí)現(xiàn)這個(gè)想法的一種組合法：用這種方法可以判定（*）式中：（1）從第一項(xiàng)1開始，一共________項(xiàng)的和就可以大于3；（2）從第一項(xiàng)1開始，一共________項(xiàng)的和就可以大于6【答案】161024【分析】（1）根據(jù)題意，先找出，然后由題意估算數(shù)k的值，即可得到答案；（2）與（1）的方法一致，估算出k的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，，∵，∴，即，∴，∴項(xiàng)數(shù)為：；故答案為：；（2）由（1）可知，∵，∴，即，∴，∴項(xiàng)數(shù)為：；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的運(yùn)算法則，規(guī)律的探索與計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方的定義，正確化簡(jiǎn)得到．知識(shí)點(diǎn)2-3圖形類規(guī)律通常結(jié)合數(shù)字特點(diǎn)和圖形變化情況進(jìn)行猜想，驗(yàn)證，從而提高探究規(guī)律能力。1．（2021·北京七年級(jí)期末）在某學(xué)校慶祝建黨“100周年”的活動(dòng)上,宇陽(yáng)同學(xué)用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成如圖所示的“100”字樣．按照這種規(guī)律,第個(gè)“100”字樣的棋子個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形可知:第①個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,第②個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,第③個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,第④個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,由此規(guī)律可得出答案．【詳解】第①個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,第②個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,第③個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,第④個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是,第n個(gè)“100”字中的棋子個(gè)數(shù)是．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型:圖形的變化類,是一道關(guān)于數(shù)字猜想的問題,解題的關(guān)鍵是通過總結(jié)與歸納,得到其中的規(guī)律．2．（2021·北京七年級(jí)期末）如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的正方形與等邊三角形鑲嵌而成，第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，第4個(gè)圖案有13個(gè)三角形，…，按照這樣的規(guī)律，第5個(gè)圖案中有____個(gè)三角形，第n個(gè)圖案中有____個(gè)三角形（用含有n的代數(shù)式表示）．【答案】163n+1【分析】由所給的圖形可知：第1個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4；第2個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4+3=7；第3個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4+3+3=10；據(jù)此可得其規(guī)律．【詳解】解：第1個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4；第2個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4+3=4+3×1=7；第3個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4+3+3=4+3×2=10；第4個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4+3+3+3=4+3×3=13；第5個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4+3+3+3+3=4+3×4=16；．第n個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為4+3×（n-1）=4+3n-3=3n+1．故答案為：16；3n+1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是找到三角形個(gè)數(shù)變化的規(guī)律．3．（2021·江蘇七年級(jí)期末）在無(wú)限大的正方形網(wǎng)格中按規(guī)律涂成的陰影如圖所示，第1、2、3個(gè)圖中陰影部分小正方形的個(gè)數(shù)分別為5個(gè)、9個(gè)、15個(gè)，根據(jù)此規(guī)律，則第20個(gè)圖中陰影部分小正方形的個(gè)數(shù)是_____．【答案】423【分析】根據(jù)每一個(gè)圖形都是第幾個(gè)圖形的平方，再加上第幾個(gè)圖形數(shù)，每個(gè)圖形都多出3，再加上3，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)所給的圖形可得：第一個(gè)圖有：5=1+1+3（個(gè)），第二個(gè)圖有：9=4+2+3（個(gè)），第三個(gè)圖有：15=9+3+3（個(gè)），…，則第n個(gè)為n2+n+3，第20個(gè)圖有：400+20+3=423（個(gè)），故答案為：423．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行解答．4．（2021·重慶巴蜀中學(xué)九年級(jí)三模）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．34 B．40 C．49 D．59【答案】C【分析】觀察圖形可知，第1個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5＋2個(gè)；第2個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5＋2＋3個(gè)；第3個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5＋2＋3＋4個(gè)；第4個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5＋2＋3＋4＋5個(gè)；…；則第n個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5＋2＋3＋4＋…＋n＋（n＋1）個(gè)；由此代入n＝8求得答案即可．【詳解】解：根據(jù)圖中圓點(diǎn)排列，當(dāng)n＝1時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5＋2；當(dāng)n＝2時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5＋2＋3；當(dāng)n＝3時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5＋2＋3＋4；當(dāng)n＝4時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5＋2＋3＋4＋5，…∴當(dāng)n＝8時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝4＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＝4＋×9×(9＋1)＝49．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論，利用規(guī)律解決問題．5．（2021·北京七年級(jí)期末）將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片按如圖所示方法進(jìn)行對(duì)折，第1次對(duì)折后得到的圖形面積為S1，第2次對(duì)折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對(duì)折后得到的圖形面積為Sn，則S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．【答案】【分析】根據(jù)翻折變換表示出所得圖形的面積，再根據(jù)句各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意得：……；∴，∴S1+S2+S3+…+S2021＝；故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形規(guī)律及有理數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵在于觀察各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積．6．（2021·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)其他模擬）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基制作出來(lái)的：把一個(gè)正三角形分成全等的4個(gè)小正三角形，挖去中間的一個(gè)小三角形；對(duì)剩下的3個(gè)小正三角形再分別重復(fù)以上做法…將這種做法繼續(xù)進(jìn)行下去，就得到小格子越來(lái)越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，每次挖去等邊三角形的面積的，剩下的陰影部分面積等于原陰影部分面積的，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方列式計(jì)算即可得解．【解答】解：圖2陰影部分面積＝1﹣，圖3陰影部分面積＝，圖4陰影部分面積＝，圖5陰影部分面積＝．故選：B．7．（2021·臺(tái)灣九年級(jí)其他模擬）凱特平時(shí)常用底面為矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一邊的方式進(jìn)行橫切或縱切，橫切都是從模具的左邊切割到模具的右邊，縱切都是從模具的上邊切割到模具的下邊用這種方式，可以切出數(shù)個(gè)大小完全相同的小塊蛋糕在切割后，他發(fā)現(xiàn)小塊蛋糕接觸模具的地方外皮比較焦脆，以如圖為例，橫切2刀，縱切3刀，共計(jì)5刀，切出個(gè)小塊蛋糕，其中側(cè)面有焦脆的小塊蛋糕共有10個(gè)，所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕共有2個(gè)．請(qǐng)根據(jù)上述切割方式，回答下列問題，并詳細(xì)解釋或完整寫出你的解題過程：（1）若對(duì)一塊蛋糕切了4刀，則可切出幾個(gè)小塊蛋糕？請(qǐng)寫出任意一種可能的蛋糕塊數(shù)即可．（2）今凱特根據(jù)一場(chǎng)聚餐的需求，打算制作出恰好60個(gè)所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕，為了避免勞累并加快出餐速度，在不超過20刀的情況下，請(qǐng)問凱特需要切幾刀，才可以達(dá)成需求？請(qǐng)寫出所有可能的情形．【答案】（1）橫切4刀可以分為5塊；橫切2刀，縱切2刀可以分成9塊（答案不唯一）；（2）可以橫切13刀，縱切6刀或橫切11刀，縱切7可以滿足條件【分析】（1）對(duì)一塊蛋糕切了4刀，可以橫切4刀或橫切2刀，縱切2刀求解（答案不唯一）．（2）把60分解成兩個(gè)整數(shù)相乘且兩個(gè)數(shù)的和小于18，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）橫切4刀可以分為5塊；橫切2刀，縱切2刀可以分成9塊（答案不唯一）．（2），可以橫切13刀，縱切6刀或橫切11刀，縱切7可以滿足條件．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，規(guī)律型問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．重難點(diǎn)題型題型1與數(shù)（字母）有關(guān)的規(guī)律探究1．（2021年陜西省西安市高新一中七模試卷）算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)井且有效的計(jì)算工具，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn)．在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來(lái)表示數(shù)字如圖：數(shù)字形式123456789縱式|||||||||||||||橫式表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，示例如圖：，則表示的數(shù)是（）A．5123 B．9167 C．9176 D．9163【答案】B【分析】根據(jù)題意理解算籌計(jì)數(shù)法即可選擇．【詳解】根據(jù)算籌計(jì)數(shù)法，表示的數(shù)是：9167．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了算籌計(jì)數(shù)法，理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2021·云南中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，……，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字因數(shù)是從1開始的正整數(shù)的平方，字母的指數(shù)從1開始依次加1，然后即可寫出第n個(gè)單項(xiàng)式，本題得以解決．【詳解】解：∵一列單項(xiàng)式：，...，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、單項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的變化特點(diǎn)，求出相應(yīng)的單項(xiàng)式．3．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察一列數(shù):根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫出第10個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得出第n個(gè)數(shù)為，故第10個(gè)數(shù)即可求解．【詳解】解：∵第1個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)，第3個(gè)數(shù)，第4個(gè)數(shù)，第5個(gè)數(shù)，第6個(gè)數(shù)，……∴第n個(gè)數(shù)為，∴第10個(gè)數(shù)是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出每個(gè)數(shù)與序號(hào)的一致規(guī)律．4．（2021·云南西雙版納傣族自治州·七年級(jí)期末）有一列按一定規(guī)律排列的式子：﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，則第n個(gè)式子是（）A．（﹣3）nm B．（﹣3）n+1m C．3nm D．﹣3nm【答案】A【分析】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：系數(shù)是（?3）n，字母因式均為m，可得答案．【詳解】由﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，得出規(guī)律：系數(shù)分別是（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3，（﹣3）4，（﹣3）5，…，字母因式均為m，∴第n個(gè)式子是（﹣3）nm；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式，觀察式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2021·陜西中考真題）幻方，最早源于我國(guó)，古人稱之為縱橫圖．如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等，則圖中a的值為______．-1-610a-4-52-3【答案】-2【分析】先通過計(jì)算第一行數(shù)字之和得到各行、各列及各條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和，再利用第二列三個(gè)數(shù)之和得到a的值．【詳解】解：由表第一行可知，各行、各列及各條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均為，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確提取表中數(shù)據(jù)，找到它們之間的關(guān)系等，該題對(duì)學(xué)生的觀察分析能力有一定的要求，同時(shí)也考查了學(xué)生對(duì)有理數(shù)的和差計(jì)算的基本功．6．（2021·浙江紹興市·七年級(jí)月考）如圖，圓上有五個(gè)點(diǎn)，這五個(gè)點(diǎn)將圓分成五等份（每一份稱為一段弧長(zhǎng)），把這五個(gè)點(diǎn)按順時(shí)針方向依次編號(hào)為1，2，3，4，5，若從某一點(diǎn)開始，沿圓周順時(shí)針方向行走，點(diǎn)的編號(hào)是數(shù)字幾，就走幾段弧長(zhǎng)，我們把這種走法稱為一次“移位”．如：小明在編號(hào)為3的點(diǎn)，那么他應(yīng)走3段弧長(zhǎng)，即從3→4→5→1為第1次“移位”，這時(shí)他到達(dá)編號(hào)為1的點(diǎn)，那么他應(yīng)走1段弧長(zhǎng)，即從1→2為第2次“移位”．若小明從編號(hào)為4的點(diǎn)開始，經(jīng)過2020次“移位”后，他到達(dá)編號(hào)為（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】從編號(hào)為4的點(diǎn)開始走4段?。?→5→1→2→3，即可得出結(jié)論；依次求出第2，3，4，5次的結(jié)合尋找規(guī)律，根據(jù)規(guī)律分析第2020次的編號(hào)即可．【詳解】解：從編號(hào)為4的點(diǎn)開始走4段弧：4→5→1→2→3，所以第一次“移位”他到達(dá)編號(hào)為3的點(diǎn)；第二次移位后：3→4→5→1，到編號(hào)為1的點(diǎn)；第三次移位后：1→2，到編號(hào)為2的點(diǎn)；第四次移位后：2→3→4，回到起點(diǎn)；可以發(fā)現(xiàn)：他的位置以“3，1，2，4，“循環(huán)出現(xiàn)，2020÷4=505，所以第2020次移位后他的編號(hào)回到起點(diǎn)，即4點(diǎn)；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律的探索與應(yīng)用，根據(jù)已知求出部分?jǐn)?shù)據(jù)找到循環(huán)周期是解題的關(guān)鍵．7．（2020·湖南省中考真題）下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（）A．135 B．153 C．170 D．189【答案】C【分析】由觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)正方形內(nèi)有：可求解，從而得到，再利用之間的關(guān)系求解即可．【解析】解：由觀察分析：每個(gè)正方形內(nèi)有：由觀察發(fā)現(xiàn)：又每個(gè)正方形內(nèi)有：故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律題，掌握由觀察，發(fā)現(xiàn)，總結(jié)，再利用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型2與有序數(shù)對(duì)有關(guān)的規(guī)律探究1．（2021·重慶）如圖，將整數(shù)按規(guī)律排列，若有序數(shù)對(duì)(a，b)表示第a排從左往右第b個(gè)數(shù)，則(9，4)表示的數(shù)是（）A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．25【答案】B【分析】根據(jù)有序數(shù)對(duì)（m，n）表示第m行從左到右第n個(gè)數(shù)，對(duì)如圖中給出的有序數(shù)對(duì)和（3，2）表示整數(shù)5可得規(guī)律，進(jìn)而可求出（9，4）表示的數(shù)．【詳解】解：根據(jù)有序數(shù)對(duì)（m，n）表示第m行從左到右第n個(gè)數(shù)，對(duì)如圖中給出的有序數(shù)對(duì)和（3，2）表示整數(shù)5可知：（3，2）：；（3，1）：；（4，4）：；…由此可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)所有數(shù)對(duì)（m，n）（n≤m）有，．表示的數(shù)是偶數(shù)時(shí)結(jié)果為負(fù)數(shù)，奇數(shù)時(shí)結(jié)果為正數(shù)，所以（9，4）表示的數(shù)是：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．2．（2021·廣州市第十六中學(xué)七年級(jí)期中）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序?qū)崝?shù)對(duì)表示第排，從左到右第個(gè)數(shù)，如表示9，則表示2021的有序數(shù)對(duì)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖形可知，第一排有1個(gè)數(shù)，第二排有2個(gè)數(shù)，第三排有3個(gè)數(shù)，則第n排有n個(gè)數(shù)，前1排有1個(gè)數(shù)，前2排有3個(gè)數(shù)，前3排有6個(gè)數(shù)，則前n排有個(gè)數(shù)，由此求解即可.【詳解】解：由圖形可知第一排有1個(gè)數(shù)，第二排有2個(gè)數(shù)，第三排有3個(gè)數(shù)，則第n排有n個(gè)數(shù)，前1排有1個(gè)數(shù)，前2排有3個(gè)數(shù)，前3排有6個(gè)數(shù)，則前n排有個(gè)數(shù)，∵，∴表示2021的數(shù)在第六十四排，第六十三排最右邊的數(shù)為2016，∴表示2021的數(shù)在第六十四排右邊起的第5個(gè)數(shù)，∴表示2021的數(shù)的有序數(shù)對(duì)為（64，64-4）即（64，60），故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找出所包含的規(guī)律.3．（2020·北京市房山區(qū)初一期末）由一些正整數(shù)組成的數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍）：若規(guī)定坐標(biāo)號(hào)（m,n）表示第m行從左向右第n個(gè)數(shù)，則（7，4）所表示的數(shù)是_____；（5，8）與（8，5）表示的兩數(shù)之積是_______；數(shù)2012對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)號(hào)是_________【答案】134，12144，（10，495）.【分析】根據(jù)下一行中數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍表示出前n行偶數(shù)的個(gè)數(shù)的表達(dá)式為2m-1，然后求出第6行的最后一個(gè)偶數(shù)，再計(jì)算之后的4個(gè)偶數(shù)即可求出（7，4）；分別求出第4行第7行最后的一個(gè)偶數(shù)，然后求出（5，8）與（8，5）表示的數(shù)，再相乘即可；求出數(shù)2012是第1006個(gè)偶數(shù)，根據(jù)表達(dá)式得1006=29-1+495，先求出第511個(gè)數(shù)是第9行的最后一個(gè)數(shù)，再求解即可．【解析】解：設(shè)前m行偶數(shù)的個(gè)數(shù)為S，則S=1+2+22+23+…+2m-1，

兩邊都乘以2得，2S=2+22+23+…+2m，所以，S=2m-1，

當(dāng)m=6時(shí)，S=26-1=64-1=63，所以，（7，4）所表示的數(shù)是第63+4=67個(gè)偶數(shù)，為134；

當(dāng)n=4時(shí)，24-1=15，所以，（5，8）表示的數(shù)是第15+8=23個(gè)偶數(shù)，為46，

當(dāng)n=7時(shí)，27-1=127，所以，（8，5）表示的數(shù)是第127+5=132個(gè)偶數(shù)，為264，46×264=12144；

∵數(shù)2012是第1006個(gè)偶數(shù)，n=9時(shí)，29-1=511，1006-511=495

∴數(shù)2012是第10行的第495個(gè)數(shù)，可以表示為（10，495）．

故答案為：20，12144，（10，495）．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，表示出前n行的偶數(shù)的個(gè)數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．4．（2021·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）把所有正偶數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：第一組：2，4；第二組：6，8，10，12；第三組：14，16，18，20，22，24第四組：26，28，30，32，34，36，38，40……則現(xiàn)有等式Am=（i，j）表示正偶數(shù)m是第i組第j個(gè)數(shù)（從左到右數(shù)），如A10=（2，3），則A2018=（）A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）【答案】B【解析】2018是第1009個(gè)數(shù)，設(shè)2018在第n組，由2+4+6+8+…+2n=n（n+1），當(dāng)n=31時(shí)，n（n+1）=992；當(dāng)n=32時(shí)，n（n+1）=1056；故第1009個(gè)數(shù)在第32組，第32組的第一個(gè)數(shù)為2×992+2=1986，則2018是（+1）=17個(gè)數(shù)．則A2016=（32，17）．故選B．5．（2020·黑龍江龍鳳初三期末）一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)跳動(dòng)到(0，1)，然后接著按圖中箭頭所示方向跳動(dòng)[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→（1，0）→…]，且每秒跳動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是__________【答案】(5,0)【解析】解：跳蚤運(yùn)動(dòng)的速度是每秒運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒數(shù)分別是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此類推，到（5，0）用35秒．故第35秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是（5，0）．6．（2020·河南鞏義初一期末）如圖，在的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)第2020次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)入射角與反射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組，依次循環(huán)，用2020除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【解析】如圖，經(jīng)過6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)（0,3），∵，∴當(dāng)點(diǎn)第2020次碰到矩形的邊時(shí)的坐標(biāo)與點(diǎn)P第4次反彈碰到矩形的邊時(shí)的坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,0）,故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，正確理解題中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律得到點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.題型3與算式有關(guān)的規(guī)律探究1．（2021·邵陽(yáng)縣教育科學(xué)研究室七年級(jí)期末）圖中的式子是按規(guī)律排列的一列等式，按規(guī)律寫出用含（為自然數(shù)）的式子表示的第個(gè)等式是（）第1個(gè)式子：第2個(gè)式子：第3個(gè)式子：……第個(gè)式子：______……A．B．C．D．【答案】D【分析】首先觀察例子，等號(hào)左端為連續(xù)四個(gè)自然數(shù)相乘的積加1，且四個(gè)自然數(shù)中第二個(gè)數(shù)為，等號(hào)右端為，然后合并即可判斷．【詳解】根據(jù)題意，等號(hào)左端為連續(xù)四個(gè)自然數(shù)相乘積加1，且四個(gè)自然數(shù)中第二個(gè)數(shù)為，即，等號(hào)右端為，根據(jù)各選項(xiàng)可以判斷只有D符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題考察了整式運(yùn)算規(guī)律的探索，關(guān)鍵是探究等號(hào)兩端的規(guī)律，然后合并．2．（2021·北京朝陽(yáng)區(qū)·和平街第一中學(xué)八年級(jí)月考）觀察下列各式：42，93，255，497，648，……（1）依據(jù)上述規(guī)律，再寫出兩個(gè)具有上述規(guī)律的等式；（2）用字母表示上述規(guī)律，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）16×；36×；（2）用字母表示上述規(guī)律，證明見詳解．【分析】（1）由前幾項(xiàng)的算式，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可寫出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論寫出規(guī)律，再通分，合并化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）16×；36×；（2）用字母表示上述規(guī)律,原式左邊=，右邊，故成立．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)式規(guī)律探究問題，掌握數(shù)式規(guī)律探究中的通項(xiàng)，及其特征是解題關(guān)鍵．3．（2021·成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)開學(xué)考試）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝_____（其中n為正整數(shù)）；（2）根據(jù)規(guī)律計(jì)算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝_____．【答案】【分析】（1）觀察各式找出規(guī)律確定所求即可；（2）原式利用題（1）中規(guī)律計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題目所列等式可得：；故答案為：xn-1；（2）．故答案為：351-1【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出題中規(guī)律．4．（2021·福建省寧化縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)月考）“特殊→一般”、“探索→總結(jié)→驗(yàn)證”等，是重要的解決問題的思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，培養(yǎng)起這種思想方法是很重要的．觀察下列幾組算式：①，；②，；③，．其中規(guī)律可用含字母的一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式是______．【答案】【分析】根據(jù)三組算式，第一個(gè)式子符合平方差公式，第二個(gè)式子是一個(gè)數(shù)的完全平方，二者結(jié)果相差1，自然想到一個(gè)數(shù)與1的平方差，根據(jù)題意列出等式即可．【詳解】①，，即，②，，，③，，，總結(jié)規(guī)律可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．5．（2021·撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）觀察下列各式的規(guī)律，回答問題：262=(26+6)×20+62；372=(37+7)×30+72；432=(43+3)×40+32；(1)請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律填空：682=____________________．(2)我們知道，任何一個(gè)兩位數(shù)(個(gè)位上的數(shù)字為n，十位上的數(shù)字為m)都可以表示為10m+n，根據(jù)上述規(guī)律填出空：(10m+n)2=___________________．(并用所學(xué)知識(shí)說明結(jié)論的正確性)【答案】（1）（68+8）×60+82；（2）（10m+n+n）×10m+n2．【分析】（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再得出結(jié)果即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律填空，再用完全平方公式證明即可．【詳解】解：（1）682＝（68+8）×60+82；故答案為：（68+8）×60+82；（2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2．證明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2．故答案為：（10m+n+n）×10m+n2．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類規(guī)律和完全平方公式，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．6．（2021·重慶忠縣·八年級(jí)期末）我們經(jīng)過探索知道，，，，若已知，則_______（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．【答案】【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算數(shù)平方根和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算，即可求解．【詳解】解：∵，，，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)式規(guī)律問題、算數(shù)平方根、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，用裂項(xiàng)法將分?jǐn)?shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算是解題關(guān)鍵．7．（2021·浙江）閱讀下列材料，解答下面的問題：楊輝三角是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，利用楊輝三角可以很方便地寫出兩項(xiàng)多項(xiàng)式的次方的展開式．楊輝三角中的每一行的數(shù)分別對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)多項(xiàng)式次方展開式中的各項(xiàng)系數(shù)．例如：，右邊的系數(shù)1、2、1是楊輝三角中第三行的三個(gè)數(shù)，又如：中右邊各項(xiàng)系數(shù)1、3、3、1是楊輝三角中第四行的四個(gè)數(shù)．根據(jù)這個(gè)規(guī)律，試解決下列問題：（1）試寫出下一個(gè)展開式：_________________________________．（2）求的展開式．（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）1【分析】（1）根據(jù)已知圖形和樣例即可得出；（2）利用整體的思想，先按公式展開后，再計(jì)算即可得出；（3）利用賦值法，令x=1代入，即可得出；【詳解】解：（1）根據(jù)已知圖形及樣例規(guī)律可得：，故答案為：（2），=，（3）∵，令x=1，得：，【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，也考查了規(guī)律型問題的解決方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用整體的思想，轉(zhuǎn)化的思想解決問題時(shí)解題的關(guān)鍵．8．（2021·福建八年級(jí)期中）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第7個(gè)等式：_____________；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（n為正整數(shù)），并證明．【答案】（1）；（2），證明見解析；【分析】（1）根據(jù)題目中的等式的規(guī)律，可以寫出第7個(gè)等式；（2）根據(jù)題目中的等式的規(guī)律，猜想出第n個(gè)等式，然后將等號(hào)左邊的式子化簡(jiǎn)，即可證明猜想成立；【詳解】解：（1）由第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；依次可得：第6個(gè)式子為：；第7個(gè)式子為：；故答案為：；（2）根據(jù)每個(gè)式子結(jié)構(gòu)相同，每一項(xiàng)的分子分母隨項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律可猜想：第n個(gè)等式為：；證明如下：∵左邊=，=，=，=右邊，∴成立，【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的式子．題型4與圖形有關(guān)的規(guī)律探究（1）一次類 1．（2021·重慶八年級(jí)期末）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，?，按此規(guī)律排列，則第⑧個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為（）A．24 B．27 C．30 D．33【答案】B【分析】根據(jù)前三個(gè)圖形歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得出答案．【詳解】解：第①個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為，第②個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為，第③個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為，歸納類推得：第n個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為（其中，為正整數(shù)），則第⑧個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東淄博市·九年級(jí)一模）如圖所示，根據(jù)你的觀察，下面四個(gè)選項(xiàng)中的圖片，適合填補(bǔ)圖中空白處的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意知原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10，據(jù)此可得．【詳解】解：由題意知，原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10，符合此要求的只有:故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得出原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10．3．（2021·湖北九年級(jí)三模）如圖是三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式，則按其規(guī)律第9個(gè)化合物的分子式為（）

A．C8H16 B．C8H18 C．C9H18 D．C9H20【答案】D【分析】觀察和的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，則可以寫出第9個(gè)化合物的分子式．【詳解】解：觀察的個(gè)數(shù)的規(guī)律是按自然數(shù)排列，的個(gè)數(shù)是個(gè)，故第9個(gè)化合物的的個(gè)數(shù)是9，的個(gè)數(shù)是20．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了自然數(shù)列找規(guī)律，分別找出和的個(gè)數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2021·云南九年級(jí)二模）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的“”圖案組成的，依此規(guī)律，第2021個(gè)圖案中含有“”圖案的個(gè)數(shù)為（）

A．10106 B．10105 C．11005 D．11006【答案】A【分析】根據(jù)所給圖形尋找規(guī)律．【詳解】由題可知，第1個(gè)圖案共有個(gè)所求圖案；第2個(gè)圖案共有個(gè)所求圖案；第3個(gè)圖案共有個(gè)所求圖案；第4個(gè)圖案共有個(gè)所求圖案；……則第n個(gè)圖案共有個(gè)所求圖案；∴第2021個(gè)圖案中含有“”圖案的個(gè)數(shù)為故答案選：A．【點(diǎn)睛】本題屬于規(guī)律類題型．關(guān)鍵在于找到第n個(gè)圖案共有個(gè)所求圖案的規(guī)律．5．（2021·青島西海岸新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)模擬）將圖1中的正方形剪開得到圖2，則圖2中共有4個(gè)正方形；將圖2中的一個(gè)正方形剪開得到圖3，則圖3中共有7個(gè)正方形；，如此剪下去，則第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是多少．（1）按圖示規(guī)律填寫下表：圖12345正方形個(gè)數(shù)147____________（2）按照這種方式剪下去，求第n個(gè)圖中有多少個(gè)正方形；（3）按照這種方式剪下去，求第200個(gè)圖中有多少個(gè)正方形；（4）按照這種方式剪下去，求第2021個(gè)圖中有多少個(gè)正方形．【答案】（1）10，13；（2）；（3）598；（4）6061【分析】（1）觀察圖形可知，每剪開一次多出3個(gè)正方形，然后根據(jù)圖形及規(guī)律即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律可總結(jié)出第n個(gè)圖中正方形的個(gè)數(shù)；（3）將代入（2）的結(jié)論中即可得出答案；（4）將代入（2）的結(jié)論中即可得出答案．【詳解】（1）觀察圖形可知圖4中正方形的個(gè)數(shù)為10個(gè)，觀察發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多3個(gè)正方形，所以第5個(gè)圖形的正方形的個(gè)數(shù)為13，填表如下：

圖12345正方形個(gè)數(shù)147__10______13____（2）圖1中的正方形個(gè)數(shù)為1，；圖2中正方形的個(gè)數(shù)為4，；圖3中正方形的個(gè)數(shù)為7，；圖4中正方形的個(gè)數(shù)為10，；……第n個(gè)圖中正方形的個(gè)數(shù)為；（3）當(dāng)時(shí)，，∴第200個(gè)圖中有598個(gè)正方形；（4）當(dāng)時(shí)，，∴第2021個(gè)圖中有6061個(gè)正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，找到規(guī)律并能應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．6．（2021·山東九年級(jí)一模）如圖1是個(gè)正五邊形，分別連接這個(gè)正五邊形各邊中點(diǎn)得到圖2，再分別連接圖2小正五邊形各邊中點(diǎn)得到圖3．（1）填寫如表圖形標(biāo)號(hào)123正五邊形個(gè)數(shù)__________________三角形個(gè)數(shù)__________________（2）按上面方法繼續(xù)連下去，第n個(gè)圖中有多少個(gè)三角形？（3）能否分出2014個(gè)三角形？簡(jiǎn)述你的理由．【答案】（1）第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；（2）；（3）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)每個(gè)圖形直接分析出結(jié)果即可；（2）根據(jù)前三個(gè)圖形總結(jié)出一般規(guī)律即可；（3）利用（2）的結(jié)論，建立方程，判斷求解出的n是否為正整數(shù)即可．【詳解】（1）觀察圖形可得：圖1，正五邊形：1個(gè)，三角形：0個(gè)；圖2，正五邊形：2個(gè)，三角形：5個(gè)；圖3，正五邊形：3個(gè)，三角形：10個(gè)；故答案為：第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；（2）由前三個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)得出：第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)為：個(gè)；（3）不能，理由如下：要使得分出2014個(gè)三角形，即滿足，其中n為正整數(shù)即可，而上式解得，，并非正整數(shù)，∴不能分出2014個(gè)三角形．【點(diǎn)睛】本題考查圖形變化類的規(guī)律探究問題，找準(zhǔn)圖形變化中的一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．7．（2021·福建七年級(jí)月考）如圖1，給定一個(gè)正方形，要通過畫線將其分割成若干個(gè)互不重疊的正方形．第1次畫線分割成4個(gè)互不重疊的正方形，得到圖2；第2次畫線分割成7個(gè)互不重疊的正方形，得到圖3；…，以后每次只在上次得到圖形的左上角的正方形中畫線．嘗試（1）第3次畫線后，分割成______個(gè)互不重疊的正方形；第4次畫線后，分割成______個(gè)互不重疊的正方形．發(fā)現(xiàn)（2）第次畫線后，分割成______個(gè)互不重疊的正方形，并直接寫出第2021次畫線后得到互不重疊的正方形的個(gè)數(shù)．探究（3）若干次畫線后﹐能否得到1005個(gè)互不重疊的正方形？若能，求出是第幾次畫線后得到的；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】嘗試：（1）10，13；發(fā)現(xiàn)：（2）3n+1；6064；探究：（3）不能，理由見解析．【分析】嘗試：根據(jù)前2次畫線分割成的正方形個(gè)數(shù)即可得到第3、第4次的；發(fā)現(xiàn)：結(jié)合嘗試的過程：10=3×3+1，13=3×4+1，…發(fā)現(xiàn)規(guī)律可得第n次畫線后，分割成的正方形，進(jìn)而可求第2021次畫線后得到互不重疊的正方形的個(gè)數(shù)；探究：設(shè)每次畫線后得到互不重疊的正方形的個(gè)數(shù)為m，則m=3n+1．求當(dāng)m=1005時(shí)n的值，進(jìn)而可以說明．【詳解】解：嘗試：3×3+1=10，3×4+1=13；故答案為：10，13；發(fā)現(xiàn)：通過嘗試可知：第n次畫線后，分割成的正方形為：3n+1；當(dāng)n=2021時(shí)，3n+1=3×2021+1=6064，即第2021次畫線后得到互不重疊的正方形的個(gè)數(shù)是6064；故答案為：（3n+1）；探究：不能．設(shè)每次畫線后得到互不重疊的正方形的個(gè)數(shù)為m，則m=3n+1．若m=1005，則1005=3n+1．解得n＝．這個(gè)數(shù)不是整數(shù)，所以不能．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2021·重慶九龍坡區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，第①個(gè)圖形中有1個(gè)正方形，按照如圖所示的方式連接對(duì)邊中點(diǎn)得到第②個(gè)圖形，圖中共有5個(gè)正方形；連接第②個(gè)圖形中右下角正方形的對(duì)邊中點(diǎn)得到第③個(gè)圖形，圖中共有9個(gè)正方形；按照同樣的規(guī)律得到第④個(gè)圖形、第⑤個(gè)圖形……，則第⑦個(gè)圖形中共有（）個(gè)正方形．A．21 B．25 C．29 D．32【答案】B【分析】由題意可知：第①個(gè)圖形中有1個(gè)正方形；第②個(gè)圖形中共有4+1＝5個(gè)正方形；第③個(gè)圖形中共有4×2+1＝9個(gè)正方形…，以此類推，根據(jù)以上操作，則第⑦個(gè)圖形中的正方形的個(gè)數(shù)為4×6+1=25個(gè)正方形，由此求得答案即可．【詳解】解：∵第①個(gè)圖形中有1個(gè)正方形；第②個(gè)圖形中共有4+1＝5個(gè)正方形；第③個(gè)圖形中共有4×2+1＝9個(gè)正方形；…∴第⑦個(gè)圖形中的正方形的個(gè)數(shù)為4×6+1=25（個(gè)）；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．題型5與圖形有關(guān)的規(guī)律探究（2）二次類 1．（2021·浙江九年級(jí)一模）按圖示的方法，搭1個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒，搭6個(gè)正方形需要18根火柴棒，則下列選項(xiàng)中，可以搭成符合規(guī)律圖形的火柴棒的數(shù)目是（）A．52根 B．66根 C．70根 D．72根【答案】C【分析】仔細(xì)觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，將每行每列的火柴棒數(shù)進(jìn)行總結(jié)，可得出：當(dāng)有n層時(shí)，需要根火柴，從而驗(yàn)證選項(xiàng)即可確定正確答案．【詳解】解：觀察圖形可以看出：搭1個(gè)正方形，一層，需要根火柴棒；搭3個(gè)正方形，兩層，需要根火柴棒；搭6個(gè)正方形，三層，需要根火柴棒；搭10個(gè)正方形，四層，需要根火柴棒；因此當(dāng)有n層時(shí)，需要根火柴棒．當(dāng)時(shí)，根火柴棒，因此C選項(xiàng)正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形變化的規(guī)律，用變量代替數(shù)字總結(jié)規(guī)律，最終再代入數(shù)字求解即可，難度中等．2．（2021·重慶七年級(jí)期末）下列圖形都是由同樣大小的圓按一定的規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形中有5個(gè)圓，第2個(gè)圖形中有9個(gè)圓，第3個(gè)圖形中有14個(gè)圓，．．．則第8個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是（）A．52 B．53 C．54 D．55【答案】C【分析】根據(jù)圖中圓的個(gè)數(shù)變化規(guī)律，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：由圖可得：第一個(gè)圖形一共有2＋3＝5個(gè)圓，第二個(gè)圖形一共有2＋3＋4＝9個(gè)圓，第三個(gè)圖形一共有2＋3＋4＋5＝14個(gè)圓，∴第八個(gè)圖形一共有2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9+10＝54個(gè)圖形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化，根據(jù)題意得出圓的個(gè)數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2021·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)期末）把小圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖形，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，第⑧個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)是（）A．53 B．52 C．45 D．44【答案】B【分析】仔細(xì)觀察圖形變化，找到圖形變化規(guī)律，利用規(guī)律求解．【詳解】第①個(gè)圖形中一共有1+2＝3個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有1+2+3+1＝7個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有1+2+3+4+2＝12個(gè)小圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，第⑧個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)是1+2+3+4+5+6+7+8+9+7＝52，故選：B．【點(diǎn)睛】考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到進(jìn)一步解題的規(guī)律，難度不大．4．（2021·黑龍江九年級(jí)三模）如圖，下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第1個(gè)圖中一共有4個(gè)小圓圈，第2個(gè)圖中一共有10個(gè)小圓圈第3個(gè)圖中一共有19個(gè)小圓圈……按此規(guī)律排列下去，第7個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為_________個(gè)．【答案】【分析】觀察圖形可得前三個(gè)圖形的小圓圈的變化規(guī)律，進(jìn)而可得第7個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)．【詳解】解：觀察圖形可知：第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)小圓圈，即1+2+12；第2個(gè)圖形中一共有10個(gè)小圓圈，即1+2+3+22；第3個(gè)圖形中一共有19個(gè)小圓圈，即1+2+3+4+32；…，按此規(guī)律排列下去，第n個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為：；所以第7個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為：．故答案：85．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律．5．（2021·江蘇中考真題）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10，……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個(gè)數(shù)為___________．【答案】1275【分析】首先得到前n個(gè)圖形中每個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，再判斷其中能被3整除的數(shù)，得到每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，再計(jì)算出第33個(gè)能被3整除的數(shù)所在組，為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，代入計(jì)算即可．【詳解】解：第①個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1，第②個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：=3，第③個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：=6，第④個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：=10，...第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則這列數(shù)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，則第33個(gè)被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，即=1275，故答案為：1275．【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．6．（2021·重慶西南大學(xué)附中七年級(jí)期中）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…．我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球），若一個(gè)“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個(gè)數(shù)為（）A．55 B．220 C．285 D．385【答案】A【分析】“三角形數(shù)”可以寫為：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n層“三角形數(shù)”為，再把n＝10代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵“三角形數(shù)”可以寫為：第1層：1，第2層：3＝1+2，第3層：6＝1+2+3，第4層：10＝1+2+3+4，第5層：15＝1+2+3+4+5，∴第n層“三角形數(shù)”為，∴若一個(gè)“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個(gè)數(shù)為＝55．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及數(shù)字變化規(guī)律，得出第n層“三角形數(shù)”為是解答本題的關(guān)鍵．7．（2021·重慶八年級(jí)期末）如圖所示，各圖是用小黑色三角形壘成的“三角形”，圖①個(gè)中有個(gè)小黑色三角形，圖②中有個(gè)小黑色三角形，圖③中有個(gè)小黑色三角形，…，按此規(guī)律壘下去，則圖⑩中的小黑色三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)前三個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)得出第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4++n，據(jù)此可得第⑩個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】第①個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1，第②個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為3=1+2，第③個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為6=1+2+3，，第⑩個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律：第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4++n．8．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級(jí)三模）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第n個(gè)圖形有___________個(gè)小圓．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】第1個(gè)圖形有5個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有5+2個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有5+6個(gè)圖形，第4個(gè)圖形有5+12個(gè)圖形，根據(jù)項(xiàng)數(shù)關(guān)系不難分析2=1×2，6=2×3，12=3×4便可得出規(guī)律為第n個(gè)圖形有個(gè)小圓．【詳解】第1個(gè)圖有0×1+5個(gè)小圓；第2個(gè)圖有1×2+5個(gè)小圓；第3個(gè)圖有2×3+5個(gè)小圓；…第n個(gè)圖形有個(gè)小圓．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律探究問題，掌握?qǐng)D形特征是探究問題的關(guān)鍵．題型6與圖形有關(guān)的規(guī)律探究（3）指數(shù)類 1．（2021·江蘇七年級(jí)期末）如圖，已知圖①是一塊邊長(zhǎng)為1，周長(zhǎng)記為C1的等邊三角形卡紙，把圖①的卡紙剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊再剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形后得到圖③，依次剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為、、…的等邊三角形后，得到圖④、⑤、⑥、…，記圖n（n≥3）中的卡紙的周長(zhǎng)為Cn，則Cn﹣Cn﹣1＝_____．【答案】【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等）求出等邊三角形的周長(zhǎng)C1，C2，C3，C4，根據(jù)周長(zhǎng)相減的結(jié)果能找到規(guī)律即可求出答案．【詳解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…∴C3﹣C2=，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…則Cn﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的運(yùn)算規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．2．（2021·江蘇七年級(jí)期中）數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙板等分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，接著把面積為的長(zhǎng)方形分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，如此繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)圖形的規(guī)律計(jì)算：的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析數(shù)據(jù)和圖象可知，利用正方形的面積減去最后的一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積來(lái)求解面積和即可.【詳解】解：分析數(shù)據(jù)和圖象可知，利用正方形的面積減去最后的一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積來(lái)求解面積和即為所求.最后一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積=故即故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的分析、總結(jié)、歸納能力，通過數(shù)形結(jié)合看出前面所有小長(zhǎng)方形的面積等于總面積減去最后一個(gè)空白的小長(zhǎng)方形的面積是解答此題的關(guān)鍵.3．（2021·日照港中學(xué)九年級(jí)三模）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：①將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個(gè)頂點(diǎn)重合，展開后沿折痕剪開，把四個(gè)等腰直角三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復(fù)以上操作，當(dāng)完成第2021次操作時(shí)，余下紙片的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個(gè)頂點(diǎn)重合，展開后沿折痕剪開，余下面積為原來(lái)面積的一半即可解答．【詳解】解：正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個(gè)頂點(diǎn)重合，展開后沿折痕剪開，第一次：余下面積S1=，第二次：余下面積S2=，第三次：余下面積S3=，當(dāng)完成第2021次操作時(shí)，余下紙片的面積為S2021=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查剪紙問題，圖形的變化，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2021·銀川唐徠回民中學(xué)九年級(jí)一模）利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別．某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為a×23+b×22+c×21+d×20，如圖2，第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號(hào)為0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示該生為5班學(xué)生．表示10班學(xué)生的識(shí)別圖案是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題中的規(guī)律分別計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)所表示的班級(jí)序號(hào)即可．【詳解】解：由題知，A選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為1×23+0×22+1×21+0×20＝10，B選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為0×23+1×22+1×21+0×20＝6，C選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為1×23+0×22+0×21+1×20＝9，D選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為0×23+1×22+1×21+1×20＝7，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)變化規(guī)律計(jì)算出班級(jí)序號(hào)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·常州市同濟(jì)中學(xué)七年級(jí)期中）（1）為了計(jì)算1+2+3+…+8的值，我們構(gòu)造圖形（圖1），共8行，每行依次比上一行多一個(gè)點(diǎn)．此圖形共有（1+2+3+…+8）個(gè)點(diǎn)．如圖2，添出圖形的另一半，此時(shí)共8行9列，有8×9＝72個(gè)點(diǎn)，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．用此方法，可求得1+2+3+…+20=（直接寫結(jié)果）．（2）觀察下面的點(diǎn)陣圖（如圖3），解答問題：填空：①1+3+5+…+49=；②1+3+5…+（2n+1）=．（3）請(qǐng)構(gòu)造一圖形，求（畫出示意圖，寫出計(jì)算結(jié)果）．【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）圖見解析，【分析】（1）利用題干中所給方法解答即可；（2）由點(diǎn)陣圖可知：一個(gè)數(shù)時(shí)和為1=12，2個(gè)數(shù)時(shí)和為4=22，3個(gè)數(shù)時(shí)和為9=32，???n個(gè)數(shù)時(shí)和為n2，由此可得①為25個(gè)數(shù)，和為252=625；②為（n+1）個(gè)數(shù)，和為(n+1)2；（3）按要求畫出示意圖，依據(jù)圖形寫出計(jì)算結(jié)果．【詳解】解：（1）1+2+3+???+20=（1+20）×20=21×10=210；故答案為：210；（2）由點(diǎn)陣圖可知：一個(gè)數(shù)時(shí)和為1=12，2個(gè)數(shù)時(shí)和為4=22，3個(gè)數(shù)時(shí)和為9=32，???，n個(gè)數(shù)時(shí)和為n2．①∵1+3+5+…+49中有25個(gè)數(shù)，∴1+3+5+…+49=252=625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)個(gè)數(shù)，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案為：625；(n+1)2；（3）由題意畫出圖形如下：假定正方形的面積為1，第一次將正方形分割為和兩部分，第二次將正方形的分割為和兩部分，???，以此類推，第2020次分割后，剩余的面積為，那么除了剩余部分的面積，前面所有分割留下的面積應(yīng)該是：，∴，左右兩邊同除以2得：．∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的思想方法．前兩小題考察學(xué)生數(shù)與形相結(jié)合，難度不大，仔細(xì)觀察規(guī)律，即可求解，第三小題對(duì)學(xué)生構(gòu)建數(shù)與形的要求較高，考察學(xué)生的發(fā)散性思維．6．（2021·湖北九年級(jí)二模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，…，以此類推，則的值為________．【答案】【分析】先根據(jù)圖形得出a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），再代入、裂項(xiàng)求解即可．【詳解】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），∴原式====故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決這類問題首先要從簡(jiǎn)單圖形入手，抓住隨著“編號(hào)”或“序號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．7．（2021·安徽九年級(jí)一模）觀察與思考：我們知道，，那么結(jié)果等于多少呢？請(qǐng)你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問題：

（1）推算：___________；（2）概括：___________；（3）拓展應(yīng)用：求的值．【答案】（1）15；（2）；（3）5050【分析】（1）由前四個(gè)圖可以直接推出．（2）由（1）分析可知，第n個(gè)算式=（1+2+3+…+n）2=．（3）由（2）可知，13+23+33+…+1003=（1+2+3+…+100）2=，進(jìn)而求出這個(gè)算式的和．【詳解】（1）∵13=12，13+23=32=（1+2）2，13+23+33=62=（1+2+3）2，13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2，∴13+23+33+43+53==（1+2+3+4+5）2=152；故答案為：15；（2）由（1）可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=，故答案為：；（3）【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及規(guī)律型：圖形的變化類，得出規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問題是解本題的關(guān)鍵．題型7代數(shù)式整體求值解題技巧：整體代入求值：當(dāng)未知數(shù)的值不易直接求解時(shí)，通常用整體代入法。1．（2021·河南九年級(jí)二模）已知，則的值為（）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】A【分析】將整體代入代數(shù)式求值即可．【詳解】故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，整體代入是解題的關(guān)鍵．2．（2021·蘇州市南環(huán)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校八年級(jí)期中）已知，則，的值為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】方程a2-5a+1=0，兩邊除以a，即可解決問題；【詳解】解：∵a2-5a+1=0，兩邊除以a得到，a-5+=0，∴a+=5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2021·江蘇·七年級(jí)期末）已知，則（）A．8 B． C．16 D．【答案】C【分析】已知兩等式相減求出a-c的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2021·長(zhǎng)沙市開福區(qū)八年級(jí)月考）當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式.那么當(dāng)時(shí)，它的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)時(shí)，多項(xiàng)式，找到a、b之間的關(guān)系，再代入求值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原式=故選A.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值問題，難度較大，解題關(guān)鍵是找到a、b之間的關(guān)系.5．（2021·江蘇七年級(jí)期中）若，則多項(xiàng)式的值為______．【答案】1【分析】將已知代數(shù)式的值代入代數(shù)式求解即可【詳解】故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·廣東河源市·九年級(jí)一模）已知，，的值為___________．【答案】-1【分析】將變形為，再將，代入求值即可．【詳解】解：∵，又∵，，∴．故答案為-1．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值．利用整體代入的思想是解答本題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北七年級(jí)期末）歷史上數(shù)學(xué)家歐拉最先把關(guān)于的多項(xiàng)式用記號(hào)來(lái)表示，把等于某數(shù)時(shí)的多項(xiàng)式的值用來(lái)表示．例如，對(duì)于多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為，若，則的值為__________．【答案】4【分析】由得到，整體代入求出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，即，∴．故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入求值的思想．8．（2021·湖南七年級(jí)期中）已知：，求的值為_________．【答案】90【分析】先令x＝1，即可求出a+b+c+d+e+f＝243①；再令x＝﹣1，得到﹣a+b﹣c+d﹣e+f＝1②，①+②可得b+d+f＝122，最后令x＝0，可得f＝32，由此即可求得b+d的值．【詳解】解：令x＝1，得：a+b+c+d+e+f＝243①；令x＝﹣1，得﹣a+b﹣c+d﹣e+f＝1②，①+②得：2b+2d+2f＝244，即b+d+f＝122，令x＝0，得f＝32，則b+d＝b+d+f﹣f＝122﹣32＝90，故答案為：90．【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．9．（2021·北京北理工附中七年級(jí)期末）歷史上數(shù)學(xué)家歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)來(lái)表示，把x等于某數(shù)a時(shí)的多項(xiàng)式的值用來(lái)表示．例如，對(duì)于多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為，若，則的值為_________．【答案】6【分析】由得，把它整體代入求值．【詳解】解：∵，∴，即，∴．故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入的思想求值．10．（2021·山西七年級(jí)期末）觀察下列表格中兩個(gè)代數(shù)式及其相應(yīng)的值，回答問題：x…-2-1012……9753……-11-9-7-5…（初步感知）（1）根據(jù)表中信息可知：______；______；（歸納規(guī)律）（2）表中的值的變化規(guī)律是：的值每增加1，的值就都減少2．類似地，的值的變化規(guī)律是：______；（問題解決）（3）請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．我選擇______題．A．根據(jù)表格反應(yīng)的變化規(guī)律，當(dāng)______時(shí)，的值大于的值．B．請(qǐng)直接寫出一個(gè)含的代數(shù)式，要求的值每增加1，代數(shù)式的值就都減小5，且當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為-7．【答案】（1）1；-3；（2）x的值每增加1，2x-7的值就增加2；（3）A：＜3；B：-5x-7【分析】（1）直接將x=2代入代數(shù)式計(jì)算可得；（2）類似-2x+5的變化規(guī)律可得2x-7的變化規(guī)律；（3）A：令-2x+5=2x-7，解得x的值，再結(jié)合表格中數(shù)據(jù)變化可得；B：設(shè)代數(shù)式為mx+n，根據(jù)變化規(guī)律得到m，再將數(shù)值代入得到n，可得結(jié)果．【詳解】解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，a=-2×2+5=1；當(dāng)x=2時(shí)，b=2×2-7=-3；（2）x的值每增加1，2x-7的值就增加2；（3）A：當(dāng)-2x+5=2x-7時(shí)，解得：x=3，∵隨著x的增加，2x-7增大，-2x+5減?。环粗?，隨著x的減小，2x-7減小，-2x+5增大；∴當(dāng)x＜3時(shí)，-2x+5＞2x-7；B：設(shè)代數(shù)式為mx+n，根據(jù)規(guī)律可知：當(dāng)x的值每增加1，代數(shù)式的值減少5時(shí)，x的系數(shù)m=-5，又∵當(dāng)x=0時(shí)，代數(shù)式的值為-7，即-5×0+n=-7，解得：n=-7，故代數(shù)式為-5x-7．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的有關(guān)問題，屬于規(guī)律性問題和一元一次方程的應(yīng)用，認(rèn)真理解題意，利用代數(shù)式的有關(guān)知識(shí)解決問題．題型8代數(shù)式的值與程序框圖1．（2021·重慶南開中學(xué)七年級(jí)期末）按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出的結(jié)果為32的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】先比較x，y的大小，后選擇計(jì)算途徑中的代數(shù)式，代入求值即可.【詳解】∵x=2，y=4，∴x＜y，∴==32，故A符合題意；∵x=2，y=-4，∴x＞y，∴=64，故B不符合題意；∵x=4，y=2，∴x＞y，∴=64，故C不符合題意；∵x=-4，y=2，∴x＜y，∴==-16，故D不符合題意；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的程序型計(jì)算，準(zhǔn)確理解程序的意義是解題的關(guān)鍵.2．（2021·貴州中考真題）如圖所示：是一個(gè)運(yùn)算程序示意圖，若第一次輸入1，則輸出的結(jié)果是_____；

【答案】11【分析】把x=1代入運(yùn)算程序的y=6＜9，無(wú)法輸出，再把x=2代入運(yùn)算程序得y=11＞9，輸出答案，問題得解．【詳解】解：把x=1代入得y=1+2+3=6＜9，無(wú)法輸出，∴把x=1+1=2代入得y=4+4+3=11＞9，輸出答案．故答案為：11【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)運(yùn)算程序進(jìn)行計(jì)算，理解運(yùn)算程序是解題關(guān)鍵．3．（2021·重慶一中八年級(jí)期末）按照如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出y的值為5的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意逐一計(jì)算即可判斷．【詳解】A、當(dāng)m=1，n=4時(shí)，則，∴，不合題意；B、當(dāng)m=2，n=5時(shí)，則，∴，不合題意；C、當(dāng)m=5，n=3時(shí)，則，∴，不合題意；D、當(dāng)m=2，n=2時(shí)，則，∴，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，屬于中考?？碱}型．4．（2021·安徽七年級(jí)期末）在如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的值為24，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為12，第2次輸出的結(jié)果為6，……，則第2021次輸出的結(jié)果為__________．【答案】3【分析】由圖示知，當(dāng)輸入的數(shù)x為偶數(shù)時(shí)，輸出，當(dāng)輸入的數(shù)x是奇數(shù)時(shí)，輸出x+3．按此規(guī)律計(jì)算即可求．【詳解】解：把x=24代入程序中，得，第1次輸出的結(jié)果為12，把x=12代入程序中，得，第2次輸出的結(jié)果為6，把x=6代入程序中，得，第3次輸出的結(jié)果為3，把x=3代入程序中，得：3+3=6，第4次輸出的結(jié)果為6，當(dāng)輸入x=6時(shí)，得，第4次輸出的結(jié)果為3，…依此類推，以6，3循環(huán)，∵（2021-1）÷2=1010，∴第2021次輸出的結(jié)果為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、有理數(shù)的混合運(yùn)算、代數(shù)式求值，解決本題的關(guān)鍵是輸入數(shù)字后準(zhǔn)確計(jì)算輸出的結(jié)果．5．（2