第02講平面向量基本定理及坐標表示

第02講平面向量基本定理及坐標表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.一．平面向量基本定理的應用例1．（1）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面幾何知識求解【詳解】如圖，可知=，選B.【點睛】本題考查向量的運算及其幾何意義，同時要注意利用平面幾何知識的應用，（2）如圖，在△中，點M是上的點且滿足，N是上的點且滿足，與交于P點，設，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據三點共線有，使、，由平面向量基本定理列方程組求參數，即可確定答案.【詳解】，，由，P，M共線，存在，使①，由N，P，B共線，存在，使得②，由①②，故.故選：B.（3）設中邊上的中線為，點滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出圖形，利用、表示，然后利用平面向量減法的三角形法則可得出可得出結果.【詳解】如下圖所示：為的中點，則，，，，故選：A.【點睛】本題考查利用基底表示向量，考查了平面向量減法和加法三角形法則的應用，考查計算能力，屬于中等題.（4）等腰直角三角形ABC中，，是斜邊BC上一點，且，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，直接根據向量加法，減法，數乘運算求解即可.【詳解】解：因為等腰直角三角形ABC中，，，所以.故選：B（5）如圖所示，在中，，，，分別為線段，上一點，且，，和相交于點.=1\*GB3①用向量，表示；=2\*GB3②假設，用向量，表示并求出的值.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②，.【分析】=1\*GB3①把放在中，利用向量加法的三角形法則即可；=2\*GB3②把，作為基底，表示出，利用求出.【詳解】解：由題意得，，所以，=1\*GB3①因為，，所以.=2\*GB3②由=1\*GB3①知，而而因為與不共線，由平面向量基本定理得，解得所以，即為所求.【點睛】在幾何圖形中進行向量運算:(1)構造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；(2)樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算.【復習指導】：(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．二．平面向量的坐標運算例2．（1）已知向量，滿足，，，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】設出向量，的坐標，根據條件列出坐標方程，即可解出坐標，即可進一步列出含參數的坐標方程，從而解出參數【詳解】設，，所以，且，解得，，即，.所以，則，解得，故.故選：B（2）已知點，，則與方向相反的單位向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，即得解.【詳解】解：由題意有，所以，所以與方向相反的單位向量是.故選：C（3）在中，，，，為中點，為的內心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題得，建立直角坐標系，求出，即得解.【詳解】如圖所示，因為,所以.所以內切圓的半徑為，所以點，所以，所以，所以.所以.故選：A（4）（多選）已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是．則第四個頂點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】設平行四邊形的四個頂點分別是，分類討論點在平行四邊形的位置有：，，，將向量用坐標表示，即可求解.【詳解】第四個頂點為，當時，，解得，此時第四個頂點的坐標為；當時，，解得，此時第四個頂點的坐標為；當時，，解得，此時第四個項點的坐標為．∴第四個頂點的坐標為或或．故選:ABC.【點睛】本題考查利用向量關系求平行四邊形頂點坐標，考查分類討論思想，屬于中檔題.（5）已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標為_______________．【答案】（﹣1，）或（﹣1，）【分析】根據題意畫出向量，利用三角函數的定義求得對應點的坐標即可．【詳解】向量的方向與x軸的正向所成的角為120°，且||＝2，如圖所示，向量的終點為A或B，由三角函數的定義，可得A（﹣1，），B（﹣1，）；所以的坐標為（﹣1，）或（﹣1，）．故答案為：（﹣1，）或（﹣1，）．【點睛】本題考查了平面向量的坐標求法問題，是基礎題．（6）已知向量，向量的起點為，終點在坐標軸上，則點的坐標為___________.【答案】或【解析】根據向量的坐標運算和向量的坐標表示，求得，結合向量的共線的條件，準確運算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，向量，設，，則，由，可得，又因為點在坐標軸上，則或，解得或，所以點的坐標為或.故答案為：或.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算、向量的坐標表示，以及向量的共線條件的應用，其中解答中熟記向量的共線條件，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.【復習指導】：向量的坐標運算主要是利用向量的加法、減法、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，求解過程中要注意方程思想的運用．三．向量共線的坐標表示命題點1利用向量共線求參數例3．（1）設向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】根據向量共線定理可得，再應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，，A，B，C三點共線，∴且，則，可得，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為8故選：C.（2）已知，是兩個不共線的平面向量，向量，，若，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平面向量共線定理可設，可得，再根據平面向量基本定理列方程組即可求解.【詳解】因為，所以設，因為，，所以，可得，所以，故選：C．（3）已知，，，且相異三點、、共線，則實數________.【答案】【分析】本題首先可根據向量的運算法則得出、，然后通過題意得出，最后通過向量平行的相關性質即可得出結果.【詳解】，，因為相異三點、、共線，所以，則，解得或，當時，，、重合，舍去，故，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查通過三點共線求參數，主要考查向量平行的相關性質，若，，，則，求出的值后要注意檢驗，考查計算能力，是中檔題.（4）設向量，不平行，向量與平行，則實數_________．【答案】【詳解】因為向量與平行，所以，則所以．考點：向量共線．（5）已知，向量，，且，則θ＝______________．【答案】【分析】由向量共線的坐標運算可得答案.【詳解】因為，所以，所以，因為，，所以，因為，所以，．故答案為：.【復習指導】：平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．命題點2利用向量共線求向量或點的坐標例4．（1）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐標，除以，再考慮方向可得．【詳解】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．（2）已知公比為q的等比數列中，，平面向量，，則下列與共線的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，求出等比數列公比q，再結合向量坐標運算及共線向量即可判斷作答.【詳解】等比數列公比為q，而，則，解得，，，則，對于A，，因，則A不是；對于B，，因，則B不是；對于C，，因，則C不是；對于D，，因，則D是.故選：D（3）已知點，若向量與=同向，=，則點的坐標為________.【答案】（5，4）【分析】設，則，，則，，解得，得到答案.【詳解】設，則，，則，故，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了向量平行，向量的模，意在考查學生的計算能力和轉化能力.（4）已知，若P在的長線上，且，則點P的坐標為______．【答案】【分析】首先利用線段的比值求出λ，進一步利用分點坐標公式，即可求出結果．【詳解】由題意，因為點P在的延長線上，且，所以，可得又由，設，可得，所以點的坐標為．故答案為：【點睛】本題主要考查了定比分點的坐標公式的應用，以及向量的共線條件的應用，著重考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．．（5）在△ABC中，已知點O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點M，則點M的坐標為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2))【詳解】因為點O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以點Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，同理點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))).設M的坐標為(x，y)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2)))，因為A，M，D三點共線，所以eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線，所以－eq\f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，而eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－0，3－\f(5,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))，因為C，M，B三點共線，所以eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(7,4)x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋4y＝20，,7x－16y＝－20，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(12,7)，,y＝2，))所以點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)).1．已知平面向量，不共線，，，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線【答案】D【分析】根據給定條件逐項計算對應三點確定的某兩個向量，再判斷是否共線作答.【詳解】平面向量，不共線，，，，對于A，，與不共線，A不正確；對于B，因，，則與不共線，B不正確；對于C，因，，則與不共線，C不正確；對于D，，即，又線段與有公共點，則，，三點共線，D正確.故選：D2．在△中，D為BC的中點，，，EF與AD交于G，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，根據共線可設，，結合已知及平面向量的基本定理列方程組求參數值.【詳解】由題設，，又，且，所以，即，解得.故選：B.3．過的中線的中點作直線分別交?于?兩點，若，則（

）A．4 B． C．3 D．1【答案】A【分析】由為的中點得到，設，結合，得到，再由，得到，然后利用與不共線求得m，n即可.【詳解】解：由為的中點可知，，，設，則，，，，，與不共線，，解得，故選：.4．如圖，在梯形中，且，，，與交于點O，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】以為基底，設，，用向量分別表示出向量，，由建立方程，解出即可.【詳解】，設又又,設,由即即所以解得，所以故選：B5．如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，點C在弧上，且，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立直角坐標系，求出點的坐標，結合平面向量的基本定理建立方程求解即可.【詳解】如圖所示，以O為原點，OB為x軸，建立直角坐標系，，，即，，，即，又，，，解得，，故選：B【點睛】方法點睛：本題主要考查向量的坐標運算、相等向量以及平面向量基本定理，向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數知識解答，運算法則是平行四邊形法則與三角形法則；二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何或者三角函數問題解答.6．如圖，，，是圓上的三個不同點，且，，則（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，建立直角坐標系，設圓的半徑為1，則可求出的坐標，即可得到向量的坐標，由于不共線，所以利用平面向量基本定理進行求解即可【詳解】解：如圖，建立直角坐標系，設圓的半徑為1，因為，，所以,所以,因為不共線，所以由平面向量基本定理可知存在一對有序實數，使，所以，所以，解得，所以，故選：D7．已知向量，滿足（x，1），（1，﹣2），若∥，則（）A．（4，﹣3） B．（0，﹣3） C．（，﹣3） D．（4，3）【答案】C【解析】根據（x，1），（1，﹣2），且∥，求得向量的坐標，再求的坐標.【詳解】因為（x，1），（1，﹣2），且∥，所以，所以，所以（，1），所以.故選：C【點睛】本題主要考查向量的坐標運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8．已知向量，且，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用向量共線和向量垂直的坐標表示求出x，y，再求出的坐標計算作答.【詳解】向量，由得：，即，由得：，即，于是得，，，所以.故選：B9．設向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根據向量共線定理可得，再應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，，A，B，C三點共線，∴且，則，可得，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為.故選：A10．已知△ABC的三邊分別是a，b，c，設向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，則B的大小是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用正弦定理，把已知條件轉化為a2＋c2－b2＝－ac，利用余弦定理及可求出B.【詳解】因為∥，所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(a＋c).由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，整理得：a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理得cosB＝＝＝－.又0<B<π，所以B＝.故選：B11．△ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，設向量，若，則角C的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為，所以，再根據余弦定理化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.12．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據得出，根據充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.13．已知，為坐標原點，則下列說法正確的是（

）A． B．三點共線C．三點共線 D．【答案】B【分析】根據向量的坐標運算判斷AD，根據共線向量判斷三點共線可判斷BC.【詳解】因為知，所以，故A錯誤；因為，即，所以三點共線，故B正確；因為,所以，即三點不共線，故C錯誤；因為，故D錯誤.故選：B14．已知、，且、、三點共線，則點的坐標可以是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題首先可設點的坐標為，然后通過題意得出，再然后寫出、，最后通過向量平行的相關性質即可列出算式并通過計算得出結果.【詳解】設點的坐標為，因為、、三點共線，所以，因為，，所以，，則，整理得，將、、、代入中，只有滿足，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查通過三點共線求點坐標，主要考查向量平行的相關性質，若，，，則，考查計算能力，是中檔題.15．正方形中，P，Q分別是邊的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，用表示出然后可表示出，即可得出結果.【詳解】由題意，即，解得，∴，又，∴，則故選：C．【點睛】方法點睛：本題考查平面向量基本定理．解題時可選取不共線向量為基底，把其他向量都用基底表示，然后求解．這種方法目標明確，思路清晰，易于求解．16．在中，，，且，，則點的軌跡一定通過的（

）A．重心B．內心C．外心D．垂心【答案】A【分析】過C作，交AB于H，取AB中點D，連接CD，所以，根據向量的線性運算法則，化簡可得，根據三角形的性質，分析即可得答案.【詳解】過C作，交AB于H，取AB中點D，連接CD，如圖所示：根據三角函數定義可得，因為，所以，即，即點P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點為該三角形的重心，所以點的軌跡一定通過的重心.故選：A17．如圖，在直角梯形中，，為邊上一點，，為的中點，則＝（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據平面向量的三角形法則和共線定理即可得答案.【詳解】解：故選：C.【點睛】本題考查用基底表示向量，向量的線性運算，是中檔題.18．在中，點D是線段(不包括端點)上的動點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，由此用表示出，則可得關于的表示，從而通過計算可判斷出正確的選項.【詳解】設，所以，所以，所以，所以，所以，，又，，故選：B.【點睛】結論點睛：已知平面中三點共線(O在該直線外)，若，則必有.19．在中，點滿足，若存在點，使得，且，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】由可得，又，結合已知得，從而可得結果.【詳解】，∴，，可得，∵∴則.故選：A.20．如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量定義，，最后化簡為來表示向量即可.【詳解】故選：B21．已知D，E為所在平面內的點，且，，若，則（

）A．3 B．3 C． D．【答案】A【分析】根據平面向量的線性運算及平面向量基本定理將用表示，求得，即可得出答案.【詳解】解：因為，則，所以，所以，所以，，故.故選：A.22．在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據給定條件探求出，結合轉化為二次函數并求函數的最小值即可.【詳解】在△ABC中，M為邊BC上任意一點，則，于是得，而，且與不共線，則，即有，因此，，當且僅當時取“=”，此時M為BC中點，所以的最小值為.故選：C23．若點是所在平面內一點，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】在平面內取點D，使得，進而得到及間的關系，進而求得各三角形面積的比例.【詳解】在平面內取點D，使得，則由.如圖所示：設，所以，由，則，再由可得，所以.于是.故選：A.24．已知點不共線，為實數，，則“”是“點在內（不含邊界）”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用向量共線的推論及充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】若，且，可知三點共線，若，點在內部（不含邊界），則；反之不成立，例如時，此時在外部，所以“”是“點在內（不含邊界）”的必要不充分條件，故選：B.25．與的夾角為，與的夾角為，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】將沿與方向進行分解，易得，再在中，，代入相關值即可得到答案.【詳解】將沿與方向進行分解，延長、至、，以、為鄰邊、為對角線畫出平行四邊形，如圖，由平行四邊形法則有，且，所以，，又，，在中，，即.故選：D【點睛】本題考查平面向量的基本定理的應用，關鍵點是數形結合得到，考查了學生的計算能力.26．在三角形ABC中，E?F分別為AC?AB上的點，BE與CF交于點Q且，，AQ交BC于點D，，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由題得，，求出的值，再根據，共線，得解.【詳解】因為三點共線，所以,因為三點共線，所以,所以所以所以，因為共線，所以.故選：C【點睛】結論點睛：如果三點共線，則，要根據已知條件靈活運用這個結論解題.27．在數列中，（，為常數），若平面上的三個不共線的非零向量、、滿足，三點、、共線且該直線不過點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數列的定義可知數列為等差數列，由向量中三點共線的結論得出，然后利用等差數列的求和公式可計算出的值.【詳解】，，所以，數列為等差數列，三點、、共線且該直線不過點，，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查等差數列求和，涉及等差數列的定義以及向量中三點共線結論的應用，考查計算能力，屬于中等題.28．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a＋b B.eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(2,3)b【答案】C【詳解】設圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，又∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6)，則根據圓的性質得BD＝CD＝AB，又因為在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.故選C.29．(多選)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構成三角形，則實數m可以是()A．－2B．eq\f(1,2)C．1D．－1【答案】ABD【詳解】各選項代入驗證，若A，B，C三點不共線即可構成三角形．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點就可構成三角形，故選ABD.30．(多選)設a是已知的平面向量且a≠0，關于向量a的分解，有如下四個命題(向量b，c和a在同一平面內且兩兩不共線)，則真命題是()A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋cB．給定向量b和c，總存在實數λ和μ，使a＝λb＋μcC．給定單位向量b和正數μ，總存在單位向量c和實數λ，使a＝λb＋μcD．給定正數λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc【答案】AB【詳解】∵向量b，c和a在同一平面內且兩兩不共線，∴b≠0，c≠0，給定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即為所求的向量c，故總存在向量c，使a＝b＋c，故A正確；當向量b，c和a在同一平面內且兩兩不共線時，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知結論成立，故B正確；取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，無論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根據平行四邊形法則，向量μc的縱坐標一定為4，故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯誤；因為λ和μ為正數，所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長度的向量，這就使得向量a不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D錯誤．故選AB.31．（多選）如圖，在中，點是中點，，和相交于點，下列選項中正確的是（

）A．B．C．D．與的面積之比為1:10【答案】BD【分析】根據條件可得，而，代入上式便可得出，這樣由，，三點共線便可得到，從而可求出的值，進而得出與的比值，從而得到面積之比；【詳解】解：點為的中點，，又，，三點共線，設，，，，又，，三點共線，，，，所以，故C錯誤；所以，故A錯誤；，故B正確；，故與的面積之比為，故D正確．故選：BD．32．如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別交，兩邊于M，N兩點，且，，則的最小值為___________.【答案】【分析】以為基底，由G是的重心和M，G，N三點共線，可得，利用基本不等式求最小值即可.【詳解】根據條件：，因為G是的重心，，，又M，G，N三點共線，.，，當且僅當，即時取等號成立.的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了基底向量、向量的共線定理性質運用、基本不等式的應用等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.33．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉角得到點P.已知平面內點，，把點B繞點A沿順時針方向旋轉后得到點P，則點P的坐標為___________.【答案】.【分析】求得，把點B繞點A沿順時針方向旋轉（即按逆時針方向旋轉）后得到點P，由定義求得，進而可求得點的坐標.【詳解】由題意得，把點B繞點A沿順時針方向旋轉（即按逆時針方向旋轉）后得到點P，則，又，設，則，解得，，即點的坐標為.故答案為：.34．已知點，，則______．【答案】【分析】根據坐標寫出向量，根據向量的模的求法求出.【詳解】，，故答案為：.35．已知平面內兩點P、Q的坐標分別為（2，4）、（2，1），則的單位向量=_____【答案】【分析】利用向量的單位向量的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，兩點的坐標分別為，可得向量，所以向量的單位向量.故答案為：.【點睛】本題主要考查了單位向量的計算與求解，其中解答中熟記向量的單位向量的計算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.36．已知向量，，若，則________．【答案】【分析】根據向量平行可以求出的值，從而確定的坐標，根據模長公式計算向量的模長【詳解】，，，，．故答案為：37．已知向量,，則向量的模的最大值是________.【答案】【分析】求出向量的坐標，根據模的計算公式求出模的表達式，并化簡，根據三角函數的性質求得最大值.【詳解】∵，則，當時，有最大值，且為，故答案為：38．已知等邊三角形的邊長為6，點P滿足，則_________．【答案】【解析】以BC所在的邊為x軸，垂直平分線為y軸建立坐標系，用坐標表示可求得P點坐標求得答案.【詳解】建立如圖所示坐標系，其中O為BC的中點，所以，設，則，，，又因為，所以，，即，，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量模的計算，本題的關鍵點是建立坐標系，根據已知條件計算出P點坐標，再計算向量的模長，這種幾何圖形中的向量運算，轉換成坐標比較容易得到答案.39．已知向量，，且，則等于___.【答案】【分析】根據向量平行的坐標表示列出方程，即可求出．【詳解】因為，所以，所以，所以.故答案為：．40．已知向量，，且，則__________.【答案】【分析】應用向量線性關系的坐標運算求、，根據向量平行的坐標表示列方程求參數.【詳解】由題設，，又，所以，解得.故答案為：41．若{α【答案】(0,2)【詳解】因為a在基底{p，q}下的坐標為(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以a在基底{m，n}下的坐