新教材高中人教B版數(shù)學(xué)選擇性學(xué)案第4章4-3-1第1課時(shí)相關(guān)關(guān)系與回歸直線方程

4.3統(tǒng)計(jì)模型4.3.1一元線性回歸模型第1課時(shí)相關(guān)關(guān)系與回歸直線方程學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解變量間的相關(guān)關(guān)系．(易混點(diǎn))2．會(huì)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷數(shù)據(jù)是否具有相關(guān)關(guān)系．(重點(diǎn))3．了解最小二乘法的思想，會(huì)求回歸直線方程，掌握回歸方程的性質(zhì)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過回歸直線方程及相關(guān)關(guān)系的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模與直觀想象的素養(yǎng)．2．借助回歸直線方程的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．你知道“名師出高徒”的意思嗎？——高明的師傅很可能教出技藝高的徒弟，比喻學(xué)識(shí)豐富的人對(duì)于培養(yǎng)人才的重要．也就是說(shuō)，高水平的老師往往能教出高水平的學(xué)生．問題：那么老師的水平與學(xué)生的水平之間具有怎樣的關(guān)系呢？這種關(guān)系是確定的嗎？該關(guān)系與函數(shù)關(guān)系相同嗎？[提示]老師的水平與學(xué)生的水平之間具有相關(guān)性，一般而言，高水平的老師教出高水平的學(xué)生的可能性更大；但兩者之間雖然具有相關(guān)性，卻不具備確定性，這種關(guān)系是不確定的．不相同．知識(shí)點(diǎn)1相關(guān)關(guān)系如果兩個(gè)變量之間確實(shí)有一定的關(guān)系，但沒有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性，像這樣兩個(gè)變量之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為相關(guān)關(guān)系．1．函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系嗎？[提示]不是．函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量之間是一種確定關(guān)系．1．下列兩個(gè)變量中，具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的體積與棱長(zhǎng)B．勻速行駛的汽車的行駛路程與時(shí)間C．人的身高與體重D．人的身高與視力C[A選項(xiàng)中，正方體的體積與棱長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；B選項(xiàng)中，勻速行駛的汽車的行駛路程與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；C選項(xiàng)中，人的身高會(huì)影響體重，但不是唯一因素，所以人的身高與體重是相關(guān)關(guān)系；D選項(xiàng)中，人的身高與視力無(wú)任何關(guān)系．]知識(shí)點(diǎn)2線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對(duì)數(shù)據(jù)(簡(jiǎn)稱為成對(duì)數(shù)據(jù))，如下表所示．序號(hào)i123…n變量xx1x2x3…xn變量yy1y2y3…yn則在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出點(diǎn)(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到這n對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖．(2)線性相關(guān)：如果由變量的成對(duì)數(shù)據(jù)、散點(diǎn)圖或直觀經(jīng)驗(yàn)可知，變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來(lái)刻畫，則稱x與y線性相關(guān)．(3)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)若x與y線性相關(guān)，如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上也增大，則稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上減少，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．2．下列兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是()A．正方形的面積與邊長(zhǎng)B．吸煙與健康C．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)D．汽車的重量與汽車每消耗1L汽油所行駛的平均路程C[正方形的面積與邊長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，A錯(cuò)誤；吸煙與健康具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，B錯(cuò)誤；汽車越重，每消耗1L汽油所行駛的平均路程越短，所以汽車的重量與汽車每消耗1L汽油所行駛的平均路程具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，D錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)胶茫锢沓煽?jī)也會(huì)越好，所以數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有正相關(guān)關(guān)系，C正確．]知識(shí)點(diǎn)3回歸直線方程一般地，已知變量x與y的n對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1，2,3，…，n．任意給定一個(gè)一次函數(shù)y＝bx＋a，對(duì)每一個(gè)已知的xi，由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值eq\o(y,\s\up7(^))i＝bxi＋a，如果一次函數(shù)eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))能使eq\o(y1－\o(y,\s\up7(^))12＋y2－\o(y,\s\up7(^))22＋…＋yn－\o(y,\s\up7(^))n2＝\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))yi－\o(y,\s\up7(^))i2)取得最小值，則eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))稱為y關(guān)于x的回歸直線方程(對(duì)應(yīng)的直線稱為回歸直線)．因?yàn)槭鞘沟闷椒胶妥钚?，所以其中涉及的方法稱為最小二乘法．其中，回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))yi－\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up7(－))2)，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(x,\s\up7(－))．．eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xi；eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\f(1,n)(y1＋y2＋…＋yn)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))yi．提醒：回歸直線方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))中x的系數(shù)是eq\o(b,\s\up7(^))，表示直線的斜率，注意與《選擇性必修第一冊(cè)》中的一次函數(shù)的關(guān)系式或直線方程y＝ax＋b進(jìn)行區(qū)分．3．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)變量之間的一種確定的關(guān)系． ()(2)回歸直線方程一定過樣本中心點(diǎn)． ()(3)選取一組數(shù)據(jù)的部分點(diǎn)得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程一定相同． ()(4)根據(jù)回歸直線方程得到的結(jié)論一定是可靠的． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×知識(shí)點(diǎn)4回歸直線方程：eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))的性質(zhì)(1)回歸直線一定過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up7(－))，eq\o(y,\s\up7(－)))．(2)回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up7(^))的實(shí)際意義：①eq\o(b,\s\up7(^))是回歸方程的斜率；②當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))增大eq\o(b,\s\up7(^))個(gè)單位．2．y與x正負(fù)相關(guān)的充要條件分別是什么？[提示]當(dāng)eq\o(b,\s\up7(^))＞0時(shí)，y與x正相關(guān)，反之也成立，同理eq\o(b,\s\up7(^))＜0是y與x負(fù)相關(guān)的充要條件．4．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，且過定點(diǎn)(4,5)，則線性回歸方程是________．eq\o(y,\s\up7(^))x[回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，即eq\o(b,\s\up7(^))＝1.23，又回歸直線過定點(diǎn)(4,5)，∴eq\o(a,\s\up7(^))×4＝0.08，∴eq\o(y,\s\up7(^))x＋0.08．]類型1變量間相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】(1)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是________．(填序號(hào))①扇形的半徑與面積之間的關(guān)系；②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③出租車費(fèi)與行駛的里程；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．(2)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬(wàn)元)．x24568y3040605070①畫出散點(diǎn)圖；②從散點(diǎn)圖中判斷銷售金額與廣告費(fèi)支出成什么樣的關(guān)系？(1)②④[在①中，扇形的半徑與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在②中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；③為確定的函數(shù)關(guān)系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．](2)[解]①以x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如圖所示．②從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告費(fèi)支出由小變大時(shí)，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系．兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法1．根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．2．利用散點(diǎn)圖：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷．如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在下列所示的四個(gè)圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是()(1)(2)(3)(4)A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4)D．(2)(3)D[圖(1)的兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系；圖(2)(3)的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系；圖(4)的兩個(gè)變量之間既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系．]類型2求回歸直線方程【例2】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)．x3456y34(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)[解](1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖．(2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：eq\o(∑,\s\up7(4),\s\do7(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝86，eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\,4)＝3.5，已知eq\o(∑,\s\up7(4),\s\do7(i＝1))xiyi＝66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(4),\s\do7(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(4),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up7(－))2)＝eq\f(66.5－4××,86－4×2)＝0.7，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(x,\s\up7(－))×4.5＝0.35．因此，所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))x＋0.35．(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．求回歸方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)．(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．(3)計(jì)算eq\o(x,\s\up7(－))，eq\o(y,\s\up7(－))，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xiyi．(4)代入公式計(jì)算eq\o(b,\s\up7(^))，eq\o(a,\s\up7(^))，公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up7(^))＝\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up7(－))2)，,\o(a,\s\up7(^))＝\o(y,\s\up7(－))－\o(b,\s\up7(^))\o(x,\s\up7(－)).))(5)寫出回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程．[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋1×1＋3×2＝14，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2＝(－3)2＋(－1)2＋1＋32＝20，所以eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(14,20)＝0.7，所以eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(x,\s\up7(－))×9＝－2.3，故回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))x－2.3．類型3回歸直線方程的性質(zhì)及應(yīng)用假設(shè)y與x具有相關(guān)關(guān)系，而且回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))．1．回歸直線方程的單調(diào)性由哪個(gè)參數(shù)決定？[提示]eq\o(b,\s\up7(^))．2．該方程必過哪個(gè)定點(diǎn)？[提示](eq\o(x,\s\up7(－))，eq\o(y,\s\up7(－)))．【例3】(多選題)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))x，則下列結(jié)論中正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)中心(eq\o(x,\s\up7(－))，eq\o(y,\s\up7(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kgABC[當(dāng)x＝170時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))×170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值為58.79kg，故D錯(cuò)誤，ABC均正確．]1．相關(guān)關(guān)系的正、負(fù)相關(guān)類同于函數(shù)的增、減性，與其斜率有關(guān)，必要時(shí)可畫散點(diǎn)圖以增強(qiáng)直觀性．2．由回歸方程得出的函數(shù)值不一定是準(zhǔn)確值，只是個(gè)估計(jì)值．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．(1)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))，則()x345678yA．eq\o(a,\s\up7(^))＞0，eq\o(b,\s\up7(^))＞0 B．eq\o(a,\s\up7(^))＞0，eq\o(b,\s\up7(^))＜0C．eq\o(a,\s\up7(^))＜0，eq\o(b,\s\up7(^))＞0 D．eq\o(a,\s\up7(^))＜0，eq\o(b,\s\up7(^))＜0(2)某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表．氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))中eq\o(b,\s\up7(^))＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為________度．(1)B(2)68[(1)畫出散點(diǎn)圖，知eq\o(a,\s\up7(^))＞0，eq\o(b,\s\up7(^))＜0．(2)eq\o(x,\s\up7(－))＝10，eq\o(y,\s\up7(－))＝40，回歸方程過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up7(－))，eq\o(y,\s\up7(－)))，∴40＝－2×10＋eq\o(a,\s\up7(^))．∴eq\o(a,\s\up7(^))＝60．∴eq\o(y,\s\up7(^))＝－2x＋60．令x＝－4，∴eq\o(y,\s\up7(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68．]1．以下四個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量的關(guān)系適合用線性回歸模型刻畫的是()①②③④A．①②B．①③C．②③D．③④B[①③中的點(diǎn)分布在一條直線附近，適合線性回歸模型．]2．由變量x與y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝2x＋45，則eq\o(y,\s\up7(－))＝()A．135B．90C．67D．63D[∵eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(1,5)(1＋5＋7＋13＋19)＝9，eq\o(y,\s\up7(－))＝2eq\o(x,\s\up7(－))＋45，∴eq\o(y,\s\up7(－))＝2×9＋45＝63，故選D．]3．工人工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝50＋80x，下列判斷正確的是()A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工人工資為130元B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高130元D．當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元B[因?yàn)榛貧w直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元．]4．某地區(qū)近10年居民的年收入x與年支出y之間的關(guān)系大致符合eq\o(y,\s\up7(^))x＋0.1(單位：億元)，預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則今年支出估計(jì)是________億元．12.1[將x＝15代入eq\o(y,\s\up7(^))x＋0.1，得eq\o(y,\s\up7(^))＝12.1．]5．如圖是一組數(shù)