對稱性在微積分學中的應用20150711

（1）如果D關于y軸(x=0)對稱,則有其中其中（2）如果D關于x軸(y=0)對稱,則有二重積分的對稱性其中同上.（3）如果D關于原點對稱,則有推論:若D關于x軸和y軸都對稱,則積分區(qū)域D關于直線y=x對稱，即若(x,y)D,則(y,x)D.二重積分的輪換對稱性：也就是表示D不等式x,y對調(diào)不等式不變,有(1)若D1,D2分別是D中關于直線y=x對稱的兩部分，則：簡述為“你對稱，我奇偶”.則2.二重積分的對稱性（1）如果D關于y軸對稱,則有其中其中（2）如果D關于x軸對稱,則有其中同上.（4）如果D關于直線對稱，則（3）如果D關于原點對稱,則有稱為關于積分變量的輪換對稱性④若

D

關于直線y=x對稱，則簡述為“你對稱，我奇偶”運用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，D位于y=x軸右下方的部分為D1,則則補充：利用對稱性化簡三重積分計算關于z是偶函數(shù)關于z是奇函數(shù)三重積分的輪換對稱性:1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x積分域不變,則2.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x積分域不變,則注:關于對弧長的曲線積分的對稱性①若L關于y軸對稱其中L1是L的關于y軸對稱的部分弧段②若L關于直線y=x對稱(即x與y對調(diào)后L表達式不變)原理:積分值與被積變量用什么字母表示無關注關于對弧長的曲線積分的對稱性①若

L關于xoy平面對稱其中

是

的關于

xoy

平面對稱的部分弧段如果以y代x,以z代y,以x代z后,1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x,

2.(三字母輪換)表達式不變,則的表達式不變,則補充：利用對稱性簡化對面積的曲面積分計算關于z是偶函數(shù)關于z是奇函數(shù)對面積的的曲面積分的輪換對稱性:1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x積分域Σ不變,則2.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x積分域Σ

不變,則完全類似于三重積分的對稱性利用對稱性化簡對坐標的曲線積分①若分段光滑曲線L關于y軸對稱,且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反其中L1是L的關于y軸對稱的部分弧段注意：這里的方向相反是指：關于哪個軸(y)對稱就關于誰(y軸)的方向相反利用對稱性化簡對坐標的曲線積分②若分段光滑曲線L關于x軸對稱,且L在x軸上半部分和在x軸下半部分的方向相反其中L1是L的關于x軸對稱的部分弧段注意：這里的方向相反是指：關于哪個軸(x)對稱就關于誰(x軸)的方向相反注意：這里的方向相反是指：關于哪個軸對稱就關于誰的方向相同例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解法2從點的一段.例1.計算其中L為沿拋物線解:從點的一段.注意：這里的方向相反是指：關于哪個軸對稱就關于誰的方向相同（逆時針方向）.其中C:求解：oyx對坐標的曲面積分滿足輪換對稱性,不滿足一般的對稱性如果積分區(qū)域滿足輪換對稱性，則被積函數(shù)進行輪換后積分值不變,不過要同時輪換dxdy，dydz，dzdx補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算輪換對稱性在微分學中的應用1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x函數(shù)的表達式不變,即函數(shù),如果滿足只需將上式中的將x,y換為y,x,就得到對變量y的偏導數(shù):則稱此函數(shù)關于自變量x,y具有輪換對稱性輪換對稱性在微分學中的應用2.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x函數(shù)的表達式不變函數(shù),如果滿足則稱此函數(shù)關于自變量x,y,z具有輪換對稱性只需將上式中的將x,y,z換為y,z,x就得到對變量y的偏導數(shù):即只需將上式中的將y,z,x

換為z,x,y就得到對變量z的偏導數(shù):例1.

求解法1解法2在點(1,2)處的偏導數(shù).先求后代先代后求函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續(xù).上節(jié)例但是f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!例1.可見：多元函數(shù)的可導既不是連續(xù)的充分條件，也不是連續(xù)的必要條件.例2.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程練習P69，6（1）解

:例4.設解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z

具有輪換對稱性

例4.設解:利用輪換對稱性,注意:x,y,z

具有輪換對稱性

可得三重積分的計算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點選擇：合適的坐標系：直角坐標系，柱面坐標系，球面坐標系；在各種坐標系系下相應的先一后二(穿針法)與先二后一(截面法)；恰當?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限；二重積分的計算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點選擇：合適的坐標系；恰當?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限。*2在掌握基本運算的基礎上，還應了解如何根據(jù)對稱性及輪換對稱性等方法來計算重積分.此外,還要會用對稱性,交換積分次序,變量代換以及重積分性質(zhì)來解決一些較難的問題(計算題及證明題).*1計算的難點：各種坐標系下積分限的確定

利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算各種積分例5.證:(1)若(2)若偶倍奇零利用對稱性計算定積分證明解決：采用適當?shù)膿Q元證明令則所以所以，原命題成立。換元換限練習P2532.

分析

(1)積分區(qū)間相同；(2)被積函數(shù)不同.x軸(y=0)對稱，利用對稱性計算二重積分D位于x軸上方的部分為D1,

則在D上在閉區(qū)域上連續(xù),設區(qū)域D關于

則證:(1)不妨假設積分區(qū)域是X-型的由積分區(qū)域D關于x軸對稱性:證（2）積分區(qū)域由積分區(qū)域D關于x軸對稱性:于是，f(x,y)關于x為奇函數(shù)：f(x,y)關于x為偶函數(shù)：命題:（1）如果D關于y軸(x=0)對稱,則有其中D位于y軸右方的部分為證不妨假定D的右半部分D1為X型區(qū)域：由D關于y軸的對稱性，D的左半部分D2為：則所以則命題:（1）如果D關于y軸(x=0)對稱,則有其中其中（2）如果D關于x軸(y=0)對稱,則有其中同上.（3）如果D關于原點對稱,則有推論:若D關于x軸和y軸都對稱,則積分區(qū)域D關于直線y=x對稱，即若(x,y)D,則(y,x)D.二重積分的輪換對稱性：也就是表示D不等式x,y對調(diào)不等式不變,有(1)若D1,D2分別是D中關于直線y=x對稱的兩部分，則：簡述為“你對稱，我奇偶”.則4.

則提示:如圖,由對稱性知在上是關于y的奇函數(shù)在上是關于

x

的偶函數(shù)AP1821(2)

關于關于

軸解:

積分區(qū)域如圖所示，將區(qū)域分成設

是以為頂點的三角形區(qū)域，是區(qū)域在第一象限部分.四個小區(qū)域，由于區(qū)域軸對稱，區(qū)域4.證明軸對稱，故0809B

而故解：利用對稱性簡化計算因為D關于

x軸對稱，3.

設其中解：利用對稱性簡化計算,因為D關于

y軸對稱，3.設其中xyo解計算二重積分所圍成的閉區(qū)域.例5.和解:D（畫出積分區(qū)域草圖）.其中D為

利用對稱性簡化計算,因為D關于

y軸對稱，且1011B例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,當f(x,y,z)關于z為奇函數(shù)當f(x,y,z)關于z為偶函數(shù)f(x,y,z)關于z為奇函數(shù)：f(x,y,z)關于z為偶函數(shù)：命題4若空間區(qū)域Ω關于xOy面(z=0)對稱，則證不妨假定Ω的上半部分Ω1為XY型區(qū)域：由Ω關于xOy坐標面的對稱性，Ω的下半部分Ω2為：利用積分曲線的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算對弧長的曲線積分命題5若曲線L關于y軸(x=0)對稱，則當f(x,y)關于x為奇函數(shù)當f(x,y)關于x為偶函數(shù)f(x,y)關于x為奇函數(shù)：f(x,y)關于x為偶函數(shù)：證設L的右半部分L1由以下參數(shù)方程給出：由L關于y軸的對稱性，L的左半部分L2的參數(shù)方程為：命題5’若曲線L關于x軸(y=0)對稱，則當f(x,y)關于y為奇函數(shù)當f(x,y)關于y為偶函數(shù)f(x,y)關于y為奇函數(shù)：f(x,y