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2.4、典型環(huán)節(jié)的分析1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。式中c(t)為輸出量,r(t)為輸入量,K為放大系數(shù)(或增益)。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:其數(shù)學(xué)方程為:
一個物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的,雖然元件的結(jié)構(gòu)和作用原理多種多樣,但若考察其數(shù)學(xué)模型,卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種基本類型,稱之為典型環(huán)節(jié)。
這些環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和滯后環(huán)節(jié)1第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析
比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化,下圖給出比例環(huán)節(jié)的實例。在上圖中,運算放大器具有很大的開環(huán)放大系數(shù),且其輸入電流很小,可以忽略,因此A點對地電位近似為零,于是有:而電壓uc又近似等于R1兩端電壓,故有:或式中:uc為輸出電壓,ur為輸入電壓,K=R1
/R0為比例系數(shù)。2第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析u=Kn
下圖為一測速發(fā)電機,在不計所接負載的影響時,其輸出端電壓ur
與輸入轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為:式中為測速發(fā)電機的比例系數(shù)K3第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析傳遞函數(shù)為:2.慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié),其輸入、輸出間的微分方程為:式中T為時間常數(shù),K為比例系數(shù)。
慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化,存在時間上延遲,時間常數(shù)愈大慣性愈大,延遲時間也愈長,時間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。4第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析若在零初始條件下對慣性環(huán)節(jié)輸入單位階躍信號,則有:由拉氏變換得:可見,在單位階躍輸入時慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當t=3T~4T時,輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。如下圖所示5第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析慣性環(huán)節(jié)的實例如下圖所示。
在圖(a)所示的電路中,輸出電壓uc與輸入電壓ur間的微分方程為:式中T=RC為電路的時間常數(shù)。6第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析在圖(b)所示的直流電機的激磁電路中,當以激磁電壓uf為輸入量、以激磁電流if為輸出量時,其電路方程為:或為激磁繞組的電磁時間常數(shù)。式中7第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析
3.3.積分環(huán)節(jié)
積分環(huán)節(jié)的微分方程是:或傳遞函數(shù)為:式中K=1/T,稱為積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù),而T稱為積分時間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由式(2-58)求得積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為:c(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為K,如右圖所示。8第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析下圖給出了積分環(huán)節(jié)的實例。在圖(a)中,因為而輸出電壓uc近似等于電容兩端電壓,所以有在圖(b)中,以電動機的轉(zhuǎn)速n(轉(zhuǎn)/分))為輸入量,以減速齒輪帶動負載運動的軸的角位移θ為輸出量,可得微分方程式中T為計及轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)角單位關(guān)系的常數(shù)。9第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析4.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是:傳遞函數(shù)為:式中T為時間常數(shù),ζ為阻尼比,對振蕩環(huán)節(jié)有:當輸入為單位階躍函數(shù)時,可用拉氏變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng),如右圖所示10第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析下圖給出了振蕩環(huán)節(jié)的實例。圖(a)中,輸出電壓uc和輸入電壓ur之間的微分方程為:圖(b)中,輸出位移y(t)與輸入作用力F(t)之間的微分方程為:可見它們都是典型的振蕩環(huán)節(jié)。11第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析5.微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為:傳遞函數(shù)為:式中τ為微分時間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)在瞬態(tài)過程中其輸出量是輸入量的微商,該環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)運算是微分運算。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為:這是一個強度為τ的理想脈沖。在實際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。12第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析下圖給出了微分環(huán)節(jié)的實例。在圖(a)的電路中,輸出電壓uc與輸入電壓ur間的微分方程為:傳遞函數(shù)為:式中:13第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析在圖(b)中,輸出電流i(t)與輸入電壓ur(t)間的微分方程為:式中其傳遞函數(shù)為:14第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析
在圖(c)中,選取直流測速發(fā)電機的輸入量為轉(zhuǎn)角θ,輸出量為電樞電壓u(t)則其輸入、輸出間的微分方程為顯然其特性相當于一個微分環(huán)節(jié)。15第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析6.純滯后環(huán)節(jié)
當輸入作用到環(huán)節(jié)以后,其輸出量要等待一段時間τ后,才能復(fù)現(xiàn)輸入信號,在時間0到τ的時間內(nèi),輸出量為零,這種具有延時效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為:式中τ為純滯后時間。當輸入信號為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時,其響應(yīng)曲線如下圖(b)所示。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達式為:16第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析
上述各典型環(huán)節(jié),是從數(shù)學(xué)模型的角度來劃分的。它們是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的最基本的構(gòu)成因子。在和實際元件相聯(lián)系時,應(yīng)注意以下幾點:
⑴系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性來劃分的,他與系統(tǒng)中使用的元件并非都是一一對應(yīng)的,一個元件的數(shù)學(xué)模型可能是若干個典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型的組合。而若干個元件的數(shù)學(xué)模型的組合也可能就是一個典型的數(shù)學(xué)模型。⑵同一裝置(元件),如果選取的輸入、輸出量不同,它可以成為不同的典型環(huán)節(jié)。如直流電動機以電樞電壓為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時,它是一個二階振蕩環(huán)節(jié)。但若以電樞電流為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時,它卻是一個積分環(huán)節(jié)。17第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析⑶在分析和設(shè)計系統(tǒng)時,將被控對象(或系統(tǒng))的數(shù)學(xué)模型進行分解,就可以了解它是由哪些典型環(huán)節(jié)所組成的。因而,掌握典型環(huán)節(jié)的動態(tài)特性將有助于對系統(tǒng)動態(tài)特性的分析研究。⑷典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)。
既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為若干典型環(huán)節(jié),那么控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也可以寫成如下一般形式:
18第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析式中
都是微分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)的組合,稱為一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。由于它們在控制系統(tǒng)中較常用,所以也可以把他們當作典型環(huán)節(jié)對待。既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為若干典型環(huán)節(jié),那么控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也可以寫成如下一般形式:19第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析四、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)
對于簡單的控制系統(tǒng),在求取它的傳遞函數(shù)時,可以采用直接計算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程,再經(jīng)過拉氏變換來求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2-9設(shè)下圖所示電路中,輸入電壓為u0,試寫出其傳遞函數(shù)。解:根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式:20第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析消去中間變量,得到輸入、輸出的微分方程式:在零初始條件下,對上式進行拉氏變換,得:由此得出該電路的傳遞函數(shù)為:21第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析
在上述計算過程中,如果先對所列寫的微分方程組作拉氏變換,再消去中間變量,可簡化計算。在零初始條件下,對方程組取拉氏變換,得到:消去中間變量可得:傳遞函數(shù)為:22第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析例2-10設(shè)電動機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如下圖所示,試寫出以給定電壓ur為輸入,電動機轉(zhuǎn)速ω為輸出的傳遞函數(shù)。解:系統(tǒng)工作時,測速機將電動機的實際轉(zhuǎn)速ω測量出來,并轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的電壓uCF,然后與給定電壓ur相比較,得到誤差信號e,e經(jīng)放大裝置再控制電動機。23第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析按照信號傳遞順序,可得到微分方程組:電動機的微分方程直接應(yīng)用例2-3的結(jié)果,即式而測速機的輸出電壓正比于轉(zhuǎn)子的角速度。K為測速機輸出電壓的斜率。在零初始條件下對上述方程進行拉氏變換,得:24第2
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