第六章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)清單高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版

新教材蘇教版2019版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第六章知識(shí)點(diǎn)清單目錄第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)6.1冪函數(shù)6.2指數(shù)函數(shù)6.3對(duì)數(shù)函數(shù)第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)6.1冪函數(shù)一、冪函數(shù)的概念一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).二、常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)(1)y=x；(2)y=x12；(3)y=x2；(4)y=x1；(5)y=x32.常見冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)定義域值域奇偶性單調(diào)性y=xRR奇增y=x2R[0，+∞)偶在[0，+∞)上單調(diào)遞增，在(∞，0)上單調(diào)遞減y=x3RR奇增y=x[0，+∞)[0，+∞)非奇非偶增y=x1{x|x≠0}{y|y≠0}奇在(0，+∞)上單調(diào)遞減，在(∞，0)上單調(diào)遞減三、冪函數(shù)的共同特性1.冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的性質(zhì)(1)當(dāng)α>0時(shí)，函數(shù)y=xα的圖象都過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，1)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)α<0時(shí)，函數(shù)y=xα的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減.四、冪函數(shù)的圖象1.根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象可確定冪的指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系.2.依據(jù)冪函數(shù)的圖象的高低判斷冪的指數(shù)的大小，相關(guān)結(jié)論如下：(1)在x∈(0，1)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)；(2)在x∈(1，+∞)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖高”).五、冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1.冪函數(shù)的性質(zhì)與α的相互確定冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性.反過(guò)來(lái)，也可由冪函數(shù)的性質(zhì)去限制α的取值：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出α的取值范圍；由冪函數(shù)的奇偶性結(jié)合所給條件確定α的值.2.利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法(1)直接法：當(dāng)冪函數(shù)中的冪的指數(shù)相同時(shí)，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?2)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪函數(shù)中的冪的指數(shù)不同時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為相同的冪的指數(shù)，再運(yùn)用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(3)中間量法：當(dāng)冪函數(shù)中的底數(shù)和冪的指數(shù)均不同時(shí)，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值(通常選用0或1)比較大小.6.2指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)叫作指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R.二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：R值域：(0，+∞)圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)，圖象在x軸的上方增函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1減函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1注意：指數(shù)函數(shù)y=ax與y=1ax(a>0，a≠1)的圖象關(guān)于y2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的底數(shù)a對(duì)圖象相對(duì)位置的影響：①在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底大圖高”；②在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底大圖低”.三、指數(shù)函數(shù)圖象的變換1.平移變換(a>0，a≠1)(1)左右平移：把y=ax的圖象向右平移b(b>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=axb的圖象；把y=ax的圖象向左平移b(b>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=ax+b的圖象.(2)上下平移：把y=ax的圖象向上平移b(b>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=ax+b的圖象；把y=ax的圖象向下平移b(b>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=axb的圖象.2.對(duì)稱變換(a>0，a≠1)(1)函數(shù)y=ax與y=ax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)函數(shù)y=ax與y=ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.(3)函數(shù)y=ax與y=ax的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.四、比較指數(shù)冪的大小1.指數(shù)冪比較大小的類型及方法(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.(2)底數(shù)不同，指數(shù)相同：①利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律進(jìn)行判斷；②利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.(3)底數(shù)不同，指數(shù)不同：通過(guò)中間量(常用0或1)來(lái)比較.注意：對(duì)于3個(gè)(或3個(gè)以上)指數(shù)冪的大小比較，可先根據(jù)與特殊值(常用0或1)的大小比較進(jìn)行分組，再比較各組數(shù)的大小.五、解指數(shù)方程或指數(shù)不等式1.指數(shù)方程的解法(1)對(duì)于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指數(shù)方程，通常將方程兩邊化為同底數(shù)冪的形式，用指數(shù)相等

進(jìn)行求解.(2)解復(fù)雜的指數(shù)方程時(shí)，常用換元法轉(zhuǎn)化為解一元二次方程.用換元法時(shí)要特別注意

“元”的范圍，用一元二次方程求解時(shí)，要注意對(duì)一元二次方程根的取舍.2.簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化成以a為底數(shù)的冪的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助函數(shù)y=ax，y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的圖象求解.六、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題1.求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，要觀察函數(shù)是y=af(x)(a>0，a≠1)型還是y=f(ax)(a>0，a≠1)型.(1)函數(shù)y=af(x)(a>0，且a≠1)的定義域與f(x)的定義域相同.(2)求函數(shù)y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定義域，先令u=ax(u>0)，然后確定y=f(u)的定義域，即u=ax的值域，由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式(組)，確定x的取值集合，即y=f(ax)的定義域.2.求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，重點(diǎn)要注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，+∞).(1)求函數(shù)y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性確定函數(shù)y=af(x)的值域.(2)求函數(shù)y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函數(shù)u=ax的單調(diào)性確定其值域，進(jìn)而確定函數(shù)y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域.七、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性1.形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法(1)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間；(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)遞減(增)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法通過(guò)內(nèi)層函數(shù)u=ax的值域確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域，在此定義域內(nèi)討論外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.6.3對(duì)數(shù)函數(shù)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是(0，+∞).二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，+∞)值域：R圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)增函數(shù)；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0；當(dāng)x>1時(shí)，y>0減函數(shù)；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0；當(dāng)x>1時(shí)，y<0注意：對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與y=log1ax(a>0，a≠1)的圖象關(guān)于x三、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變換1.平移變換：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的平移變換同指數(shù)函數(shù)圖象的平移變換，滿足“左加右減，上加下減”的原則.2.對(duì)稱變換(a>0，a≠1)(1)函數(shù)y=logax的圖象與函數(shù)y=logax(即y=log1ax)的圖象關(guān)于x(2)函數(shù)y=logax的圖象與函數(shù)y=loga(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(3)函數(shù)y=logax的圖象與函數(shù)y=loga(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.四、反函數(shù)1.當(dāng)a>0，a≠1時(shí)，y=logax稱為y=ax的反函數(shù).反之，y=ax也稱為y=logax的反函數(shù).一般地，如果函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y=f1(x).2.知識(shí)拓展

(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同，但單調(diào)區(qū)間不一定相同.(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域正好互換.(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.五、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1.對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題求函數(shù)y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的圖象所過(guò)定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x)=1，求出x，即得定點(diǎn)為(x，m).2.根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法作直線y=1，與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，根據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.3.函數(shù)圖象的變換規(guī)律(1)一般地，函數(shù)y=f(x+a)+b(a，b為實(shí)數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度后，再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.(2)含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過(guò)對(duì)稱變換得到的.六、比較對(duì)數(shù)值的大小1.比較對(duì)數(shù)值大小的類型及方法(1)底數(shù)相同，真數(shù)不同：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)底數(shù)不同，真數(shù)相同：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較.(3)底數(shù)不同，真數(shù)不同：利用中間量進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.七、解對(duì)數(shù)不等式1.簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，則需分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論；(2)形如logaf(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(即b=logaab)，借助函數(shù)的單調(diào)性求解；(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解或利用圖象求解.八、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題1.對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)，除了要遵循前面所學(xué)的求函數(shù)定義域的方法外，還要保證對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1.2.求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域的常用方法(1)直接法：根據(jù)函數(shù)解析式的特征，直接得出函數(shù)的值域.(2)配方法：當(dāng)所給的函數(shù)可化為二次函數(shù)形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))時(shí)，可以用配方法求函數(shù)的值域.(3)單調(diào)性法：根據(jù)所給函數(shù)在其定義域(或定義域的某個(gè)子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域.(4)換元法：求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1，f(x)>0)的函數(shù)的值域時(shí)，先換元，令u=f(x)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出u的范圍，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的單調(diào)性、圖象求出y的取值范圍.九、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性1.“定義域優(yōu)先”原則：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間是定