江西省贛州市六校聯(lián)盟2022-2023學年高一5月聯(lián)考數(shù)學試題

2023年高一5月聯(lián)合測評卷數(shù)學考試時間：120分鐘；滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在簽題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數(shù)，則的虛部為（）A. B.1 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法化簡復數(shù)，根據(jù)共軛復數(shù)概念求出虛部.【詳解】，故，的虛部為1.故選：B2.向量，若，則實數(shù)a＝（）A.－4 B.－2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由向量線性運算坐標表示得，結(jié)合向量平行有且，列方程組求參數(shù)值即可.【詳解】由，又，所以且，故，得.故選：B3.在中，點滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的線性運算求解.【詳解】解：因為，所以，．故選：C．4.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則（）A.2 B.0 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】通過對已知條件的轉(zhuǎn)化，得出函數(shù)是周期函數(shù).利用函數(shù)周期性轉(zhuǎn)化求值即可.【詳解】因為，所以，且，則，又可得，，故，所以函數(shù)是周期的周期函數(shù)，．故選：D．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式得到，再將兩邊平方及二倍角的正弦公式計算可得.【詳解】，所以，所以．故選：A．6.在平面直角坐標系中，為第四象限角，角的終邊與以10為半徑的圓交于點，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用任意角的三角函數(shù)定義求得，根據(jù)為第四象限角，判斷的范圍，然后求出的值，最后根據(jù)兩角差的余弦公式求出即可.【詳解】在平面直角坐標系中，為第四象限角，角終邊與半徑為10的圓交于點．故選：C．7.在中，角的對邊分別是．已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，由，利用倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系解得，結(jié)合余弦定理可求的值.【詳解】，由正弦定理得，故，又，，故，，所以．又，設，則，解得或（舍去）．故選：D．8.已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，點，，是與圖象的連續(xù)相鄰的三個交點，若是鈍角三角形，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象的平移可得，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平面幾何的知識即可得出，即可得解.【詳解】由條件可得，，作出兩個函數(shù)圖象，如圖：，，為連續(xù)三交點，(不妨設在軸下方)，為的中點，.由對稱性可得是以為頂角等腰三角形，，由，整理得，得，則，所以，要使為鈍角三角形，只需即可，由，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是準確把握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于的不等式，運算即可.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，下列根據(jù)條件判斷三角形解的情況正確的是（）A.，無解B.，有兩解C.，只有一解D.，只有一解【答案】CD【解析】【詳解】對于，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯誤；對于B，，由正弦定理得，無解，B錯誤；對于C，，有，則，由正弦定理得，有唯一解，C正確；對于，有，則，此時，有唯一解，D正確．故選：CD．10.已知復數(shù)，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A.若，則B.若，則或C若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的形式，乘除法，相等，乘方運算即可求解.【詳解】對于，虛數(shù)不能比較大小，故不正確．對于，設，若，則，所以即所以，若，則成立，此時；若，由得，由得，此時；若，由得，由得，此時；若，由得，所以，此時，所以，若，則或，故正確；對于，設，則，但，故不正確；對于，設，所以，故D正確；故選：BD．11.已知某曲線部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.一條對稱軸方程為C.在上單調(diào)遞增D.圖象可以由圖象向左平移個單位長度得到【答案】ABD【解析】【分析】對于.根據(jù)圖象求得，再由求解判斷；對于B.由求解判斷；對于C：由求解判斷；對于D.利用平移變換求解判斷.【詳解】對于A.因為，所以由圖象知，，所以，又因為，且在的單調(diào)遞減區(qū)間上，所以因為，所以，又因為，所以，所以，故A正確；對于B.，故對稱軸方程為，當時，，故B正確；對于C.由知，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯誤；對于D.圖象向左平移個單位長度得到，，故D正確．故選：ABD．12.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.在向量上的投影向量為C.若，則為的中點D.若在線段上，且，則的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】以為軸，為軸建立直角坐標系，計算各點坐標，計算，A錯誤，投影向量為，B正確，直線與正八邊形有兩個交點，C錯誤，，D正確，得到答案.【詳解】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標系，設，則，整理得到，，，，設，對選項A：，，，錯誤；對選項B：，，，即投影向量為，正確；對選項C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個交點，錯誤；對選項D：，，，，，整理得到，，故，正確.故選：CD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了向量的運算，投影向量，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中建立直角坐標系，將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標運算，可以減少計算量，是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.計算:________．【答案】【解析】【分析】利用誘導公式和兩角差的正弦公式化簡求值.【詳解】．故答案為：．14.已知平面直角坐標系中向量的旋轉(zhuǎn)和復數(shù)有關(guān)，對于任意向量，對應復數(shù)，向量逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，得到復數(shù)，于是對應向量．這就是向量的旋轉(zhuǎn)公式．已知正三角形的兩個頂點坐標是，根據(jù)此公式，求得點的坐標是_______．（任寫一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求出對應的復數(shù)，確定旋轉(zhuǎn)角，利用旋轉(zhuǎn)公式求出對應的復數(shù)，即可列式求解作答.【詳解】設點的坐標為，點，則，從而對應的復數(shù)為，若由逆時針旋轉(zhuǎn)得到，對應的復數(shù)為，因此，解得，則的坐標是；若由逆時針旋轉(zhuǎn)得到，對應的復數(shù)為，因此，解得，則點的坐標是．故答案為：（或）15.用表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，譬如：則方程的解為_______．【答案】【解析】【分析】由正弦函數(shù)的值域，分、和三個類型討論，求方程的解.【詳解】，，，當時，，可得，符合題意；當時，，(i)若，則或．，符合題意，，不符合題意，舍去；（ii）若，則或，符合題意，，不符合題意，舍去；當時，即，故或，此時無意義，舍去．綜上所述，方程的解為或．故答案為：．16.在中，角，，的對邊分別為，，，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式，求出和角的范圍，再結(jié)合已知條件和正弦定理、余弦定理，求解即可.【詳解】在中，角，，的對邊分別為，，，∵，當且僅當時取等號，∴，∴，由余弦定理可知，，∴由正弦定理有，即，∴，∵，∴，∴.∴的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚．17.已知虛數(shù)單位，復數(shù)．（1）若復數(shù)滿足，求；（2）若關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程有一個根是，求的值．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合，得出，利用復數(shù)運算法則，即可求解；（2）根據(jù)題意，代入方程得到，結(jié)合復數(shù)相等的充要條件，列出方程組，即可求解.【小問1詳解】解：由復數(shù)，可得，因為，可得，所以．【小問2詳解】解：因為為實系數(shù)方程的一根，所以，整理得，所以且，解得．所以．18.已知向量滿足，，且.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的運算律及向量垂直的充要條件即可求解；（2）先數(shù)量積知識求出，的值，然后利用數(shù)量積的夾角公式求解即可.【小問1詳解】因為，所以，即，解得，若，則，即，即，解得.【小問2詳解】因為，又，所以，即與的夾角的余弦值為.19.已知．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系，轉(zhuǎn)化為齊次式，代入即可求解；（2）由，求得，進而求得，結(jié)合兩角差的正切公式，即可求解.【小問1詳解】解：由，又由【小問2詳解】解：由，可得，由，得，又由，故，又，得，故，所以，又因為，所以．20.設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）的內(nèi)角所對的邊分別為的面積是且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）綜合應用三角恒等變換與三角函數(shù)的知識即可求得結(jié)果；（2）綜合應用平面向量數(shù)量積、三角函數(shù)、解三角形等知識即可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，，則，所以函數(shù)的值域為．【小問2詳解】由（1）知，，即，，，故，即，由，得，所以，即，又因為，所以，，又，，故.21.為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂，每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務，既解決了老年人的用餐問題，又能減輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評.如圖，送餐人員小夏從處出發(fā)，前往，，三個地點送餐.已知，，，且，.（1）求的長度.（2）假設，，，均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動車在馬路上以的速度勻速行駛，每到一個地點，需要2分鐘的送餐時間，到第三個地點送完餐，小夏完成送餐任務.若忽略電動車在馬路上損耗的其他時間（例如：等紅綠燈，電動車的啟動和停止…），求小夏完成送餐任務的最短時間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求解，進而得，由兩角和與差的余弦公式可得，進而由余弦定理求解，根據(jù)三種不同的送餐路線，計算路程的大小，即可比較求解.【小問1詳解】因為，，所以，在中，由余弦定理，得.【小問2詳解】在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，解得.假設小夏先去地，走路線，路長，假設小夏先去地，因為，所以走路線，路長，假設小夏先去地，走路線，路長，由于，所以小夏走路線，且完成送餐任務的最短時間為.22.已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖像的一條對稱軸．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，若在上恰有奇數(shù)個零點，求實數(shù)與零點個數(shù)．【答案】（1）（2），在共有3035個不同的零點．【解析】【分析】（1）由最小正周期和對稱軸，解出和，得到函數(shù)的解析式；（2）由函數(shù)圖像的變換，得函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的周期性，通過換元法，分類討論在上有奇數(shù)個零點的條件.【小問1詳解】由三角函數(shù)的周期公式可得，所以，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，有，得，由于，所以，則，因此．【