特別解析：特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)

特別解析：特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)（一階線性遞推式）設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足,其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。定理1：設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元?jiǎng)t當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，為0數(shù)列，故（證畢）例1．已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是：例2．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位。當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須（二階線性遞推式）定理2：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例3：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)、迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是：。把代入，得：，，，。把以上各式相加，得：。。解法二（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是：故(分式遞推式)定理3：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根（稱作特征根）時(shí)，若則若中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換，則①∵是特征方程的根，∴將該式代入①式得②將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是③當(dāng)，即=時(shí)，由②式得故當(dāng)即時(shí)，由②、③兩式可得此時(shí)可對(duì)②式作如下變化：④由是方程的兩個(gè)相同的根可以求得∴將此式代入④式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.∴其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)存在使時(shí)，無(wú)意義.故此時(shí)，無(wú)窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有兩個(gè)相異的根、，∴其中必有一個(gè)特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得⑤由第（1）部分的證明過(guò)程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有兩個(gè)相異根、方程有兩個(gè)相異根、，而方程與方程又是同解方程.∴將上兩式代入⑥式得當(dāng)即時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時(shí)對(duì)于都有當(dāng)即時(shí)，上式也成立.由且可知所以(證畢)注:當(dāng)時(shí),會(huì)退化為常數(shù);當(dāng)時(shí),可化歸為較易解的遞推關(guān)系,在此不再贅述.求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一類數(shù)列通項(xiàng)公式的一種有效途徑.1.已知數(shù)列滿足......①其中.定義1:方程為①的特征方程,該方程的根稱為數(shù)列的特征根,記為.定理1:若且,則.定理2:若且,則.例1（09·江西·理·22）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,,且對(duì)滿足的正數(shù)都有.(1)當(dāng)時(shí),求通項(xiàng);(2)略.例2已知數(shù)列滿足,求通項(xiàng).例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)2.已知數(shù)列滿足②其中為常數(shù),且.定義2:方程為②的特征方程,該方程的根稱為數(shù)列的特征根,記為.定理3:若,則,其