2022高考數(shù)學(xué)(全國(guó)新高考一卷)真題及答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新高考I卷）適用地區(qū)：山東、河北、湖北、湖南、江蘇、廣東、福建（語(yǔ)數(shù)外）數(shù)學(xué)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。若集合M={x|x<4}， B. C. D.【答案】D【解析】集合M={x|x<4}，N若，則（）-2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】對(duì)原始兩邊同時(shí)乘以得：，即，所以，即，故選D.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記CA=m，3m?2n B. ?2m+3n C. 3m+2n D. 2m+3n【答案】B【解析】因?yàn)镃B=CA+AB=CA+3AD南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)。已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2。將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.51.0×109m3 B. 1.2×109m【答案】C【解析】由題意140.0km2，180.0km2，h(157.5?148.5)km9km，帶入棱臺(tái)體積，公式可得：.故選C.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為 B. C. D. 【答案】D【解析】總事件數(shù)共，第一個(gè)數(shù)取2時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是3，5，7；第一個(gè)數(shù)取3時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是4，5，7，8；第一個(gè)數(shù)取4時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是5，6；第一個(gè)數(shù)取5時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是6，7，8；第一個(gè)數(shù)取6時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是7；第一個(gè)數(shù)取7時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是8；所以.記函數(shù)fx=sin(ωx+??????????????????????????.????????3\???????????????????????)+b(ω>0)的最小正周期為1 B. C. D. 3【答案】A【解析】，y=fx的函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則有，且，所以，則；解得，由得，，故.設(shè)，b=，c=?lna<b<c B. c<b<a 【答案】C【解析】令，，=1\*GB3①；，所以，所以，所以.=2\*GB3②，令，所以，所以，所以，所以，所以.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是 B. C. D. 【答案】C【解析】記三棱錐高與側(cè)棱夾角為，高為，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為，，則，，，，故，令，，故，即，.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。已知正方體，則直線與所成的角為直線與所成的角為直線與平面所成的角為直線與平面所成的角為【答案】ABD【解析】在正方體中，因?yàn)?，，所以，所以，，故選項(xiàng)A，B均正確；設(shè).因?yàn)?，所以直線與平面所成的角為，在直角△中，，故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；直線與平面所成的角為，故選項(xiàng)D正確，綜上，答案選ABD.已知函數(shù)fxfx有兩個(gè)極值點(diǎn) B. fC.點(diǎn)(0，1)是曲線的對(duì)稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】AC【解析】，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)與，進(jìn)而在或上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，兩個(gè)極值點(diǎn)，A正確.由于，再由連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性知，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，而在區(qū)間，函數(shù)存在極小值，故在此區(qū)間恒成立，即此區(qū)間不存在零點(diǎn)，故只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤.由可知，點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心；曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以答案選AC.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則的準(zhǔn)線為 B. 直線與相切C. D. 【答案】BCD【解析】將代入拋物線方程解得，從而準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤.拋物線方程為，在A處切線的斜率為，切線方程為，B點(diǎn)在切線上，從而與相切，設(shè)直線的斜率為,從而直線的方程為，由于是切線并且斜率為2，所以.將直線方程代入得，我們?cè)O(shè)，，從而由韋達(dá)定理知，，進(jìn)而故C正確.故D正確.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則 B. C. D. 【答案】BC【解析】由為偶函數(shù)可知關(guān)于直線對(duì)稱，由為偶函數(shù)可知：關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合，根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱可知關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱可知：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，綜上，函數(shù)與均是周期為2的周期函數(shù)，所以有，所以A不正確；，，，故，所以C正確.，，所以B正確；又，所以，所以D不正確.故選BC.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】-28【解析】原始等于，由二項(xiàng)式定理，其展開式中的系數(shù)為.寫出與圓和都相切的一條直線的方程.【答案】或或.（答對(duì)其中之一即可）【解析】由圖可得，兩圓外切，且均與直線相切，另過兩圓圓心的直線的方程為，可得與交點(diǎn)為，由切線定理得，兩圓另一公切線過點(diǎn)，設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式可得，解得，即.另由于兩圓外切，因此在公切點(diǎn)處存在公切線與垂直，解得. 若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是.【答案】【解析】易得曲線不過原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為.可得切線方程為，又切線過原點(diǎn)，可得，化簡(jiǎn)得（*），又切線有兩條，即*方程有兩不等實(shí)根，由判別式，得，或.已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為.過且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，則△ADE的周長(zhǎng)是.【答案】13【解析】橢圓離心率為，不妨設(shè)，且△為正三角形，則直線斜率.由等腰三角形性質(zhì)可得，，，由橢圓性質(zhì)得△ADE的周長(zhǎng)等價(jià)于.另設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得.由弦長(zhǎng)公式得.即，.解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（10分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列.求的通項(xiàng)公式；證明：.【解析】：（1），所以，所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，即；累積法可得：，又滿足該式，所以得通項(xiàng)公式為.（2）（12分）記△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.若，求；求的最小值.【解析】（1）由已知條件得:所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，.由（1）知，則，，，由正弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.（12分）如圖，直三棱柱的體積為4，△A1BC的面積為.求到平面的距離；設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值.【解析】（1）設(shè)到平面的距離為，用兩種方法計(jì)算的體積： 故由可得.（2）由于平面，從而，又因?yàn)?，所以平面，進(jìn)而，所以平面，所以，此時(shí)我們?cè)O(shè)，，由已知條件得，，解得.由勾股定理可知，進(jìn)而△為等邊三角形，，我們已經(jīng)知道平面，那么由對(duì)稱性有平面，從而二面角的正弦值即為與的夾角的正弦值，即.（12分）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為.證明：；利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出的估計(jì)值.0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：，【解析】（1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒有差異，則，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）（i），得證；（ii）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，，則，，所以.（12分）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0.求的斜率；若，求△的面積.【答案】（1）的斜率為0；（2）△的面積為【解析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)得得：，故雙曲線方程為；由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，則聯(lián)立直線與雙曲線得：，故，，，化簡(jiǎn)得：，故，即，而直線不過點(diǎn)，故.（2）設(shè)直線AP的傾斜角為α，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，帶入直線得，故，，而，，由，得，故.（12分）已知函數(shù)和有相同的最小值.求；證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【解析】（1），=1\*GB3①時(shí)，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，即沒有最小值.該類情況應(yīng)舍去.=2\*GB3②時(shí)，在上小于0，在上大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處有最小值為，所以在上小于0，在上大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處有最小值為，因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担杂?，即因?yàn)?，所以上式等價(jià)于，令，則恒成立，所以上單調(diào)遞增，又因?yàn)榍?，所以?）證明：由（1），，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.=1\*GB3①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；=2\*GB3②時(shí)，此時(shí)，與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；=3\*GB3③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，（令，則，）所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.其次，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)：即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有因?yàn)?，，，（令，則，）所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)