各種學習1等傾線法

等傾線法由式（8－41）有如果令為一常數(shù)。則根據(jù)上式可在相平面上繪制一條線，相軌跡通過這條線上的各點時，其切線的斜率都相（8-44）同，我們稱之為等傾線。如果取不同的值，……

則可在相平面上繪制一系列的等傾線。如圖8－27所示。

圖8－27用等傾線法繪制相軌跡

（x10,x20)例：含有死區(qū)繼電器特性的非線性系統(tǒng)。線性部分的輸入輸出關(guān)系為非線性部分的輸入輸出關(guān)系由下式表示用等傾線法繪制相軌跡。解引入新的變量e=r-c，并選擇相變量x1=e，于是有由非線性特性f(e)的三種可能值，將相平面分為三個區(qū)。I區(qū)：x1>1，f(x1)=1此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為或Ⅱ區(qū)：-1<x1<1，f(x1)=0此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為Ⅲ區(qū)：x1<－1，f(x1)=－1此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為或一組與水平軸平行的直線。一組與水平軸平行的直線。斜率為－1的直線。等傾線繪制相軌跡圖例：含有死區(qū)特性的非特性系統(tǒng)。r(t)=R·1(t)，試畫出相軌并分析運動規(guī)律。死區(qū)特性的表達式為線性部分微分方程為：將c=r-e代入上式當r(t)=R·1(t)時上式變?yōu)橛煞蔷€性特性的三種可能值，將相平面分為三個區(qū)。I區(qū)：令解得在I區(qū)內(nèi)沒有奇點，有一條平衡線。Ⅱ區(qū)：微分方程為令解得奇點（e0,0)位于Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)的分界線上，是個虛奇點，可能為穩(wěn)定焦點或穩(wěn)定節(jié)點，類型視K、T參數(shù)而定。Ⅲ區(qū)：微分方程為奇點（－e0,0)位于Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)的分界線上，也是個虛奇點。由圖所示，死區(qū)會增加系統(tǒng)誤差例：具有飽和非線性的系統(tǒng)如圖所示，分析r(t)=R·1(t)和r(t)=R+vt時的運動規(guī)律。解：飽和非線性的數(shù)學表達式為線性部分微分方程為：將c=r-e代入上式當r(t)=R·1(t)時上式變?yōu)楫敼ぷ髟贗區(qū),即|e|<e0，x=e，系統(tǒng)的微分方程為相軌跡的斜率方程為當時，所以在本區(qū)內(nèi)的奇點為(0,0)，奇點為實奇點，類型為穩(wěn)定的焦點或節(jié)點(視K、T的取值而定)。設(shè)I區(qū)的奇點為穩(wěn)定焦點，可畫出I區(qū)的相軌跡如圖所示。若工作在Ⅱ區(qū),即e>e0，x=M，系統(tǒng)的微分方程為相軌跡的斜率方程為該區(qū)域內(nèi)沒有奇點。等傾線方程為：為平行于橫軸的直線。令相軌跡的斜率等于等傾線的斜率，可以得到相軌跡的漸近線方程。令α=0，可以得到漸近線方程為：在漸近線的兩側(cè)，相軌跡的斜率趨近于漸近線。由斜率方程可知，在Ⅱ區(qū)：當時，-1/T<α<0，斜率為負。當時，0<α<∞，斜率為正。當時，-∞<α<1/T，斜率為負。若工作在Ⅲ區(qū),即e>e0，x=-M，系統(tǒng)的微分方程為相軌跡的斜率方程為該區(qū)域內(nèi)也沒有奇點，等傾線方程為：