第17講 雙曲線10大基礎(chǔ)題型總結(jié)（原卷版）

第17講雙曲線10大基礎(chǔ)題型總結(jié)【知識梳理】1．雙曲線定義在平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于且）的動點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距．標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)軸實軸長=，虛軸長=離心率注：離心率越大，雙曲線開口越大漸近線方程2．雙曲線的通徑過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．3．點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系對于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價于．點(diǎn)在雙曲線外部，等價于結(jié)合線性規(guī)劃的知識點(diǎn)來分析．4．雙曲線常考性質(zhì)性質(zhì)一雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù);[使用點(diǎn)到直線的距離公式即可證明]性質(zhì)二雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；證明設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，該雙曲線的兩條漸近線方程分別是和，點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別是和，則．5.雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）【題型目錄】題型一:雙曲線的定義題型二：利用雙曲線定義求長度題型三：利用雙曲線定義求參數(shù)范圍題型四：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型五：利用雙曲線定義求三角形周長題型六：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積題型七：雙曲線的漸近線方程題型八：漸近線與離心率的關(guān)系題型九：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為題型十：已知漸近線方程求雙曲線方程【典型例題】題型一:雙曲線的定義【例1】（2022全國高二課時練習(xí)）動點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則當(dāng)和時，點(diǎn)的軌跡分別是（）A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線【例2】（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線【例3】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））平面上有兩個定點(diǎn)A，B及動點(diǎn)P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線”，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例4】（2022·廣東·深圳市羅湖外語學(xué)校高二階段練習(xí)）相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【例5】（2022·四川省資陽中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知定點(diǎn)，，M是上的動點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為N，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線【題型專練】1.（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿足動點(diǎn)的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）－＝4表示的曲線方程為（

）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)3.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是___________.4.（2022·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，求曲線的方程；5.（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為________.題型二：利用雙曲線定義解題【例1】（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．或 D．或【例2】（2022·河南·信陽高中高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【例3】（2022·青海西寧·二模（文））設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．2【例4】已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為．【題型專練】1.（2022·浙江·瑞安市第六中學(xué)高二開學(xué)考試）直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（

）A．2 B．6 C．8 D．102.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則（

）A． B． C． D．3.已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則4.已知F1、F2分別為雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為∠F1AF2的角平分線．則|AF2|=.題型三：利用雙曲線定義求參數(shù)范圍【例1】（2022·貴州遵義·高二期末（理））“”是“為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例2】（2021·四川·雙流中學(xué)高二開學(xué)考試（文））方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（

）A． B．C．或 D．【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【例4】（2022重慶市求精中學(xué)校高二階段練習(xí)多選題）已知曲線的方程為，下列說法正確的是（

）A．若，則曲線為橢圓B．若，則曲線為雙曲線C．若曲線為焦點(diǎn)在軸的橢圓，則D．若為雙曲線，則漸近線方程為【題型專練】1.（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高二期末多選題）若方程所表示的曲線為，則下面四個命題中正確的是（

）A．若為橢圓，則 B．若為雙曲線，則或C．曲線可能是圓 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則2.（2022·重慶八中模擬預(yù)測多選題）曲線C的方程為，則下列說法正確的是（

）A．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為圓B．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓C．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為雙曲線D．無論（且）取何值，曲線C的焦距為定值3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4.（2022·河南·高二期中（文））已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2022·陜西渭南·高一期末）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．6.2022·全國·高二課時練習(xí)）方程，若兩實數(shù)異號，則它的圖像是（

）．A．圓，且圓心在軸上 B．橢圓，且焦點(diǎn)在軸上C．雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上 D．雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上題型四：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】（2022全國·高二單元測試多選題）已知雙曲線，則下列結(jié)論正確的有（

）A．焦點(diǎn)在y軸上 B．實軸長為4 C．虛軸長為6 D．離心率為【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（其中，）的焦距為，其中一條漸近線的斜率為2，則______．【例3】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在x軸上，焦距為10，離心率是；(2)一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為，實軸長為12；(4)漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為和．【例4】（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高二階段練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【例5】（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩點(diǎn)，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【題型專練】1．（2021·江蘇·濱?？h八灘中學(xué)高二期末多選題）已知雙曲線方程為，則下列說法正確的有（

）A．離心率為 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C．實軸長為4 D．漸近線方程為2.（2022·上海市第三女子中學(xué)高二期末）若雙曲線的一個焦點(diǎn)為，則實數(shù)__________．3.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知雙曲線方程為，焦距為6，則k的值為________.4.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，且以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距長為16，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．5.（2022·全國·高二課時練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為，，且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差為2；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點(diǎn)；(3)經(jīng)過點(diǎn)，.6.（2021·全國·高二課時練習(xí)）1.分別求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以圓：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為1；(3)焦點(diǎn)為，且與雙曲線有相同的漸近線．題型五：利用雙曲線定義求周長【例1】（2022·江蘇·高二）雙曲線過焦點(diǎn)的弦AB，A、B兩點(diǎn)在同一支上且長為m，另一焦點(diǎn)為，則的周長為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【例2】過雙曲線左焦點(diǎn)F1的弦AB長為6，則（F2為右焦點(diǎn)）的周長（）A．28B．22 C．14 D．12【題型專練】1.已知為雙曲線的左焦點(diǎn),為上的點(diǎn),若的長等于虛軸長的2倍,點(diǎn)在線段上,則的周長為____________.2.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線同一支上的兩點(diǎn)．若，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．3.（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，若，則的周長為（

）A． B． C． D．題型六：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積【例1】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．是上一點(diǎn)，且．若△的面積為，則（）A．1 B．2 C．4 D．8【題型專練】1.（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)，是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則△的面積為（）A． B．3 C． D．22．（2022·河南·商丘市第一高級中學(xué)高二期末（文））已知，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積是______．題型七：雙曲線的漸近線方程焦點(diǎn)在軸上的漸近線為焦點(diǎn)在軸上的漸近線為若雙曲線的方程為，要求漸近線只需令，解出即可即已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程?！纠?】（2022·廣東潮州·高二期末）已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全國·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【題型專練】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．2.（2022·河南許昌·高二期末（文））雙曲線與有相同的（

）A．離心率 B．漸近線 C．實軸長 D．焦點(diǎn)3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數(shù)m的值為（

）A． B．9 C． D．34．（2022·四川南充·高二期末（文））若雙曲線的漸近線與圓相切，則______．題型八：漸近線與離心率的關(guān)系【例1】雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A．B． C． D．【例2】（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線的漸近線方程為，則的離心率（

）A．3 B． C． D．【題型專練】1．（2022·河南省葉縣高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．題型九：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為【例1】（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）若雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【例2】【2018高考天津文理7】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 （）A． B．C． D．【例3】【2018高考全國3理11】設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 （）A． B．2 C． D．【題型專練】1．（2014新課標(biāo)1文理）已知是雙曲線：的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為A．B．3C．D．2．已知雙曲線的兩條漸近線均和圓：相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為A．B．C．D．3.已知雙曲線的右焦