第六章-定積分及其應(yīng)用

第六章定積分及其應(yīng)用1．證明：設(shè)為上連續(xù)且非負(fù)，則的充要條件為在上恒為零，即。證明：充分性是顯然的，以下證明必要性。法1：反證法。若存在為的某一連續(xù)點(diǎn)，且，則，使，從而有與已知矛盾。從而結(jié)論成立。法2：對(duì)一切的有從而，。那么即。2．利用定積分求極限：1）；2）。解：1）2）3．設(shè)在上為連續(xù)函數(shù)，為單調(diào)的連續(xù)可微函數(shù)。證明：存在，使得。證明：這是加強(qiáng)條件的積分第二中值定理，有一個(gè)不難的證明。設(shè)，，則有由假設(shè)為單調(diào)函數(shù)，故不變號(hào)，從而，使得4．設(shè)連續(xù)，，求。解：令，則所以。5．設(shè)連續(xù)，且，求。解：令，對(duì)兩邊積分有：所以。則。6．設(shè)在區(qū)間上可微，且滿足條件。試證：存在，使。證明：令，則存在，使又由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，由Rolle定理可知：所以左右。11．設(shè)，求。解：法1：令，則，法2：即原式12．若函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：。證明：由，利用Cauchy-Schwarz不等式同理由，記，于是13．證明Cauchy-Schwarz不等式：若和都在上可積，則有證明：法1：對(duì)任意實(shí)數(shù)上式右端是的二次三項(xiàng)式，則其判別式非正，即故原式得證。法2：令，則。所以在上單調(diào)遞增，即。14．（Young不等式）設(shè)（）是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，。是它的反函數(shù)，求證：（，）等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。證明：1先證成立。（2）由是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，故在也是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，故式（2）中的積分有意義。將等份，記分點(diǎn)為相應(yīng)的點(diǎn)（）構(gòu)成區(qū)間的一個(gè)劃分。由在連續(xù)，故一致連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，對(duì)上述劃分有：故故式（2）得證。2由式（2）可知，若，則所要證的不等式中等號(hào)成立。3若，則由的連續(xù)性可知，存在，使，于是（）4若的情形，只要將看成的反函數(shù)，即可由3的結(jié)論得到。5聯(lián)系2、3、4可知所要證明的不等式成立。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。15．證明Minkowski不等式：若和都在上可積，則有其更一般的形式是（）。證明：又由Cauchy-Schwarz不等式得所以從而16．計(jì)算下列積分的值（1）（2）（3）解：（1）。（2）。（3）。17．設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)有，證明存在唯一的使曲線與，所圍圖形的面積是曲線與，所圍圖形的面積的三倍。證明：設(shè)對(duì)任意，則，令，。問(wèn)題是要證明存在唯一的使。顯然在上連續(xù)，且則存在使。又，即單增，故存在唯一的使。18．求擺線，的一拱（），與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：本題用柱殼法求較易。故19．半徑為、比重為的球沉入水中。試求把球提提出水面需作的功。分析：由于球的比重與水相同，處于懸浮狀態(tài)，因此可設(shè)初始時(shí)刻球的頂部與水面相齊；而且把球從水中提出的作功問(wèn)題，相當(dāng)于把球形水罐中的水從頂部全部抽出的作功問(wèn)題。只是這里在把球的每一薄片提升至水面時(shí)并不需要作功，需要克服重力作功的是將它繼續(xù)提升至使整個(gè)球離開水面的那一段距離。解：設(shè)球的頂與水面相切，以水平面為軸