專題10 函數(shù)對稱問題（解析版）

專題10函數(shù)對稱問題一、單選題1．（2021·安徽省滁州中學高三月考（文））已知函數(shù)的圖象上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上,則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線與在和上各有兩個交點，借助函數(shù)圖像與導數(shù)的幾何意義求出與的兩段圖像相切的斜率即可求出的取值范圍.【詳解】直線關(guān)于直線的對稱直線為，則直線與的函數(shù)圖像有個交點，當時，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出與直線的函數(shù)圖像，如圖所示：設(shè)直線與相切，切點為，則，解得，設(shè)直線與相切，切點為，則，解得，與的函數(shù)圖像有個交點，直線與在和上各有個交點，故選：A【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖像，屬于中檔題.2．（2021·全國·高一課時練習）若直角坐標平面內(nèi)的兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)的圖象上；②P，Q關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“友好點對”（注：點對與看作同一個“友好點對”）．已知函數(shù)，則此函數(shù)的“友好點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)題意“友好點對”的定義，欲求的“友好點對”，只須作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象，以及函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象交點的個數(shù)，即可求解.【詳解】由題意，當時，可得，則，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是，根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖象及函數(shù)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象可得兩個函數(shù)的圖象共有兩個公共點，即函數(shù)的“友好點對”有2對.故選：C.3．（2021·福建·廈門一中高一競賽）若函數(shù)y＝f(x)圖象上存在不同的兩點A，B關(guān)于y軸對稱，則稱點對[A，B]是函數(shù)y＝f(x)的一對“黃金點對”（注：點對[A，B]與[B，A]可看作同一對“黃金點對”）已知函數(shù)，則此函數(shù)的“黃金點對”有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對【答案】C【分析】將關(guān)于y軸對稱得到y(tǒng)＝9－2x，x＞0，問題轉(zhuǎn)化為y＝9－2x，x＞0與、交點的個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】由題意關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y＝9－2x，x＞0，作出函數(shù)f(x)和y＝9－2x，x＞0的圖象，由圖象知當時，聯(lián)立y＝4x－x2和y＝9－2x，x＞0，得x2－6x＋9＝0，所以，當時，聯(lián)立和y＝9－2x，x＞0得，解得，（舍），故兩圖象有2個交點．所以函數(shù)f(x)的“黃金點對”有2對．故選：C4．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐標平面內(nèi)A、B兩點滿足①點A、B都在函數(shù)的圖像上；②點A、B關(guān)于原點對稱，則點是函數(shù)的一個“姊妹點對”.點對與可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數(shù)，則的“姊妹點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，“姊妹點對”滿足兩點：都在函數(shù)圖像上，且關(guān)于坐標原點對稱，作出函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的圖像，再作出函數(shù)，由圖像可得結(jié)論【詳解】解：根據(jù)題意可知，“姊妹點對”滿足兩點：都在函數(shù)圖像上，且關(guān)于坐標原點對稱.可作出函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的圖像，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可.如圖所示：當x=1時，觀察圖象可得：它們有2個交點.故選：C.5．（2021·全國·高三專題練習（文））若M，N為函數(shù)圖象上的兩個不同的點，且M，N兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對(M，N)為函數(shù)的一個“配合點對”(點對(M，N)與點對(N，M)為同一“配合點對”).現(xiàn)給定函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若函數(shù)的圖象上恰有兩個“配合點對”，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)0)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象所對應的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個交點，然后求出的單調(diào)性，得出其大致圖像，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】函數(shù)0)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象所對應的函數(shù)為的圖象上恰好有兩個“配合點對”等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即方程有兩個不等式的正實數(shù)根，即有兩個不等式的正實數(shù)根，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個交點.，，所以在上單調(diào)遞增，且所以當時，，單調(diào)遞減.當時，，單調(diào)遞增.且時，，時，所以如圖，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有令個交點.則，解得.故選：B.【點睛】本題考查：函數(shù)中的新定義問題和根據(jù)函數(shù)圖像交點求參數(shù)范圍，解答本題的關(guān)鍵是由題意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個交點，然后求出的單調(diào)性，得出其大致圖像，數(shù)形結(jié)合可得答案，屬于中檔題.6．（2021·全國·高一專題練習）在直角坐標平面內(nèi)的兩個不同點M，N滿足條件：①M，N都在函數(shù)的圖像上；②M，N關(guān)于原點對稱．則稱點對為函數(shù)的一對“友好點對”（注：點對與為同一“友好點對”）已知函數(shù)，此函數(shù)“友好點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)題意，“友好點對”可知，要求解的“友好點對”，只需作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，結(jié)合圖象的交點個數(shù)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，當時，可得，則，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，由題意知，作出函數(shù)的圖象及函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象及指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的變化速度可得兩個函數(shù)圖象沒有交點，即函數(shù)的“友好點對”有：0個.故選：A.【點睛】方法點撥：把函數(shù)的“友好點對”，轉(zhuǎn)化為作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)為與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象的交點個數(shù)是解答的關(guān)鍵.7．（2021·江西·上高二中高二月考（文））若圖象上存在兩點，關(guān)于原點對稱，則點對稱為函數(shù)的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”）若恰有兩個“友情點對”，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先轉(zhuǎn)化“友情點對”為把時的函數(shù)圖像沿著原點對稱對稱過去，和時函數(shù)圖像的交點，即的圖像和的交點，所以只要有兩解即可，求導畫圖即可得解.【詳解】根據(jù)題意，若要求“友情點對”，可把時的函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，研究對稱過去的圖像和時的圖像有兩交點即可，關(guān)于原點對稱的解析式為，考查的圖像和的交點，可得，，令，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，其圖象為，故若要有兩解，只要即可，故選：A【點睛】本題考查了新定義問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像，同時考查了函數(shù)對稱問題，屬于較難題.本題關(guān)鍵點有：（1）正確理解“友情點對”；（2）正確的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程問題；（3）掌握利用導數(shù)研究單調(diào)性.8．（2021·湖南·高三月考）若直角坐標平面內(nèi)，兩點滿足：①點，都在函數(shù)的圖象上；②點，關(guān)于原點對稱，則稱點是函數(shù)的一個“姊妹點對”點對與可看作是同一個“姊妹點對”．已知函數(shù)恰有兩個“姊妹點對”，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有兩個交點，即方程在上有兩個不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)，分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意知函數(shù)恰有兩個“姊妹點對”，等價于函數(shù)，與函數(shù)，的圖象恰好有兩個交點，所以方程，即在上有兩個不同的解，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；當時，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，又由，所以函數(shù)在上有且僅有一個零點，令，則，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，即，又由，所以函數(shù)在上有且僅有一個零點．綜上可得：，即實數(shù)的取值范圍是．故選：A.【點睛】對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導數(shù)的零點，難度較大.9．（2021·浙江·高一期末）定義：若函數(shù)的圖像上有不同的兩點，且兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“鏡像”，點對與看作同一對“鏡像點對”，已知函數(shù)，則該函數(shù)的“鏡像點對”有（）對.A． B． C． D．【答案】C【分析】由新定義可知探究y軸左側(cè)部分圖像關(guān)于原點中心對稱的圖像與y軸右側(cè)部分圖像的交點個數(shù)即得結(jié)果.【詳解】由題意可知，函數(shù)的圖像上有不同的兩點，且兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“鏡像”，因為，由y軸左側(cè)部分圖像關(guān)于原點中心對稱的圖像，即，，作函數(shù)，和的圖象如下：由圖像可知兩圖象有三個公共點，即該函數(shù)有3對“鏡像點對”.故選：C.【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解新定義，尋找對稱點對，探究y軸左側(cè)部分圖像關(guān)于原點中心對稱的圖像與y軸右側(cè)部分圖像的交點個數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合，即突破難點.10．（2021·浙江·高三專題練習）若直角坐標系內(nèi)A，B兩點滿足：（1）點A，B都在圖象上；（2）點A，B關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“和諧點對”，與可看作一個“和諧點對”.已知函數(shù)則的“和諧點對”有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于原點對稱的函數(shù)與在交點的個數(shù)，先求出關(guān)于原點對稱的函數(shù)，利用導數(shù)方法求出在解的個數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)是關(guān)于原點對稱函數(shù)圖象上的點，則點P關(guān)于原點的對稱點為在上，，設(shè)，“和諧點對”的個數(shù)即為與在交點的個數(shù)，于是，化為，令，下面證明方程有兩解，由于，所以，解得，∴只要考慮即可，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，，∴存在使得，當單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，，，∴函數(shù)在區(qū)間，分別各有一個零點，即的“和諧點對”有2個.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義，等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，利用函數(shù)導數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}.11．（2021·北京育英中學高三月考）若函數(shù)圖象上存在兩個點A，B關(guān)于原點對稱，則點對稱為函數(shù)的“友好點對”且點對與可看作同一個“友好點對”若函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，恰好有兩個“友好點對”則實數(shù)m的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【分析】求出當時關(guān)于原點對稱的函數(shù)，條件轉(zhuǎn)化為當時，與的圖象恰好有兩個不同的交點，求函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：當時，關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，即，，設(shè)，，條件等價為當時，與的圖象恰好有兩個不同的交點，則，，當時，函數(shù)取得最大值，當時，，．由得，此時為增函數(shù)，由得，此時為減函數(shù)，即當時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值，作出當時，與的圖象如圖：要使兩個圖象恰好有兩個不同的交點，則，即，即，即，故選C．【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應用，以及分段函數(shù)的圖象，利用定義作出關(guān)于原點對稱的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強，考查學生的作圖能力．12．（2021·河北·張家口市第一中學高二期中）已知函數(shù)的圖象上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可化為函數(shù)圖象與的圖象有且只有四個不同的交點，結(jié)合題意作圖求解即可．【詳解】解：函數(shù)的圖象上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，而函數(shù)關(guān)于直線的對稱圖象為，的圖象與的圖象有且只有四個不同的交點，作函數(shù)的圖象與的圖象如下，易知直線恒過點，設(shè)直線與相切于點，，故，解得，，故；設(shè)直線與相切于點，，故，解得，；故，故，即；故選：【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應用，同時考查了學生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應用，屬于難題．13．（2021·安徽省懷遠第一中學高二月考（理））已知函數(shù)(，e為自然對數(shù)的底數(shù))與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，分離參數(shù)可得，令，利用導數(shù)求出值域即可求解.【詳解】因為函數(shù)()與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則函數(shù)(，e為自然對數(shù)的底數(shù))與函數(shù)的圖象有交點，即在上有解，即在上有解，令，（），，當時，，函數(shù)為減函數(shù)，當時，，函數(shù)為增函數(shù)，故時，函數(shù)取得最小值，當時，，當時，，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了計算求解能力，屬于中檔題.14．（2021·陜西·永壽縣中學高二月考（理））已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由、關(guān)于軸對稱，問題轉(zhuǎn)化為與在上有交點，構(gòu)造，則在有解，利用導數(shù)研究單調(diào)性并求最值，即可求的取值范圍.【詳解】由題意，、關(guān)于軸對稱，∴與在上有交點，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：由、關(guān)于軸對稱，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有交點，再構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)求極值，進而求參數(shù)范圍.15．（2021·海南·農(nóng)墾中學高三月考）已知函數(shù)若的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意得存在實數(shù)，使得即成立．求出函數(shù)的值域，使得即可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意得，存在實數(shù)，使得成立，即存在實數(shù)，使得成立．設(shè)，則．所以當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，，所以函數(shù)的值域為．于是當時，存在實數(shù)，使得成立，即函數(shù)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點．故選：C．16．（2021·山西運城·高二期中（理））已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的不同兩點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于對稱的不同兩點，則存在，，且，使得，即，構(gòu)造函數(shù)，，故問題轉(zhuǎn)化為存在，使得函數(shù)與有交點，然后通過研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于對稱的不同兩點，則存在，，且，使得，則，因此，設(shè)，，故問題轉(zhuǎn)化為存在，使得函數(shù)與有交點，又在上恒成立，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此，為使函數(shù)與有交點，只需.故選：B.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．17．（2021·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的不同兩點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中條件，得到存在，，且，使得，整理得，構(gòu)造函數(shù)，，將題中條件轉(zhuǎn)化為存在，使得函數(shù)與有交點，利用導數(shù)的方法判定單調(diào)性，求出其值域，即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于對稱的不同兩點，則存在，，且，使得，則，因此，設(shè)，，故問題轉(zhuǎn)化為存在，使得函數(shù)與有交點，又在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此，為使函數(shù)與有交點，只需.故選：B.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)有零點（方程有實根）求參數(shù)時，一般需要分離參數(shù)，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)的方法研究新函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域等，即可求解.（有時也需要利用數(shù)形結(jié)合的方法求解）18．（2021·山東·棗莊市第三中學高三月考）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得關(guān)于軸對稱的函數(shù),則,整理可得在上有解,設(shè),可轉(zhuǎn)化問題為與的圖象在上有交點,再利用導函數(shù)求得的范圍,進而求解.【詳解】由關(guān)于軸對稱的函數(shù)為,令,得,則方程在上有解,即方程在上有解,設(shè),即可轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有交點,,令，則在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，∴，即在上恒成立，在上為增函數(shù),當時,則,所以,故選:D【點睛】本題考查利用導函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,考查利用導函數(shù)處理函數(shù)的零點問題,考查轉(zhuǎn)化思想.19．（2021·四川·瀘州老窖天府中學高三月考）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性可知一定在，將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，令，利用導數(shù)可求得的值域，所求得的值域即為的取值范圍.【詳解】設(shè)上的點，則該點關(guān)于對稱的點為一定在上，，即在上有解，設(shè)，則，設(shè)，則，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，則，在上單調(diào)遞減；當時，，則，在上單調(diào)遞增；當時，取極小值也是最小值，，又，，且，在上的值域為，若在上有解，則.故選：D.【點睛】方法點睛：本題解題關(guān)鍵是利用對稱關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為在上有解的問題；已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法為：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解20．（2021·江西省都昌縣第二中學高二月考（理））已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，得到方程，可得在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知方程在區(qū)間上有解，再轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)有解，構(gòu)造函數(shù)，，得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.函數(shù)在處有最小值，又，，且，∴，所以，，故選：B.【點晴】本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程在上有解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中等題.21．（2021·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)與關(guān)于對稱.題目轉(zhuǎn)化為曲線與有公共點，即方程有實數(shù)解.分離常數(shù)后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)求得的取值范圍，從而求得的最大值.【詳解】由題可知，曲線與有公共點，即方程有實數(shù)解，即有實數(shù)解，令，則，所以當時，；當時，，故時，取得極大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值為.故選：C【點睛】求解含有參數(shù)的方程有解問題，可以考慮分離常數(shù)法，然后通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)求進行求解.22．（2021·浙江·杭州高級中學高一期中）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為在時，有解即可，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，可以數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】解：與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，等價為在時，有解即可，則，即，在上有解即可，設(shè)，，作出兩個函數(shù)的圖象如圖：當時，，當，將的圖象向右平移，此時一定與有交點，滿足條件，當時，則，得，綜上，即實數(shù)的取值范圍是故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)與方程的應用，結(jié)合條件進行轉(zhuǎn)化為在時，有解即可，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類討論的思想.二、多選題23．（2021·湖北·荊州中學模擬預測）若圖象上存在兩點A，B關(guān)于原點對稱，則點對稱為函數(shù)的“友情點對”(點對與視為同一個“友情點對”)若恰有兩個“友情點對”，則實數(shù)a的值可以是（）A．0 B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)所給新定義，進行轉(zhuǎn)化，首先求出時關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，即在上有兩解，構(gòu)造函數(shù)，研究的圖像與性質(zhì)，即可得解.【詳解】首先求出時關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，若要恰有兩個“友情點對”，則有兩解，即在上有兩解，令，求導可得，，當，，為減函數(shù)，當，，為增函數(shù)，則，所以其圖像為：若要在上有兩解，則，故選：BD【點睛】本題考查了函數(shù)新定義，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)，考查了函數(shù)方程思想，同時考查了轉(zhuǎn)化思想，有一定計算量，屬于中檔題.本題的關(guān)鍵有：（1）理解“友情點對”，并轉(zhuǎn)化為一側(cè)函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱過去后和另一側(cè)函數(shù)圖像的交點；（2）把方程解得問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題.24．（2021·浙江·高一期末）已知函數(shù)（且）若此函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則實數(shù)m的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)圖像上存在關(guān)于原點對稱的點，轉(zhuǎn)化為有解，利用參數(shù)分離法進行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】若函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，即有解，即，即，即，設(shè)，則，則在為增函數(shù)，設(shè)，則，則要使有解，則，即實數(shù)的取值范圍是；故選：CD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為有解，利用參數(shù)分離法進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題25．（2021·廣東廣州·高一期末）已知函數(shù)，若的圖象上有且僅有2個不同的點關(guān)于直線的對稱點在直線，則實數(shù)的取值是________．【答案】2【分析】由題知，先求出直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為，進而將問題轉(zhuǎn)化為圖象與函數(shù)的圖象有2個交點，進一步討論將問題轉(zhuǎn)化為，故令，進而轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有2個交點，再結(jié)合的性質(zhì)求解即可.【詳解】直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為，對應的函數(shù)為，其圖象與函數(shù)的圖象有2個交點．對于一次函數(shù)，當時，，由知不符合題意．當時，令，可得，此時，令．當時，為增函數(shù)，，當時，為先增再減函數(shù)，．結(jié)合圖象，直線與函數(shù)有2個交點，因此，實數(shù)，即．故答案為：2【點睛】本題考查直線的對稱性問題，函數(shù)圖象的交點個數(shù)求參數(shù)問題，考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，將問題轉(zhuǎn)換為圖象與函數(shù)的圖象有2個交點問題，進而進一步轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有2個交點求解.26．（2021·河北·正定中學高二月考）已知函數(shù)的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】由題意可化為函數(shù)圖象與的圖象有且只有2個不同的交點，令，參變分類可得，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為，即，對應的函數(shù)為.所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點.對于一次函數(shù)，當時，，且.則直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標不可能為.當時，令，可得，此時，令.當時，，當時，；當時，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值為；當時，，當時，；當時，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為.作出函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象可知，當或時，即當或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了學生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應用，屬于中檔題．27．（2021·全國·高三開學考試）已知函數(shù)，，，若與的圖象上分別存在點?，使得?關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】利用數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像在上有交點．又可通過求的反函數(shù)來求得前面對稱圖像函數(shù)．有交點轉(zhuǎn)化為方程有解問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，從而本題得解．【詳解】與的圖象上分別存在點，，使得，關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱圖像與函數(shù)圖像有交點．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱圖像函數(shù)為的反函數(shù)．函數(shù)的反函數(shù)為，關(guān)于對稱的函數(shù)為．此圖像與函數(shù)的圖像在上有交點可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上有解．可得．問題又可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．得，函數(shù)在，上的遞減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為，的最小值為（e），的最大值為，函數(shù)的值域為的取值范圍為故選：B28．（2021·內(nèi)蒙古寧城·高三月考（理））若的圖像上存在兩點關(guān)于原點對稱，則點對稱為函數(shù)的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”.）若，恰有兩個“友情點對”，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】要求“友情對點”，可把的函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，即研究對稱過去的圖像和的圖像有兩個交點即可.【詳解】解：關(guān)于原點對稱的解析式為.的圖像與的交點個數(shù)即為方程根的個數(shù)，即.設(shè)，于是當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，函數(shù)取最小值.于是作出的圖像如圖所示.，即時與有兩個交點，原函數(shù)有兩對“友情對點”.故實數(shù)的取值范圍是故答案為：29．（2021·河北·石家莊二中高二月考）已知函數(shù)，，，若與的圖象上恰存在兩個關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】求出函數(shù)關(guān)于直線的對稱函數(shù)，令與的圖象有兩個交點得出的范圍即可．【詳解】關(guān)于直線對稱的直線為，∴直線與在上有兩個交點，作出與的函數(shù)圖象，如圖所示：若直線經(jīng)過點，則，解得，若直線與相切，設(shè)切點為，則，解得．與的圖象有兩個交點則，解得，故答案為：.30．（2021·福建·三明一中高二期中）已知函數(shù)與的圖象上存在兩對關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【分析】若函數(shù)與的圖象上存在兩對關(guān)于直線對稱的點,則函數(shù)與函數(shù)的圖象在有兩個交點,

即有兩個解,

即有兩個解,令,對求導函數(shù)，得出導函數(shù)的正負，研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】若函數(shù)與的圖象上存在兩對關(guān)于直線對稱的點,

則函數(shù)與函數(shù)的圖象在有兩個交點,

即有兩個解,

即有兩個解,

令,則

，令，則，，在上單調(diào)遞減，而，，即，時，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又時，，時，，∴要使有兩個解,則需，故答案為：