n階循環(huán)矩陣的n階循環(huán)矩陣

n階循環(huán)矩陣的n階循環(huán)矩陣

定義1，定義a2，。。a是n的排列，稱為矩陣。A=(a1a2a3?anana1a2?an-1an-1ana1?an-2?????a2a3a4?a1)A=????????a1anan?1?a2a2a1an?a3a3a2a1?a4?????anan?1an?2?a1????????是以a1,a2,…,an為元素的n階循環(huán)矩陣.引理1設A是復數(shù)域上的n階矩陣,λ1,λ2,…,λn是A的特征值,f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0是復數(shù)域上的m次多項式,則矩陣A的多項式f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn).定理1設A是以a1,a2,…,an為元素的n階循環(huán)矩陣,則矩陣A的行列式|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),其中ω1,ω2,…,ωn是n次單位根.證明取Jn=(010?0001?0?????000?1100?0)Jn=????????00?0110?0001?00?????00?10????????因為J0n=E,J1n=Jn,J2n=(001?0000?0?????100?0010?0)???Jnn=E,所以Jn的特征值為xn-1的根,設為ω1,ω2,…,ωn.令f(x)=a1+a2x+…+anxn-1,則A=a1E+a2Jn+…+anJn-1n=f(Jn),由引理1知A的特征值為f(ω1),f(ω2),…,f(ωn),故而|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn).證畢推論1設A是以a1,a2,…,an為元素的n階循環(huán)矩陣,則A可逆的充分與必要條件是f(x)=a1+a2x+…+anxn-1與xn-1互素,即(f(x),xn-1)=1.證明由|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),A可逆的充分與必要條件是|A|≠0,即f(x)=a1+a2x+…+anxn-1與xn-1沒有公共根,從而(f(x),xn-1)=1.證畢推論2若f(x)=a1+a2x+…+anxn-1與xn-1互素,則f1(x)=an+a1x+a2x2+…+an-1xn-1,f2(x)=an-1+anx+a1x2+…+an-2xn-1,……,fn-1(x)=a2+a3x+…+anxn-2+a1xn-1都與xn-1互素.證明因為分別以f1(x),f2(x),…,fn-1(x)的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣和以f(x)的系數(shù)為元素循環(huán)矩陣的行列式最多相差一個符號,由推論1便可推出此推論.證畢推論3f(x)=a0+a1x+…+amxm∈Z[x],ω1,ω2,…,ωn是xn-1的根,則f(ω1)+f(ω2)+…+f(ωn)是整數(shù)且可被n整除.證明由定理1,f(ω1),f(ω2),…,f(ωn)是元素為整數(shù)的矩陣f(Jn)的特征值,從而f(ω1)+f(ω2)+…+f(ωn)是跡,且等于na0,故推論成立.證畢定義2設a1,a2,…,an是n個確定復數(shù),Y是任意確定的非零的復數(shù),稱矩陣A=(a1a2a3?an-1anYana1a2?an-2an-1Yan-1Yana1?an-3an-2??????Ya2Ya3Ya4?Yana1)為n階Y-循環(huán)矩陣,也稱廣義循環(huán)矩陣,簡記為[a1,a2,…,an]Y.注定義2中的Y=1就是定義1.定理2設n階Y-循環(huán)矩陣A=[a1,a2,…,an]Y,則矩陣A的行列式|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),其中f(x)=a1+a2x+…+anxn-1,ω1,ω2,…,ωn是多項式xn-Y的n個不同的根.證明令f(x)=a1+a2x+…+anxn-1,ω1,ω2,…,ωn是多項式xn-Y的n個不同的根,則ωni=Y(i=1,2,…,n).令Vn=(11?1ω1ω2?ωn????ωn-11ωn-12?ωn-1n),由于AVn=(a1a2a3?an-1anYana1a2?an-2an-1Yan-1Yana1?an-3an-2??????Ya2Ya3Ya4?Yana1)??(11?1ω1ω2?ωn????ωn-11ωn-12?ωn-1n)=(f(ω1)f(ω2)?f(ωn)ω1f(ω1)ω2f(ω2)?ωnf(ωn)ω21f(ω1)ω22f(ω2)?ω2nf(ωn)????ωn-11f(ω1)ωn-12f(ω2)?ωn-1nf(ωn))兩邊取行列式,再由行列式的性質及|Vn|≠0,得|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn).證畢例1A=[1,2,3,?,n]?|A|=|123?nn12?n-1n-1n1?n-2?????234?1|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),其中ω1,ω2,…,ωn是xn-1的根,而f(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1,通過計算得|A|=(-1)n-1(n+1)nn-12.例2已知A=[a,b,b,…,b]Y=cb,求矩陣A的行列式|A|=|abb?bcab?bcca?b?????ccc?a|