立體幾何知識(shí)歸納+典型例題+方法總結(jié)

立體幾何知識(shí)歸納+典型例題+方法總結(jié)一、知識(shí)歸納1．平面平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線、共面問題.（1）證明點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：都在這兩個(gè)平面的公共直線上.（2）證明共點(diǎn)由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi)，推出點(diǎn)在面內(nèi)），這樣可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)問題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線.（3）證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個(gè)平面，然后再證明其余的也在這個(gè)平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合.2.空間直線（1）空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：共面沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無(wú)公共點(diǎn)（2）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如右圖）.1/28（直線與直線所成角[0,90]）[0,180])（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.（3）兩異面直線的距離：公垂線段的長(zhǎng)度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]：是異面直線，則過外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與都平行平面l,ll,ll,l121212有一個(gè)或沒有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（或在這個(gè)做出l,lLL1212的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）LL123.直線與平面平行、直線與平面垂直（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi)（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一.條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行線面平行”）（3）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.P若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），亦成立.aOA三垂線定理的逆定理直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相2/28交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.（5）a.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線．．段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.b.射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上.4.平面平行與平面垂直（1）空間兩個(gè)平面的（2）平面平行判定定理：如果一個(gè)平面.（“線面平行面面平行”）位置關(guān)系：相交、平行.內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]：一平面（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同.（“面面平行線線平行”）內(nèi)的任一直線平行于另一平面.時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行（4兩個(gè)平面垂直判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直判定二：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過這條直線3/28

的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直面面垂直”）注：如果兩個(gè)二面角的平面分別對(duì)應(yīng)互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.（5）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三P平面.MAOB簡(jiǎn)證：如圖，在平面內(nèi)過O作OA、OB分別垂直于，l,lθ12因?yàn)閯t.所以結(jié)論成立PMOA,PMOBPM,OA,PM,OBb.最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.1條或者沒有成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有.5.棱柱.棱錐（1）棱柱a.①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長(zhǎng)，是高）該公式是利用直棱SChCh柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）SClCl11該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.b.{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱4/28柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.c.棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各．個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.．．．．．．．．．．．．②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊．．形.③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.d.平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.．．．．．．．．．．．．．[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，,,cos2cos2cos21.則推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為,,，則cos2cos2cos22.（2）棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.[注]：①一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形.三個(gè)三棱錐；所以VSh3V②一個(gè)棱柱可以分成等體積的.棱柱棱柱a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形5/28

的中心.[注]：i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：1（底面周長(zhǎng)為，斜高為）''ChSCh2③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S（側(cè)面與底面成的二面S底cos側(cè)角為）calb附：以知⊥，，為二面角.albclcosab則1①，1②，③①②③得SS.SalSlb22abcos底側(cè)cos12注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個(gè)三角形面積和的方法）.b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.c.特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面6/28多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交I點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.（3）球：a.球的截面是一個(gè)圓面積公式：.②球的體積公式：4.3VR.①球的表面S4R23b.緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過P點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角P的度數(shù).②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸A,B所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)線是本初子A午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.B附：①圓柱體積：（為半徑，為高）Vrhrh2②圓錐體積：1（為半徑，為高）2Vrhrh3③錐體體積：1（為底面積，為高）VShSh37/28（1）.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，6，3a2，haS34底363132a/432a3RaRR23446a.43，得aaSa2a22434344側(cè)注：球內(nèi)切于四面體：1BACDSR31SRSh.33側(cè)底底VOR②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.6.空間向量（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.b.共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b0)，∥b的充要條件是存a在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.abc.共面向量：a行，記作a∥.d.①共面向量定理：如若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平aa果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面a,bPa,b的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使Pxayb.②空間任．一．點(diǎn)．O．和．不．共線．．三．點(diǎn)．A．、．B．、．C．，則OPxOAyOBzOC(xyz1)是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.、、、（簡(jiǎn)證：OP(1yz)OAyOBzOCAPyABzACPABC四點(diǎn)共面）注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.（2）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一．．．．a(chǎn)bc．．．,,、、向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組xyz，使pxaybzcP.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯、、一的有序?qū)崝?shù)組xyz使OPxOAyOBzOC(這里隱含x+y+z≠1).BOD8/28A注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，ABb,ACc,ADd,其中Q是△BCD的重心，則向量13用即證.AQ(abc)AQAMMQ對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC，則四點(diǎn)P、A、B、C是共面xyz1（3）a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱坐標(biāo)），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）①令a=(a,a,a),x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），.，則3b(b,b,b)12312ab(ab,ab,ab)，112233a(a,a,a)(R)，123aba1b1a2b2a3b3，a∥bab,ab,ab(R)a1a2a3b1b2b3311223.aba1b1a2b2a3b30(向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：aa?aaaa222213a2a?aaa?a)cosa,b兩個(gè)向量的夾角公式a?bababab1122332a2a22b2bb223123空間|a||b|a1（a＝1，b＝1）.(a,a,a)(b,b,b)2323②空間兩點(diǎn)的距離公式：2.d(xx1)2(y2y1)2(zz)221b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，a記作，如果那么向量叫做平面的法向量.aaac.向量的常用方法：9/28①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，|AB?n|B到平面的距離為.AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)A|n|CD?n②異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，dl,ln12n分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).C、Dl,l1dl,l122③直線與平面所成角的正弦值A(chǔ)Bm(m為平面的法向量).ABsin|AB||m|n,n分別是二面角中④利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)l12平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小,nn,12n,n方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）（.n,n1212d.證直線和平面平行定理：已知直線平面，A,Ba,C,D，且C、aD、E三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使ABCDCE.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線ABABCDCE,,,與平面相交）.ABB▲nn1▲CDn2EAC二、經(jīng)典例題考點(diǎn)一空間向量及其運(yùn)算1.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件OP1OA2OB2OC，555試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？PA,B,C10/28解析：要判斷點(diǎn)P與A,B,C是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使APxAByAC或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OPOAxAByAC.答案：由題意：5OPOA2OB2OC，∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC所以，點(diǎn)P與A,B,C，，共面．點(diǎn)評(píng)：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算．2.如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且1，．求證：平1BMBDANAEMN//33面CDE解析：要證明MN//平面CDE，只要證明向量NM可以用平面和DC線性表示．．CDE內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量DE答案:證明：如圖，因?yàn)镸在BD上，且1，，BMBD3MB13DB13DA13ABAN13AD13DE所以．同理又CDBAAB，所以MNMBBAAN(13DA13AB)BA(13AD13DE)23BA13DECD13DE2．3又CD與DE不共線，根據(jù)共面向量定理，可知MN，，CDDE共面．由于MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN//平面CDE．點(diǎn)評(píng)：空間任意的兩向量都是共面的．與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開.11/28考點(diǎn)二證明空間線面平行與垂直3.如圖,在直三棱柱ABC－ABC中，AC＝3，BC＝4，AA＝4，點(diǎn)D是1111AB的中點(diǎn)，（I）求證：AC⊥BC；（II）求證：AC1//平面CDB；11解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來(lái)證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－ABC，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4AB=5，111∴AC⊥BC，且BC在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴AC⊥BC；11（II）設(shè)CB與CB的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，∵D是AB的中點(diǎn)，E是11BC的中點(diǎn)，1∴DE//AC，∵DE平面CDB，AC平面CDB，1111zC∴AC1//平面CDB；B1解法二：∵直三棱柱ABC－ABC底面三邊長(zhǎng)AC＝AE1113，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、CC兩兩垂直，如圖，1CBy以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、CC分別為x軸、y1Ax軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，30），C（0,0，4），B（0,4，0），B（0,4，4），D（，2,0）112（1）∵＝（－AC3,0，0），＝（BC10，－4,0），∴AC?BC＝0，∴AC⊥BC1.13（2）設(shè)CB與CB的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，DE0,2），AC21111＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.DEAC2112/284.如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn).(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦.解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.答案：（1）M是PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則E12CD，又12CDMEAB四邊形ABME為平行四邊形∥，BMEABM平面PADEA，平面PADBM∥平面PAD（2）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空，，，，，B1,0,0)C2,2,0D0,2,0P0,0,2M1,1,1E0,1,1間直角坐標(biāo)系，如圖，則N0,y,z，，PB1,0,2在平面內(nèi)設(shè)PAD，MN1,y1,z1DB1,2,0由MNPB由MNDBMNPB12z20MNDB12y20z12y1213/2811是的中點(diǎn)，此時(shí)NAEMN平面PBDN0,,22（3）設(shè)直線與平面所成的角為PCPBD11，設(shè)PC2,2,2，MN1,,為PC,MN22cosPCMN3sincos22263PCMN2322故直線與平面所成角的正弦為PCPBD3解法二：（1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則MPCE11，又MECDABCD22四邊形為平行四邊形ABME∥，BMEABM平面PADEA平面PADBM∥平面PAD（2）由（1）知為平行四邊形ABME，又ABADPA底面ABCDPAAB同理，CD平面PADAE平面PADAB平面PADABME為矩形∥，，又CDMECDPDPDAEABAEMEPDPD平面ABMEPD平面PBD作故MFEBMF平面PBD平面PBD平面ABMEMF交AE于N，在矩形內(nèi)，ABME，ABME1AE2232，NE為的中點(diǎn)NAEMF2當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，NAEMN平面PBD（3）由（2）知MF為點(diǎn)到平面的距離，為直線與平面所成MPBDMPFPCPBD14/28MF，sinMP32的角，設(shè)為2直線與平面所成的角的正弦值為PCPBD3點(diǎn)評(píng)：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái)考點(diǎn)三求空間圖形中的角與距離根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法另外也可借助空間向量求這三種角的大小.5.如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面PABCDPDC垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn).ABCDADC60MPB(Ⅰ)求與底面所成角的大??；PAABCD(Ⅱ)求證：平面；PACDM(Ⅲ)求二面角DMCB的余弦值.解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法15/28答案：(I)取DC的中點(diǎn)O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=3．∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,1,0),B(3,2,0),C(0,1,0)．由M為PB中點(diǎn)，∴．233)M(,1,2∴3),PA(3,0,3),DC(0,2,0)．23DM(,2,2∴323(3)0，3202PADMPADC03200(3)0．∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．(III)CM(．令平面BMC的法向量n(x,y,z)，3,0,3),CB(3,1,0)22則，從而x+z=0；……①,，從而．……②nCM0nCB03xy0由①、②，取x=?1，則y3,z1．∴可取n(1,3,1)．由(II)知平面CDM的法向量可取PA(3,0,3)，∴．∴所求二面角的余弦值為－．nPA235610510cosn,PA|n||PA|5法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連AP接MN，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于ADC60，NABCD16/28則，又，則，即，CDPAAOCDPOCD平面APOCD11又在中，中位線，，則MN//CO，PABABCO//ABMN//22則四邊形為，所以，在中，AOPO，OCMNMC//ONAPO則，故而，ONAPAPMCMCCDC則PA平面MCD（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角DMCB的平面角，MC平面PABNMB在RtPAB中，易得PA6,，2210PBPA2AB262210，5cosPBAABPB1010510故，所求二面角的余弦值為5cosNMBcos(PBA)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng)用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.D1C6.如圖，在長(zhǎng)方體中，ABCDABCD11111點(diǎn)在線段上.ADAA1,AB2,EABA1B11（Ⅰ）求異面直線與AD所成的角；DE11DC（Ⅱ）若二面角的大小為，求45DECD1AEB點(diǎn)到平面的距離.BDEC1解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí),本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利17/28于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.答案：解法一：（Ⅰ）連結(jié)AD.由已知，是正方形，有.ADADAADD11111∵AB平面，∴AD是在平面內(nèi)的射影.AADDAADD11DE1111根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為90.DEAD11ADDE11作DFCE，垂足為F，連結(jié)，則DFCEDF11所以DFD1為二面角的平面角，.DECD1DFD451于是DFDD1,DF211易得RtBCERtCDF，所以CECD2，又BC1，所以BE3.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h.DEC11132CEDFh1312BEBCDD∵VBCED1,即DBCE，V11∴，即22h3，∴h6.CEDFhBEBCDD411故點(diǎn)B到平面的距離為6.4DEC1解法二：分別以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.DA,DB,DD1（Ⅰ）由設(shè)E(1,a,0)，得DA(1,0,1)A(1,0,1)11，又，則.DE(1,a,1)D(0,0,1)11∵∴DADE1010DADE1111則異面直線與所成的角為90.DE1AD1（Ⅱ）m(0,0,1)為面DEC的法向量，設(shè)n(x,y,z)為面CED的法向量，1則n(x,y,z)|cosm,n||mn||m||n|cos45|z|22x2yz22∴.①z2x2y218/28由，得1，則，即DC(0,2,1)nDCnDC0C(0,2,0)11∴2yz0②由①、②，可取n(3,1,2)又，所以點(diǎn)到平面的距離CB(1,0,0)BDEC1d|CBn||n|36.224點(diǎn)評(píng)：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算，這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中,最好是直角三角形,這樣計(jì)算起來(lái),比較簡(jiǎn)單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較容易寫出來(lái).考點(diǎn)四探索性問題7.如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=2，ED//AF且∠DAF=90°.（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過PAC三點(diǎn)的平面和直線DB垂、、直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說(shuō)明理由.解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，19/28或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.1）因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），答案：（則DB(2,0,0),BE(1,1,2),BF(0,2,0)設(shè)平面BEF的法向量n(x,y,z),則xy2z0,y0，則可取n(2,1,0)，∴向量DB和n(2,0,1)所成角的余弦為220210.10221222(2)2即BD和面BEF所成的角的余弦10.10（2）假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂12m12m2P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1m1m1m直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則,),12m12m212m，向量CP(1m,1m1m12則向量AP(,,),,),1m1m1m12m12m(2)21m1所以.201m0,所以m1m2點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求.8.如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，⊥ACBCDABVABCVC⊥底面ABCπ．且，ACBCa∠VDC0220/28（I）求證：平面平面；VAB⊥VCDＶπ的值，使得直線與平面所成的角為．BCVAB6（II）試確定角解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解.ＣAＢＤ，是等腰三角形，又是的中∵ACBCa∴△ACBDAB答案:解法1：（Ⅰ）點(diǎn)，∴CDAB，又VC底面．ABC∴VCAB．于是AB平面．VCD又AB平面，平面平面．VAB∴VCDVAB（Ⅱ）過點(diǎn)C在平面內(nèi)作CHVD于H，則由（Ⅰ）知平面．VABVCDCD連接BH，于是CBH就是直線與平面所成的角．BCVABπ2asin；2依題意CBH，所以在Rt△CHD中，CH6πa，2．在Rt△BHC中，CHasin∴sin622ππ∴4，．∵02ππ故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為．BCVAB46解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如CA，CB，CV圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，，0，V0，0，2atanaa22，2VD，，2atanCD，，0AB(a，a，0)aaaa22于是，，，．222AB·CD(a，a，0)·，，01a21a200aa22從而同理，即ABCD．22zAB·VD(a，a，0)·，，2atan1a21a200aa，V22222C21/28By即．又，平面．VCDABVDCDVDD∴AB又平面．ABVAB平面平面．∴VABVCD（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，VABn(x，y，z)則由n·AB0，n·VD0．a(chǎn)xay0，得aa2aztan0．x2y22可取，又，n(11，，2cot)BC(0，a，0)πn·BC2sin，2a于是sin6a·22cot2n·BC2ππ，．∴=24即sin∵02ππ故交時(shí)，直線與平面所成的角為．=BCVAB46解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以所在的直線分別為x軸、y軸，建，DCDB立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，22222則，，D(000)A0，，，，，，，，，，，Va0B0a0Ca00a，0，atan22222222于是，，．DVa0，，atanDCa，，AB(0，2a，0)002222從而，即ABDC．AB·DC(0，2a，0)a000·，，222同理，即ABDV．AB·DV(02a0)a0，，，，atan022又DCDVD，平面．ABVCD∴又平面，平面平面．ABVAB∴VABVCD22/28（Ⅱ）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，2ay0，VC則由n·AB0，n·DV0，得2ax2aztan0．222a，0，2BC2a，可取于是n(tan，0，1)，又y2BD22atanxAπsin6n·BC2sin，2n·BCa·1tan2sinπ，∵0π，∴=ππ即．故角時(shí)，2244即直線BC與平面VAB所成角為π．6點(diǎn)評(píng)：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解,但運(yùn)用更多的是建空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解考點(diǎn)五折疊、展開問題9．已知正方形ABCDE、F分別是AB、CD的中點(diǎn),將ADE沿DE折起,如圖所示,記二面角ADEC的大小為(0)(I)證明BF//平面ADE;(II)若ACD為正三角形,試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點(diǎn)抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.解:(I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),ABCGEFD23/28EB//FD,且EB=FD,四邊形EBFD為平行四邊形BF//ED.,EF平面AED,而BF平面AEDBF//平面ADE(II)如右圖垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GDACD為正,AC=AD.,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點(diǎn)A作AG三角形CG=GD.G在CD的垂直平分線上,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AHDE,所以AHD為二面角A-DE-C的平面角即AHG.設(shè)原正方體的邊長(zhǎng)為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形,.AGEFAEAF3a在RtADE中,2a.AHDEAEADAH5AGGH2GH1AHa,cos254點(diǎn)評(píng)：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來(lái)說(shuō)，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線.關(guān)鍵要抓不變的量.考點(diǎn)六球體與多面體的組合問題24/