數(shù)學(xué)分析試題解析

2014---2015學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)剖析2》A試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分一.判斷題（每題3分，共21分）(正確者后邊括號(hào)內(nèi)打?qū)?，不然打?1.若fx在a,bfxa,bfxdx可表為x）連續(xù)，則在上的不定積分ftdtC（a.2.若fx,gx為連續(xù)函數(shù)，則fxgxdxfxdxgxdx（）.3.若fxdx絕對收斂，agxdx條件收斂，則a[fxgx]dx必定條件收斂a（）.4.若fxdx收斂，則必有級(jí)數(shù)fn收斂（）11若fn與gn均在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則fngn也在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂）.6.若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an條件收斂，則必定能夠經(jīng)過適合的重排使其發(fā)散于正無量大（）.1任何冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上存在隨意階導(dǎo)數(shù)，而且逐項(xiàng)求導(dǎo)后獲得的新冪級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域與原冪級(jí)數(shù)同樣（）..單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.若fx在a,b上可積，則下限函數(shù)axdx在a,b上（f）xA.不連續(xù)B.連續(xù)C.可微D.不可以確立2.若gx在a,b上可積，而fx在a,b上僅有有限個(gè)點(diǎn)處與gx不相等，則（）A.fx在a,b上必定不行積；B.fx在a,b上必定可積,可是bbfxdxgxdx；aaC.fx在a,b上必定可積，而且bbfxdxgxdx；aafx在a,b上的可積性不可以確立.3.級(jí)數(shù)11n1nn2n1A.發(fā)散B.絕對收斂C.條件收斂D.不確立4.設(shè)un為任一項(xiàng)級(jí)數(shù)，則以下說法正確的選項(xiàng)是（）A.若limun0，則級(jí)數(shù)un必定收斂；nB.若limun11，則級(jí)數(shù)un必定收斂；nunC.若N,當(dāng)nun11，則級(jí)數(shù)un必定收斂；N時(shí)有，unD.若N,當(dāng)nun11，則級(jí)數(shù)un必定發(fā)散；N時(shí)有，un5.對于冪級(jí)數(shù)anxn的說法正確的選項(xiàng)是（）A.anxn在收斂區(qū)間上各點(diǎn)是絕對收斂的；B.anxn在收斂域上各點(diǎn)是絕對收斂的；C.anxn的和函數(shù)在收斂域上各點(diǎn)存在各階導(dǎo)數(shù)；D.anxn在收斂域上是絕對而且一致收斂的；三.計(jì)算與求值（每題5分，共10分）1.lim1nn1n2nnnlnsinxdxcos2x.判斷斂散性（每題5分，共15分）1.3x1dx01xx2n!2.n1nn3.1n2nn1n12n五.鑒別在數(shù)集D上的一致收斂性（每題5分，共10分）1.fnxsinnx,n1,2,D,n2.n2D,22,xn六．已知一圓柱體的的半徑為R，經(jīng)過圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面300角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（此題滿10分）七.將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表面距離為10米，已知三角形底邊長為20米，高為10米，求該三角形鐵板所受的靜壓力。(此題滿分10分)八.證明：函數(shù)fxcosnx在,上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).（此題滿分9分）n32014---2015學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)剖析2》B卷答案學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)二三四五六七八總分核分人一得分一、判斷題（每題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，不然打叉?.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?.單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）B;2.C;3.A;4.D;5.B.求值與計(jì)算題（每題5分，共10分）1xn1.lim3dxx3sin2n0xe2x1xn1解：因?yàn)?3dx3xndx-------------------------3分0x3sin2xe2x01n11而lim3dx0---------------------------------4分0xlimn1nnn13故由數(shù)列極限的迫斂性得：1xnlim3dx0-------------------------------------5分0nx3sin2xe2x2.設(shè)fsin2xx，求1xfxdxsinxx解：令xsin2t得x1x

fxdx=sin2tfsin2tdsin2t----------------2分1sin2t=sintt2sintcostdtcostsint=2tsintdt-----------------------------------4分=2tcost2sintC=21xarcsinx2xC---------------5分.鑒別斂散性（每題5分，共10分）1arctanxdx1x2解：lim11arctanxlimarctanx-------3分x21x21xx10x1042且p11，由柯西鑒別法知，2瑕積分1arctanx分1dx收斂-------------------------50x22.1n2lnnlnn解：limlnn,n0N,當(dāng)nn0時(shí)n有l(wèi)nne2-----------------------------2分進(jìn)而當(dāng)nn011-------------------------------4分lnnlnnn2由比較鑒別法1收斂----------------------------5分n2lnnlnn五.鑒別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每題5分，共15分）1.fnxx1,n1,2,D0,n2解：極限函數(shù)為fxlimfnxxxD-----------------------2分n又fnxfxx1x1/n21--------3分n2x1nn2x進(jìn)而limsupfnf0n故知該函數(shù)列在D上一致收斂.-------------------------5分2.2nsinx,D[1,1]3n2nsinxn解：因當(dāng)xD時(shí)，unx2--------------2分3n32n而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，4分3由優(yōu)級(jí)數(shù)鑒別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.-------------5分1n,D,3.nx2解：易知，級(jí)數(shù)1n的部分和序列Sn一致有界，---2分而對xD,Vnx1是單一的，又因?yàn)閤2nxD,Vnx110n，------------------4分x2nn因此vnx1在D上一致收斂于0，nx2進(jìn)而由狄利克雷鑒別法可知，該級(jí)數(shù)在D上一致收斂。------5分六.設(shè)平面地區(qū)D是由圓x2y22，拋物線yx2及x軸所圍第一象限部分，求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（此題滿分10分）解：解方程組x2y22得圓x2y22與拋物線y2在第一象限yx2x的交點(diǎn)坐標(biāo)為：1,1，---------------------------------------3分則所求旋轉(zhuǎn)體得體積為：12y2dy1-------------------------------7分Vydy00=------------------7------------------------------------------------------10分=6.現(xiàn)有向來徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽視不計(jì)），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（此題滿分10分）解：以圓柱上頂面圓圓心為原點(diǎn)，豎直向下方向?yàn)閤軸正向成立直角坐標(biāo)系則剖析可知做功微元為：dW52xdx25xdx--------------------------------5分故所求為：W21510xdx8分0-------------------------------------=1250=12250（千焦）-----------------------------------10分八．設(shè)unxn1,2是[a,b]上的單一函數(shù)，證明：若una與unb都絕對收斂，則unx在[a,b]上絕對且一致收斂.（此題滿分9分）證明：unxn1,2是[a,b]上的單一函數(shù)，因此有unxunaunb------------------------------4分又由una與unb都絕對收斂，因此unaunb收斂，--------------------------------------7分由優(yōu)級(jí)數(shù)鑒別法知：unx在[a,b]上絕對且一致收斂.--------------------------------2013---2014學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)剖析2》A試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分一.判斷題（每題2分，共16分）(正確者后邊括號(hào)內(nèi)打?qū)?，不然打?1.若f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上可積.()2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上有無量多個(gè)中斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上必不行積。（）3.若f(x)dx與g(x)dx均收斂，則[f(x)g(x)]dx必定條件收斂。（）aaa4.若fnx在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則fnx在區(qū)間I到處收斂（）5.若an為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（an0），且當(dāng)nn0時(shí)有：an11，則級(jí)數(shù)an必發(fā)散。n1ann1（）6.若fx以2為周期，且在,上可積，則的傅里葉系數(shù)為：an12xcosnxdx（）f07.若ans，則anan12sa1（）n1n18.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上必定內(nèi)閉一致收斂。（）.單項(xiàng)選擇題（每題3分，共18分）1.以下廣義積分中，收斂的積分是（）11B1Adx1dx0xx

CsinxdxD11dx01x32.級(jí)數(shù)an收斂是an部分和有界的（）n1n1A必需條件B充分條件C充分必需條件D沒關(guān)條件3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂的充要條件是（）A.limun0B.數(shù)列un單一有界nC.部分和數(shù)列sn有上界D.limnn11nun4.設(shè)liman1a則冪級(jí)數(shù)anxbnb1的收斂半徑R=（）nan1111bA.aB.abC.D.aa5.以下命題正確的選項(xiàng)是（）an(x)在[a,b]絕對收斂必一致收斂n1an(x)在[a,b]一致收斂必絕對收斂n1C若lim|an(x)|0，則an(x)在[a,b]必絕對收斂nn1an(x)在[a,b]條件收斂必收斂n16..若冪級(jí)數(shù)anxn的收斂域?yàn)?,1,則冪級(jí)數(shù)anxn在1,1上A.一致收斂B.絕對收斂C.連續(xù)D.可導(dǎo)三.求值或計(jì)算（每題4分，共16分）xx1lnxdx；2.1dxsinxcosx1xxexdx.3．14.設(shè)fx在[0,1]上連續(xù)，求lim1fnxdxn0四.（16分）鑒別以下失常積分和級(jí)數(shù)的斂散性.dx1.；132x43x2312.dx01xln(1x)3.lnnnn；n214.enn!nnn1五、鑒別函數(shù)序列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題5分，共10分）1.fn(x)x2n4,n1,2,;x(,)2.2(1)n1；xD,0.50.5,3nxnn1六.應(yīng)用題型（14分）1.一容器的內(nèi)表面為由yx2繞y軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)現(xiàn)有水（m3），若再加水7（m3），問水位高升了多少米？2.把由yex，x軸，y軸和直線x0所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積V，并求知足條件Va1的a.limV2七．證明題型（10分）已知fx與gx均在[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]上恒有fxgx，但fx不恒等于gx，證明：2013---2014學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)剖析2》B試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分一、判斷題（每題2分，共18分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，不然打叉?.對任何可導(dǎo)函數(shù)fx而言，fxdxfxC成立。（）2.若函數(shù)fx在a,b上連續(xù)，則Fxbtdt必為fx在a,bf上的原函數(shù)。（）x3.若級(jí)數(shù)an收斂，必有l(wèi)imnan0。（）n1x4.若limnan1，則級(jí)數(shù)an發(fā)散.nn15.若冪級(jí)數(shù)anxn在x2處收斂，則其在[-2,2]上一致收斂.（）1假如fx在以a,b為端點(diǎn)的閉區(qū)間上可積，則必有bxdxbffxdx.（）aa7.設(shè)fx在1,上有定義，則1fxdx與級(jí)數(shù)fn同斂散.（）n1b8.設(shè)fx在a,b任子區(qū)間可積，b為fx的暇點(diǎn)，則afxdx與1fb112dt同斂散.（）batt9.設(shè)fnx在Da,x0x0,b上一致收斂，且limfnxannN存在，則xx0limlimfnxlimlimfnx.nxx0xx0n二.單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.函數(shù)f(x)在[a,b]上可積的必需條件是（）A連續(xù)B有界C無中斷點(diǎn)D有原函數(shù)2.以下說法正確的選項(xiàng)是（）A.an和bn收斂，anbn也收斂n1n1n1B.an和bn發(fā)散，(anbn)發(fā)散n1n1n1C.an收斂和bn發(fā)散，(anbn)發(fā)散n1n1n1D.an收斂和bn發(fā)散，anbn發(fā)散n1n1n13.an(x)在[a,b]收斂于a(x)，且an(x)可導(dǎo)，則（）n1A.an(x)axB.a(x)可導(dǎo)n1C.ban(x)dxbD.an(x)一致收斂，則a(x)必連續(xù)aa(x)dxan1n11n11n4.級(jí)數(shù)n2n1A.發(fā)散B.絕對收斂C.條件收斂D.不確立5.冪級(jí)數(shù)2n2xn的收斂域?yàn)椋簄01nA.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.0.5,0.5D.0.5,0.5三.求值與計(jì)算題（每題4分，共16分）1.sinxcosxdx2sin2x2.xdxxx213.lim1nnn1nn1nn4.b2xabdxa四.鑒別斂散性（每題4分，共16分）1.xarctanxdx；1x311xdx2.01x3.nn11n1n1.n4.n1cos1n1n五.鑒別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每題5分，共10分）1.fnx1(n1)x,0x1/(n1)0,1/(n1)xn1,2,.x0,111n12.x(,)2n)nn1(x六.應(yīng)用題型（16分）1.試求由曲線yx2及曲線y2x2所平面圖形的面積.1cosx將0x2dx表達(dá)為級(jí)數(shù)形式，并確立前多少項(xiàng)的和作為其近似，可使之偏差不超出十萬分之一.七.（9分）證明：若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

un

x知足：（?。?/p>

x

D,

un

(x)

an

n

1,2

；（ⅱ）

an

收斂.則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

un

x在

D上一致收斂.014---2015學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)剖析2》A卷答案.判斷題（每題3分，共21分）?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）B,C,C,D,A三.計(jì)算與求值（每題5分，共10分）1.解：原式=limn11121nnnnnnk1=limexpln1---------------------------2分nk1nnnk1=explimln1-------------------------3分nk1nn=exp2---------------------------51lnxdx=4e1分2.原式=lnsinxdtanx-------------------------------2分=lnsinxtanxtanxcotxdx--------------------4分=lnsinxtanxxC---------------------------5分四.判斷斂散性（每題5分，共15分）1.33x132limx22----------------------------分x1xx且p31---------------------------------3分2由柯西鑒別法知，3x1dx收斂。---------5分01xx2由比式鑒別法ann1!n1n11lim1lim11-----4分ann!limennn11/nnn故該級(jí)數(shù)收斂.-------------------------------5分3.解：由萊布尼茲鑒別法知，交織級(jí)數(shù)1n收斂-----------2分n1n又02n111知其單一且有界，---------4分12n2n1故由阿貝爾鑒別法知，級(jí)數(shù)收斂.--------------------------------5分五.1.解：極限函數(shù)為fxlimfnx0xD---------------------2分n又fnxfxsinnx14分nn---------------------------------limsupfnf0故知該函數(shù)列在D上一致收斂.-----------5分n2.解：因當(dāng)xD時(shí)，unn2n2n2----------------------3分xxn2nxn2而正項(xiàng)級(jí)數(shù)nn收斂，-----------------------------4分2由優(yōu)級(jí)數(shù)鑒別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.---------------5分六．已知一圓柱體的的半徑為R，由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面300角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（此題滿分10分）解:在底圓面上以所截直徑線為x軸，底圓的圓心為原點(diǎn)示坐標(biāo)系，過x處用垂直x軸的平面取截該立體，所得直角三角形的面積為：Sx1R2x2tan300R2x2--------------------------------5分2故所求立體的體積為：VR3R2x2dx------------7分=23R3-------10分R69七.解：成立圖示坐標(biāo)系(豎直方向?yàn)閤軸)則第一象限等腰邊的方程為xy10------------------------------------3分壓力微元為：dF210x10xdx2100x2dx故所求為F210x2dx7分10001333.33噸13066.67千牛------10分八.證明：uncosnxn1,2每一項(xiàng)在,上連續(xù)，xn3又unxcosnx1而1n3n3n3收斂因此cosnx在,上一致收斂，-------------------------------3分n3故由定理結(jié)論知fxcosnx在,上連續(xù)，------------------------------5分n3再者unxsinnx1而1收斂n2n2n2因此unx在,上一致收斂，聯(lián)合unx在,上的連續(xù)性可知fxcosnx在,上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).----------------9分n32014---2015學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)剖析2》B試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分二、判斷題（每題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，不然打叉?.若fx為偶函數(shù)，則fxdx必為奇函數(shù)（）.2.ysgnx為符號(hào)函數(shù)，則上限函數(shù)x）.y=sgntdt在,上連續(xù)（a3.若fxdx收斂，必有l(wèi)imfx0（）.ax4.若fn在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則fn在區(qū)間I上到處收斂（）.5.若un(x)在a,b上內(nèi)閉一致收斂，則un(x)在a,b上一致收斂（）.n1n16.若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an絕對收斂，則經(jīng)過隨意重拍后