用空間向量研究距離夾角問題課件高二上學期數學人教A版選擇性必修第一冊

高二—人教A版—數學—選擇性必修第一冊第一章

用空間向量研究距離、夾角問題

1.能推導點到直線的距離公式、點到平面的距離公式，能用向量方法解決立體幾何距離問題。2.理解立體幾何中角度問題與空間向量的關系，會用向量方法求立體幾何中角度問題。3.體驗向量方法在解決立體幾何問題中的作用.提升直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養(yǎng)。學習目標知識回顧MONlAPQ

我們知道，立體幾何中的距離問題包括點到直線、點到平面、兩條平行直線以及兩個平行平面的距離問題等如何用空間向量解決這些距離問題呢？下面我們先研究用向量方法求直線外一點P到直線l的距離．探索新知點到面距離兩點間距離勾股定理lAPQ探索新知探索新知

思考

類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？探索新知探索新知注意典型例題典型例題典型例題與用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；（3）把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論．小結ABCDMN與距離類似，角度是立體幾何中另一個重要的度量．下面我們用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角，先看下列問題．例7

如圖1.4-19，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．典型例題ABCDMN解：化為向量問題典型例題ABCDMN進行向量運算典型例題ABCDMN回到圖形問題典型例題探索新知思考以上我們用量方法解決了異面直線AM和CN所成角的問題，你能用向量方法求直線AB與平面BCD所成的角嗎？ABC圖1.4-20探索新知探索新知典型例題典型例題圖1.4-24例9

圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°，已知禮物的質量為1kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精確到0.01N)．分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小．8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．典型例題圖1.4-24典型例題ABCDEFGPzxy分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角，這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．ABCDEFGPzxyABCDEFGPzxyABCDEFGPzxy典型例題課堂